简谐振动的速度和加速度.ppt

10-1 谐振动,10-2 阻尼振动,10-3 受迫振动 共振,10-4 电磁振荡,10-5 一维谐振动的合成,10-6 二维谐振动的合成,10-7 振动的分解 频谱,10-8 非线性振动与混沌,第十章 机械振动和电磁振荡,10-1 谐振动,简谐振动（simple harmonic motion,SHM）：,一、谐振动的特征及其表达式,受力特点：,线性回复力,动力学特征,物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。,其解为,令,简谐振动的特征方程,简谐振动表达式,v,m,=,A,称为,速度幅值,；,a,m,=,2,A,称为,加速度幅值,。,简谐振动的速度和加速度：,简谐振动的运动学特征方程,由初始条件(,x,0,，,v,0,),求解振幅和初相位,：,设,t,=0时，振动位移：,x,=,x,0,振动速度：,v,=,v,0,二、描述,谐振动,的特征量,2.,周期(period),T,:完成一次完全振动所经历的时间。,1.,振幅(amplitude),:,A,（即最大位移，,x,=,A,）,角频率（或称圆频率）,：,频率(frequency),:单位时间内完成完全振动的次数。,=1/,T,A,x,t,O,T,相位差：,=,(,2,t+,20,),-,(,1,t,+,10,),对两,同频率,的谐振动,=,20,-,10,初相差,当,=,2,k,，(,k,=0,1,2,)，,两振动步调相同，称,同相,。,初相位,（initial phase）,：,0,（,t,+,0,）描述振动状态,3.,相位（phase）,：,当,=,(2,k,+1),，,(,k,=0,1,2,)，两振动步调相反，称,反相,。,若,0,20,-,10,)的物体，在光滑水平面内做直线运动。求解其运动。,解：,弹簧、物体的动能分别为,当物体处于位移,x,速度为,v,时，,弹簧元 d,l,的质量为,位移为,速度为,系统弹性势能为,系统机械能守恒，有,对时间求导，,常量,常量,仍为简谐振动,10-2 阻尼振动,振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所做的振动，称为,无阻尼自由振动,。,在回复力和阻力作用下的振动称为,阻尼振动,。,阻尼：消耗振动系统能量的原因。,阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼,对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于,速度，且方向相反，表示为,：阻力系数,阻尼振动方程：,引入,阻尼因子,固有频率,在小阻尼条件下 ，微分方程的解为,其中,和 为积分常数，由初始条件决定。,阻尼振动的准周期性,余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；,减幅振动,反映了阻尼对振幅的影响。,阻尼振动的周期：,阻尼振动的三种情形：,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,10-3 受迫振动 共振,一、受迫振动,物体在周期性外力（,驱动力,）的持续作用下发生的振动称为,受迫振动（forced vibration）,。,驱动力：,运动方程：,设,当阻尼较小,0,时,方程的解：,暂态项,稳定项,稳定振动状态：,在稳定振动状态下，受迫振动的频率等于驱动力的频率。,稳态时振动物体速度：,在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。,二、共振,当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为,位移共振（displacement resonance）,。,受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为,速度共振（velocity resonance）,。,在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。,10-4 电磁振荡,一、,LC,电路的振荡,电路中电压和电流的周期性变化称为,电磁振荡,。,LC,振荡电路,向左合上开关，使电源给电容器充电，然后将开关接通,LC,回路，出现电磁振荡效应。,电荷与电流（电场能量与磁场能量）随时间作周期性变化，且不断相互转换。若电路中无能量损耗，这种变化将一直持续下去，称为,(无阻尼)自由振荡,。,C,L,+,Q,-,Q,+,Q,-,Q,LC,回路的振荡过程,I,I,设,t,时刻电容器极板上电荷量为,q,，,电路中电流为,i,，顺时针方向为电流正向，,振荡角频率,（无阻尼）自由振荡的定量分析,C,L,i,Q,0,是电荷量振幅，,0,是振荡初相。,电荷和电流都做简谐振动，电流的振动超前电荷,/2,。,电场能量为,磁场能量为,电磁场总能量守恒,二、受迫振荡 电共振,LRC,电路在外加周期性电动势持续作用下产生的振荡，称为,受迫振荡,。,对受迫振荡：,电动势：,稳态解：,其中,当电路满足,时，电流振幅最大，称为,电共振,。,电流振幅最大值为,即,三、力电类比,机械振动,电磁振荡(串联电路),位移,x,速度,v,质量,m,劲度系数,k,阻力系数,驱动力,F,弹性势能,kx,2,/2,动能,mv,2,/2,电荷,q,电流,i,电感,L,电容的倒数,1/,C,电阻,R,电动势,电场能量,q,2,/2,C,磁场能量,Li,2,/2,10-5 一维谐振动的合成,一、,同一直线上,两个同频率谐振动的合成,某一质点同时参与两个独立的、同方向、同频率的简谐振动，其振动位移分别为,合振动：,合振动仍为,同方向同频率的,简谐振动。,（由振动的叠加原理）,合振动：,（1）若,则,（2）若,则,求合振动。,例10-3,解：,讨论,二、同一直线上两个不同频率谐振动的合成 拍,设同方向、角频率分别为 和 的两简谐振动（），它们所对应的旋转矢量分别为 和,相对于 的转动角速度：,振幅：,随时间缓慢变化,拍：,合振动的振幅时强时弱的现象(,|,2,-,1,|,2,1,时),拍的周期：,拍的频率：,谐振因子：,10-6 二维谐振动的合成,两相互垂直同频率简谐振动的合成,其振动轨迹为一椭圆。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。,同频率垂直简谐振动的合成,消去,t,，得,y,x,讨论几种特殊情形：,1.,质点做线振动,s,y,x,质点做线振动,合振动的振幅：,y,x,质点振动轨迹为,右旋正椭圆,。特别当,A,1,=,A,2,时，合成为,右旋圆轨迹,。,2.,y,方向振动超前于,x,方向,质点振动轨迹为,左旋正椭圆,。,两同频率垂直简谐振动在不同相位差时的合成,不同频率垂直简谐振动的合成,2.当两振动频率恰成整数比时，得封闭稳定轨道，,称为,李萨如,(,Lissajous),图,。,看成,，,但相位差缓慢变化。,合运动轨迹将按不同相位差的合成图形依次缓慢变化。,x,:,y,李萨如图,10-7 振动的分解 频谱,若周期性振动的频率为,0,则各分振动的频率为,0,2,0,3,0,周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动离散频谱。,傅里叶分析：,对周期性函数,f,(,t,),(基频,二次谐频,三次谐频,),t,x,0,t,0,t,x,1,t,0,x,3,t,0,x,5,0,x,1,+,x,3,+,x,5,+,x,0,0,t,x,0,方波的分解,10-8 非线性振动与混沌,单摆运动方程：,摆角很小时,线性微分方程,解为线性（简谐）振动：,摆角较大时,非线性微分方程,解为非线性振动。,振动物体在非线性回复力作用下所做的振动为非线性振动。,非线性方程一般没有解析解，而采用数值求解。非线性方程的解取决于方程的参数，可以是周期性的，也可以是混沌的。,混沌(chaos)是一个非线性方程所描述的确定性系统出现的貌似不规则的运动，其特征表现为对初态的敏感性和未来的不可预见性。,混沌是回复性非周期运动。,蝴蝶效应,