2025届云南省玉溪一中高三11月期中考-数学试题.docx

玉溪一中 2024-2025 学年上学期高三年级期中考
数学试卷
考试时间：120 分钟；
满分：150 分
命题人：黄 旭
审题人：赵文强
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求）
1
．已知集合 A = {x lnx <1}，若aÏ A，则a 可能是（ ）
1
A．
B．1
C．2
D．3
e
2
3
．已知 a,bÎ R ，i 是虚数单位，若a -i 与2 + bi 互为共轭复数，则(a + bi)2 = （
）
A．5+ 4i
B．5- 4i
C．3+ 4i
D．3- 4i
1
1
．已知sina + cos b = ,cosa -sin b = ，则sin(a - b) =（
）
2
3
5
9
2
59
72
67
72
67
A．-
B．
C．-
D．
7
72
4
5
．下列命题中，真命题的是（ ）
1
1
A．若a < b ，则
>
B．若a > b ，则a2 > ab > b2
a
b
C．若0 < a < b < c ，则log a < log b
D．若a + 2b = 2，则
2a
+
4b
³
4
c
c
e
x
-e-x
．函数 f (x) =
的图象大致为（ ）
1
- x2
A．
B．
C．
D．
a5
S11
= （ ）
6
7
．设S 是数列{a }的前 n 项和，且a =1，S = (2S +1)S ，则
n
n
1
n
n
n+1
1
2
2
3
3
4
A．-
B．-
C．-2
D．-
x
2
2
y
2
2
．已知椭圆C :
+
=1的左、右焦点分别为 F ，F ，过点 F 的直线与椭圆C 交于 A, B 两点，
1
2
1
a
b
3
若| AF | | F B | ，且 AF B 90°，则椭圆的离心率为（ ）
Ð
=
=
1
2
1
2
2
3
5
2
A．
B．
C．
D．
2
3
5
3
8
．已知函数 f (x)= ax3 -3x2 + 4a(a ¹ 0)，若 f (x)存在唯一的零点 x ，且 x < 0 ，则a 的取值范
0
0
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围是（ ）
A．(-¥,0)È(1,+¥)
B．(-¥,0)È(0,1)
C．(-¥,-1)È(0,+¥)
D．(1, + ∞)
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）
9
．已知a ，b ，c为非零实数，则下列说法一定正确的有（
）
A．若a ，b ，c成等差数列，则a2 ，b2 ，c2 成等差数列
1
1
1
B．若a ，b ，c成等比数列，则 ， ， 成等比数列
a
b
c
C．若a ，b ，c成等差数列，则 ， ，2c 成等比数列
2
a
2b
D．若a2 ，b2 ，c2 成等比数列，则a ，b ，c成等比数列
0．在VABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若 A,B,C 成等差数列，b = 3 ，D 是 AC
中点，则下面正确的是（
1
）
3
3
A．VABC 周长的最大值为3 3
B．VABC 面积的最大值为
2
3
C．中线 BD 长度的最大值为
D．若A 为锐角，则cÎ(1, 2]
2
1
1．若Ox,Oy 是平面内两条相交成120o 角的数轴，e 和e 是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，
1
2
若向量OP = xe + ye ，则规定有序数对(x, y)为向量OP 在坐标系 xOy 中的坐标，记作OP = (x, y)，
1
2
设OA = (1,1),OB = (-1,1),OC = (1,t)，则（
）
A． OA =
2
B．OA
^
OB
C．若 BC / /OA，则t = 3
D．若 ABC 构成锐角三角形，则t Î(2, 5)
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
r
r
r
π
3
r
1
1
2．向量a,b 满足|a |= 2,|b |=1,a 与 的夹角为 ，则| a - 2b |=
．
b
3．已知正四棱台上底面边长为 2cm，侧棱和下底面边长都是 4cm，则它的体积为
cm3
.
π
1
4．已知函数 f (x)= asinwx +bcoswx(w > 0)满足下列条件：① 为 y = f (x)的极值点；② f (x)
3
é
3π 4πù
ú 上是单调函数，则w 的取值范围是
在区间ê
,
.
ë
5
5 û
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1
5．（13 分）已知数列{a }的前n 项和为S ，且 S = S + a +1, _________.
n
n
n+1
n
n
第 2 页 共 4 页

在① a + a =16；②a ,a ,a 成等比数列；③S = 77三个条件中任选一个补充在横线上，并
3
11
2
5
11
11
解答下面问题：
(1)求数列{an}的通项公式；
ì
ü
1
1
2
(2)若数列í
ý的前n 项和T ，求证：T < .
anan+1
n
n
î
þ
1
6．（15 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，AD//BC ，PA = BC = 2AD = 2AB = 4 ，AD ^ 平面 PAB ，
PA ^ AB ， E 、 F 分别是棱 PB 、 PC 的中点.
(1)证明： DF// 平面 ACE ；
(2)求平面 ACE 与平面 PCD的夹角的余弦值.
1
7．（15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F (-2, 0), F (2, 0), MF - MF = 2，动点M 的轨
1
2
1
2
迹为C ．
(1)求C 的方程；
(2)过 F 作直线l 与C 交于C、D 两点，若CF = 3F D ，求直线CD 的斜率．
2
2
2
1
8．（17 分）已知函数 f (x)= x2 -(2a +1)x + aln x(aÎR)．
(1)若函数 y = f (x)在 x =1处的切线平行于 轴，求 的值；
x
a
(2)讨论 f (x)的单调性；
(3)若 g(x)= f (x)- x2 -(a -1)ln x 有两个不同的零点 x , x ，求a 的取值范围．
1
2
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1
9．（17 分）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展
展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折
服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑
曲线C : y = f (x)上的曲线段 AB ，其弧长为Ds ，当动点从A 沿曲线段 AB 运动到 B 点时，A 点
的切线l 也随着转动到 B 点的切线l ，记这两条切线之间的夹角为Dq （它等于l 的倾斜角
A
B
B
与lA 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固
Δq
定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 K =
为曲线段 AB 的平均曲率；显然当 B
Δs
越接近A ，即Ds 越小， K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义
y''
Δq
K = lim
=
若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率（. 其中 y ，y 分别表示ꢀ = ꢁ ꢂ
¢
¢¢
3（
2
Δs
®
0
Δs
(1
¢
y
)
+
2
在点A 处的一阶､二阶导数）
(1)已知抛物线 x2 = 2 py( p > 0)的焦点到准线的距离为 3，则在该抛物线上点(3, y)处的曲率是
多少？
æ
ex +
-x ö
1
1
e
(2)若函数 g (x) =
- ，不等式 gç
÷ £ g 2-coswx 对于ꢂ ∈ ꢃ恒成立，求w 的取值范
(
)
2
x
+1
2
è
2
ø
围；
(3)若动点 的切线沿曲线 f (x)= 2x2 -8运动至点 B(x , f (x ))处的切线，点 的切线与 x 轴的
A
B
n
n
交点为(xn+1,0)(nÎN* ).若 x = 4，b = x -2，T 是数列 ꢄ 的前n 项和，证明T < 3.
1
n
n
n
ꢅ
n
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