2025届云南省师大附中高考适应月考（五）-数学（含答案）.docx

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-

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数学参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
C
A
B
B
C
C
【
解析】
1
+ i
1
2
．因为 z =
=1- i，所以 z + i =1 ，故选 D．
i
ì
ü
1
．因为 A ={x | 3x2 -10x + 3 < 0} = íx < x < 3ý ， A Í (0，π) ，所以sin x > 0 ，充分性成立；若
3
þ
î
sin x > 0 ，则 xÎ(2kπ，π + 2kπ)(k ÎZ) ，必要性不成立，故选 A．
3
． A 选项，直线 a，b，c 在同一平面才能推出 a∥b ，故 A 错 误；B 选项，若 a，b 为一底面为a
的圆锥的两条母线，则 a，b 与 a 所成角相同，此时 a，b 相交，故 B 错误；D 选项，若
a∥a，b Ì a ，则 a，b 平行或异面，故 D 错 误；C 选项，在平面a，b 中分别存在直线 m，n
（
异于b ），使 得 m∥a，n∥a ，则 m∥n ，可推出 m∥b ，从而得到 m∥b ，故 a∥b ，故选 C．
4
5
．用水在 10.2t 以下的居民用户所占比例为3´ (0.077 + 0.107 + 0.043) = 0.681，故 a <10.2 ．由
0
.681- 0.60 = 0.043´ (10.2 - a) 得 a » 8.3，故选 A．
2
æ
è
1 ö
． f (x) = x
是 偶 函 数 且 在 (0，+ ¥) 上 单 调 递 增 ， 所 以 b = f çlog ÷ = f (log 2) ， 而
3
3
3
2
ø
-1
2
1
1
2
1
5
=
<
，所以 a < c ； log3 2 > log3 3 = ，所以 c < b ，故选 B．
5
2
6
7
．因为直线l：x - my +1= 0与l ：mx + y - m + 2 = 0 分别过点 (-1，0)，(1，- 2) ，且两直线垂直，
1
2
所以点 P 的轨迹为圆心在C(0，-1) ，半径 r = 2 的圆(除去点 (1，0) )．因为| AC |= 2 ，所以
PA| 最大值为| AC | +r = 2 + 2 ，故选 B．
．取 AB 中点O ， PO 的三等分点O （靠近O ），则O ，O 分别为平面 ABC ，平面 PAB 与
|
1
1
2
1
1
2
3
球O 截面圆的圆心．由 AB = 2，PC = 7 可得 PO = 3 ，CO =1，O O =
，再由余弦定
1
1
1
2
3
数学参考答案·第 1 页（共 11 页）

1
+ 3 - 7
3
理得 cosÐPO1C =
= - ，即ÐPO C =150° ，所以 ÐOO O = 60° ，在 △OO O 中可
1
1
2
1
2
2
3
2
2
æ
ö
2
3
2 3
7
3
28π
得OO1 =
，故 R2 = OC
2
= ç
÷ +12
=
，所以球O 的表面积为
，故选 C．
3
è 3 ø
3
8
．设右焦点坐标为 F (c，0) ，OF g OA = OF g (OF + F A) = -c2 ，因为OF g OF = -c2 ，所以
2
1
1
2
2
1
2
3
OF g F A = 0，所 以 AF ^ F F ． 在 直 角 △AF F 中 ， 由 直 线 l ：y =
(x + c) 可 得
1
2
2
1
2
1
2
3
4
3c
2 3c
2 3c
Ð
AF F = 30° ， 所 以
=
=
-
=
=
AF
，AF2
， 又 因 为
AF
AF2
2a ， 所 以
1
2
1
1
3
3
3
c = 3a ．在△BF1F
中，
BF1
2
+ 4c2 - 2BF1 ´ 2c´ cos30° = BF
2
2
BF = x，BF = x + 2a
，设
，
2
1
2
u
uur
uuur
4
4 3c
1
1
则 (4a + 2 3c)x = 4c2 - 4a2 ，又 c = 3a ，解得 x = a =
，所以 BF1 = AF ， F B = F1 A ，
1
1
5
15
5
5
1
故 l = ，故选 C．
5
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号
答案
9
10
11
ACD
BD
BC
【
解析】
3
π
π
π
2
2π
3
9
．由五点作图法知， w +
=
，解得 w = ，于是 T =
= 3π ，故选项 A 正确；由于
8
4
2
3
2
2
2 æ
3 è
π ö
4 ø
æ 2
è 3
π ö
6 ø
æ 2
è 3
π ö
4 ø
y = cos x ， cos ç x + ÷ = cosç x + ÷ ¹ cosç x + ÷ ，故选项 B 错误； y = f (x) 的图象
3
æ
è
3π
ö
ø
æ 3π
ö
ø
关于点 ç ，0÷ 对称，故点 ç - x ，- y ÷ 也在 y = f (x) 的图象上，故选项 C 正确；
0
0
8
è
4
3
π
æ 3π
ö
ø
y = f (x) 的图象关于 x = - 对称，故点 èç- - x ，y ÷ 在 y = f (x) 的图象上，故选项 D
0
0
8
4
正确，故选 ACD．
数学参考答案·第 2 页（共 11 页）

(x -1)2 + y2
x
2
y
2
1
2
1
0 ． 设 P(x，y) ， 则
=
， 化 简 得 ：
+
=1 ， 所 以 点 P 的 轨 迹 为 以
|
x - 4 |
4
3
A(-1，0)，B(1，0)
，
为焦点的椭圆， a = 2，b = 3 c =1，A 错误；当 P 为短轴端点时，
1
△
PAB 面积取到最大为： ´ 2c´b = bc = 3 ，B 正确；若 ÐAPB = 90° ，点 P 在以 AB 为
2
x
2
y
2
+
=1 内部，所以这样的点 P 不存在，C 错误；作
直径的圆上，因为该圆在椭圆：
4
3
2
|PB| = |PP¢| ，|PO| + 2|PB| =| PO | + | PP¢|≥| OP¢| ≥4 ，即当点 P 为右顶点
PP¢ ^ l于P¢ ，则
时，取到最小值 4，D 正确，故选 BD．
1
1 ．由 AP = l AB + m AD ，其中 l Î[0，1]，m Î[0，1] 可知，点 P 在底
æ
è
1 ö
2 ø
1
l
= 0，m Îç0， ÷
， P 在 AD 上，且 | AP |< ，如
面 ABCD 上，当
2
图 1，平面 D1PQ 截正方体所得截面为五边形，所以 A 错 误；当
+ m = 2
l
时， l =1，m =1，点 P 与点 C 重合，在正方体中， A1C
^
图 1
平面 D B A ，所以此时 A P ^ 平面 D B A ，所以 B 正 确；当 + m =1时，点 P在BD 上，将
l
1
1
1
1
1
等边三角形 DBC 向下翻折到正方形 ABCD 所在的平面，当 A，P，C 共线时， PC + PA 取
1
1
1
2
+ 6
21
6
21
6
得最小值为
，所以 C 正确；当OP =
时，以点O 为球心，半径为
作球，
2
该 球 与 底 面 ABCD 的 截 面 圆 如 图 2
， P
的 轨 迹 为
3
1
»
»
»
»
=
LE ，FG ，HI ，JK ，
O1E
=
OE2 OO
-
2
1
=
，
O1M
，
3
2
3
π
EF = 2 O1E2 - O1M
2
=
，ÐEO1F = ，所以动点 P 的轨迹长度为
3
3
图 2
æ
è
π ö
2π - 4´ ÷´
3 ø
3
2 3
9
=
π ，D 错误，故选 BC．
ç
3
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号
12
13
14
数学参考答案·第 3 页（共 11 页）

3
5
答案
解析】
π
(2 2，+ ¥)；(3，+ ¥)
【
1
0
2．因为圆锥的底面积为 ，所以底面圆半径为 1，又因为 cosq =
π
，所以母线长为 10 ，
1
1
0
1
求得圆锥的高 h = 10 -1 = 3，所以体积V = sh = π ．
3
2
π
3
1
2
15 3
4
1
3．因 为 A =
， 所 以 sin A =
， 又 S△ABC
=
bcsin A =
， 故 bc =15， 解 方 程 组
3
2
ì
b - c = 2，
sinC
3
5
得b = 5，c = 3，
=
．
í
bc =15，
î
sin B
1
2x2 - ax +1
1
4 ． f ¢(x) = + 2x - a =
， x > 0 ． 设 两 极 值 点 为 x ，x ， 其 中 x < x . 则 ：
1
2
1
2
x
x
a
1
D
= a2 - 8 > 0 ， 且 x + x = > 0 ， x x = > 0 ， 解 得 ： a > 2 2 ， 此 时 极 小 值 为
1
2
1
2
2
2
1
f (x ) = ln x + x2 - ax + 2. 由 于 f ¢(x ) = 0 ， 所 以 a = 2x + ， 故 f (x ) = ln x + x2
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2
æ
1 ö
-
1 2x2
1
x ç2x + ÷ + 2 = ln x - x2 +1< 0 ．令 g(x) = ln x - x2 +1，则 g¢(x) = - 2x =
，所
2
2
2
2
x2
x
x
è
ø
æ
ö
2
1
2
以 g(x) 在 ç
，+ ¥÷ 上 单 调 递 减 ． 由 x x = 知 x2 >
， 于 是 x2 >1， 从 而
ç
÷
1
2
2
2
2
è
ø
1
a = 2x2 + > 3 ．故第一空为 (2 2，+ ¥) ，第二空为 (3，+ ¥) ．
x2
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1
5．（本小题满分 13 分）
解：（1） X 的所有可能取值为 0，1，2，其中
1
3
C
C
2
2
2
4
2
3
C
C
2
3
2
4
7
P(X = 0) =
P(X =1) =
P(X = 2) =
´
+
´
=
，
18
1
C
1
2
C
1
2
2
3
C
1
1
C
C
1
3
5
´
+
´
=
，
3
C
2
4
2
4
9
1
C
2
2
2
4
1
´
=
，
3
C
18
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
7
5
9
1
P
1
8
18
…
……………………………（5 分）
数学参考答案·第 4 页（共 11 页）

7
5
1
2
3
E(X ) = 0´ +1´ + 2´
=
．
………………………………（8 分）
1
8
9
18
（
2）记 A=“2 个球来自甲袋”， A =“2 个球来自乙袋”， B =“摸到 1 个红球 1 个白球”，
2
3
C
1
1
C
C
1
3
1
3
则 P(AB) = P(A)P(B | A) =
´
=
，
2
4
1
3
C
1
2
C
C
1
2
2
3
C
1
1
C
C
1
3
5
9
P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) =
´
+
´
=
，
2
4
2
4
P(AB)
1
3
5
9
3
5
故所求为 P(A| B) =
=
¸
=
．
………………………………（13 分）
P(B)
1
6．（本小题满分 15 分）
1）证明：取 AM 的中点G ，连接
由题可知 PA = PM = 2 ，所以 PG ^ AM ，
因为 AM = AD2 + DM
又因为 BM = BC + CM
所以 AM ^ BM ， BG = BM
所以 PG2 + GB2 = PB2 ， PG ^ GB .
又 AM I GB = G ，所以 PG ^ 平面ABCM ，
又因为 PG Ì 平面PAM ，所以 平面PAM ^ 平面ABCM ．
PG ，GB
（
，
………………………………（2 分）
2
= 2 2 ，所以 PG = DG = 2 ，
= 2 2 ，所以 AM + BM = AB2
+ GM = 10 ，
2
2
2
2
，
2
2
………………………………（4 分）
…
…………………………………………（6 分）
（
2） 解：以 M 为原点，MA 为 x 轴，MB 为 y 轴，平行于 PG
M - xyz
的直线为 z 轴，建立如图 3 所示坐标系
．
P( 2 ，0， 2)，B(0，2 2 ，0)，C(- 2 ， 2 ，0) ，
PB = (- 2 ，2 2 ，- 2)，BC = (- 2 ，- 2 ，0) ，
图 3
…
……………………………………（9 分）
设平面 PBC 法向量为 n = (x，y ，z) ，
数学参考答案·第 5 页（共 11 页）

ì
则 í
，令 x =1，得 n = (1，-1，- 3) ，
ïî- 2x - 2y = 0，
…
………………………………………………（11 分）
因为平面 PAM 的一个法向量为 m = (0，1，0) ，
………………………………（13 分）
设平面 PAM 和平面 PBC 夹角为q ，
|
m g n |
所以 cosq = ur r =
m || n | 11
11
．
………………………………………………………（15分）
|
1
7．（本小题满分 15 分）
解：（1）由题得 f ¢(x) = -e-x[x2 - (a +1)x + a] = -e-x (x -1)(x - a) ，
设切点为 (x ，f (x )) ，则 f ¢(x ) = 0 ，解得 x =1或 x = a ．
0
0
0
0
0
…
……………………………（2 分）
3
- a
3
e
当 x =1时， f (x ) =
=
=
，解得 a = 0 ；
………………………………（3 分）
0
0
e
a +1
3
e
当 x = a 时， f (x ) =
，
0
0
ea
令 g(a) = e-a (a +1) ，则 g¢(a) = -ae-a
，
故 g(a) 在 ( - ¥，0) 上单调递增，在 (0，+ ¥) 上单调递减，
3
所以 g(a)≤g(0) =1，于是 g(a) = 无解．
e
综上， a = 0 ．
………………………………（5 分）
（
2）由（1）对参数 a 作如下讨论：
° 若 a≤0 ，
则当 xÎ(0，1) 时， f ¢(x) > 0 ， f (x) 单调递增；当 xÎ(1，2) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减，
1
所以 f (x)max = f (1) > f (0) =1，不合题意；
° 若 0 < a <1，
………………………………（7 分）
2
则当 xÎ(0，a) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减；当 xÎ(a，1) 时， f ¢(x) > 0 ， f (x) 单调递
增；当 xÎ(1，2) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减．
所以 f (x)max = max{ f (0)，f (1)}，
数学参考答案·第 6 页（共 11 页）

3
- a
由于 f (0) =1，只需 f (1) =
≤1 ，解得3 - e≤a <1；
e
…
……………………………（9 分）
3
° 若 a =1，
则当 xÎ(0，2) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减，
所以 f (x)max = f (0) =1，符合题意；
…
……………………………………………………………（11 分）
4
° 若1< a < 2 ，
则当 xÎ(0，1) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减；
当 xÎ(1，a) 时， f ¢(x) > 0 ， f (x) 单调递增；当 xÎ(a，2) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减，
所以 f (x)max = max{ f (0)，f (a)}，
a +1
由于 f (0) =1，只需 f (a) =
≤1，
e
a
a +1 1+1
2
e
由（1）知，当1< a < 2时，
<
=
<1，故1< a < 2 符合题意；
e
a
e
1
…
……………………………………………（13 分）
5
° 若 a≥2，
则当 xÎ(0，1) 时， f ¢(x) < 0 ， f (x) 单调递减；当 xÎ(1，2) 时， f ¢(x) > 0 ， f (x) 单调递增，
所以 f (x)max = max{ f (0)，f (2)}，
7
- 2a
3
由于 f (0) =1， f (2) =
≤
<1，故 a≥2符合题意．
e
2
e
2
综上可得， a 的取值范围为[3 - e，+ ¥) ．…………………………………………（15 分）
1
8．（本小题满分 17 分）
æ
è
p
ö
ø
（
1）解：因为 F 为抛物线 E：y2 = 2px(p > 0) 的焦点，所以
F ç ，0÷
，
2
æ
è
p
ö
ø
æ
è
p
ö
ø
M ç ，p÷
N ç- ，p÷
因为
，所以
，
2
2
数学参考答案·第 7 页（共 11 页）

1
又因为 △FMN 的面积为 2，所以 ´ p ´ p = 2 ，解得
p = 2
，
2
所以抛物线 E 的方程为 y2 = 4x ．
………………………………（5 分）
（
2）①证明：设 A(x，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，D(x ，y ) ，
1
1
2
2
3
3
4
4
ì
2
= 4x，
y
联立 í
得 y2 - 4y - 4 = 0 ， y + y = 4，y y = -4 ，
x - y -1= 0，
1
2
1
2
î
ì
2
= 4x，
y
联立 í
得 y2 - 4y - 4b = 0 ， y + y = 4，y y = -4b ，
x - y - b = 0，
3
4
3
4
î
…
……………………………………………（7 分）
y3 - y
x3 - x1
1
y
2
1
4
y
2
3
4
l ：y - y =
(x - x )
，
代入 x1
=
，x3
=
，
AC
1
1
化简得：l ：(y + y )y = 4x + y y ①，
AC
1
3
1
3
同理得：l ：(y + y )y = 4x + y y ②， ……………………………………………（9 分）
BD
2
4
2
4
联立①②可得：
y y - y y
y y - (4 - y )(4 - y )
4(y + y ) -16
y =
1
3
2
4
=
1
3
1
3
=
1
3
= 2，
y + y - y - y
y + y - (4 - y ) - (4 - y ) 2(y + y ) - 8
1
3
2
4
1
3
1
3
1
3
y = 2
所以 H 在定直线
上；
………………………………（11 分）
解：将 H 坐标
(4，2)
分别代入①②，
②
2
y3 -16
2y4 -16
y =
1
，y2 =
y y = -4
可得：
，因为
，
y3
-
2
y4
-
2
1
2
2
y3 -16
y3 - 2
2y4 -16
y4 - 2
4y y - 32(y + y ) + 256
´
= -4
3
4
3
4
= -4
所以
，
，
y y - 2(y + y ) + 4
3
4
3
4
-
16b +128
7
代入 y + y = 4，y y = -4b ，得
= -4 ，解得b =
，
3
4
3
4
-4b
-
4
2
…
……………………………………………（14 分）
数学参考答案·第 8 页（共 11 页）

1
æ 7
ö
ø
5
4
15 2
2
所以△FCD 的面积为 ´ç -1÷´| y - y |=
(y + y )2 - 4y y =
．
4
3
4
3
3
4
2
è
2
…
…………………………………（17 分）
1
9．（本小题满分 17 分）
= (2an + 2)2
（
1）解：由题得 Sn
2
，
若 S = 2a + 2 ，则令 n =1，得 S = 2a + 2 = a ，即 a = -2 ； ……………………（1 分）
n
n
1
1
1
1
当 n≥2 时， Sn-1 = 2an-1 + 2 ， Sn - Sn-1 = 2an - 2an-1 = a ，即 a = 2a
n-1
，
n
n
故{an}是首项为 -2 、公比为 2 的等比数列．
所以 an = -2n
．
……………………（4 分）
……………………（5 分）
2
若 S = -2a - 2 ，则令 n =1，得 S = -2a - 2 = a ，即 a = -
；
n
n
1
1
1
1
3
2
当 n≥2 时， Sn-1 = -2an-1 - 2， Sn - Sn-1 = -2an + 2an-1 = a ，即 a = an-1
，
n
n
3
2
2
故{an}是首项为 - 、公比为 的等比数列．
3
3
n
æ
2
ö
所以 a = -ç ÷ ．
n
è 3 ø
注：本小问答案不唯一，除了上述两个还有其它符合题意的数列，可酌情给分．
2）证明：由题得 Sn = p2an
当 n =1时， S1 = p2a1 = a ，解得 a =
（
2
，
1
1+1
2
=
，结论成立；
1
1
p2
2p2
当 n≥2 时， Sn - Sn-1 = p2an
2
- p2an2-1 = an ，即 p2an
2
- an - p2an2-1 = 0 ，
1
± 1+ 4p4a2
n-1
利用求根公式得 an
=
．
……………………（7 分）
2
p
2
1
+ 1+ 4p4an-1
2
1+ 2p2an-
1
2p2
而 an > 0 ，所以 an
=
>
1
=
an-1
+
．
2
p2
2p2
n -1
1
n +1
所以 a = (a - an-1) + (an-1 - an-2 ) +… + (a - a ) + a >
+
=
．
n
n
2
1
1
p2
p2
2p2
2
n +1
综上， an≥
．
……………………（10 分）
2
p
2
数学参考答案·第 9 页（共 11 页）

（
3）解：假设存在等差数列{an}是“ p - q - r 数列”，
设 a = a + (n -1)d = dn + (a - d) ，
n
1
1
n(n -1)
d
æ
è
d ö
则 S = na +
d =
n
2
+ ça - ÷n ，
n
1
1
2
2
2
ø
é
d
æ
è
d
ö ùr
ø û
代入 Sn
r
= (pan + q)2 得， ê
n
2
+ ça - ÷nú = [pdn + p(a - d) + q]2
．
1
1
ë
2
2
若 d = 0 ，则 (a1n)r = (pa1 + q)2 ，此时 a = 0 ， q = 0 ， pÎR ，即 a = 0 ；
1
n
…
…………………………（12 分）
d
æ
è
d ö
若 d ¹ 0 ，则 p ¹ 0 ， r =1，即
n
2
+ ça - ÷n = [pdn + p(a - d) + q]2
，
1
1
2
2
ø
d
1
2p2
比较等式两边 n2 的次数可知， = p2d
2
，即 d =
．
2
2
1
æ
1
4p2
ö
é
1
æ
1
2p2
ö
ù
此时
n
2
+ ça -
÷n = ê n + pça -
÷ + qú ，
4
p
2
è
1
ø
ë2p
è
1
ø
û
ù
æ
1 ö
1
1 é æ
1 ö
所以 a1 -
=
ê pça -
÷ + qú ， pça -
÷ + q = 0 ．
1
2p2
1
2p2
4
p2 p ë
è
ø
è
ø
û
1
1
所以 a1 =
， pq =
．
4
4
p2
4
1
1
2p2
2n -1
4p2
此时 an =
+ (n -1)´
=
．
p
2
1
2n -1
4p2
综上，当 pÎR ， q = 0 ， r ÎN* 时， an = 0 ；当 pq = ， r =1时， an =
；
4
其余情形{an}不存在．
………………………………（15 分）
当{an}存在时，
①
②
若 pÎR ， q = 0 ，则 (p -1)2 + (q -1)2 = (p -1)2 +1 的最小值为1；
1
若 pq = ，则由 (p + q)2≥4pq =1得 p + q≥1或p + q≤-1，当且仅当 p = q 时取等．
4
3
2
而 (p -1)2 + (q -1)2 = (p + q)2 - 2(p + q) - 2pq + 2 = (p + q)2 - 2(p + q) +
1
=
(p + q -1)2
+
，
2
数学参考答案·第 10 页（共 11 页）

1
1
2
所以当 p + q =1，即 p = q = 时， (p -1)2 + (q -1)2 取到最小值
．
2
1
综上， (p -1)2 + (q -1)2 最小值为 ，此时 an = 2n -1．
……………………（17 分）
2
数学参考答案·第 11 页（共 11 页）