线性代数考试题库及答案(五).docx

线性代数考试题库及答案
一、单项选择题(共5小题，每题2分，共计10分)

1.在 f(x)
1x'1
X 11
展开式中，X2的系数为

(A) -1(B) 0
(C) 1(D) 2

2. A 是 mxn 矩阵，r (A)
r,B是m阶可逆矩阵，C是m阶不可逆矩阵,

rC) r
(A)
BAX
的基础解系由
n-m个向量组成
(B)
BAX
的基础解系由
n-r个向量组成
(C)
CAX
的基础解系由
n-m个向量组成
(D)
CAX
的基础解系由
n-r个向量组成

(A)
A
B
(B)
A B,但 A
B| 0
(C)
A
B
(D)
A与B不一定相似，但|A| |B|

4.设A,B,C均为n阶矩阵，
且 AB BC CA
E ,其中E为
n阶单位阵，则
A2
B2
C2

()
(A)
O
(B)
E
(C) 2E
(D) 3E

1
0
1 0
，则A与B

5.设A
0
,B
2
0 3

()
(A)合同，
且相似

(B)不合同，
但相似

则(
但不相似
(D)既不合同，又不相似
(C)合同，
3.设n阶矩阵A,B有共同的特征值，且各自有n个线性无关的特征向量，

、填空题(共
填空题(共10小题，每题2分，共计20分)
1.
a
1
b
1
c
1

2a
1
b
1
c
1
3c
1
a
2
b
2
c
2
m
0,则 2a2
b
2
c
2
3c
2
a
3
b
3
c
3

2a
3
b
3
c
3
3c
3

已知
若三阶矩阵Q满足AQ
0
2
0
1
0
1
1
0
1
2.
E A2
Q,则Q的第一行的行
3.
向量是已知
C 2
为n维单位列向量，T为
的转置
4.
2分别是属于实对称矩阵A的两个互异特征值
5.
6.
设1,
T
设A是四阶矩阵，A为其伴随矩阵，『2是齐次方程组AX0的两个线
性无关解，则r(A ) 。
向量组(1,3,0,5,t0)(0, 2, 4, 6浏)
是1。2
『2的特征向量，则
(0, 3, 0,6,t9的线性关系
7.
已知三阶非零矩阵B的每一列都是方程组
8.
已知三维向量空间R3的基底为
(2, 0,0)在此基底下的坐标是
x
2x
2x
0

1
2
3

2x
1
x
2
x
3
0的解:
,则
3x
x
x
0

1
2
3

, 2
(1,0,
此
3
(0,1,D,
则向量

3
2
1
1
1 0
0
设A 1
2
1
0 a
0 ,则a。
1
1
2

4
二次型f %
x ,x)
2 飞
2x2
1
2x2 2x2 2xx 2xx 2x x
231 21 32 3

1
9.
的秩为
(1,1,0)
10.

三、计算题（一）（共4小题，
每题8分，共计32分）
a b
b
b

b a
b
b

1.试求行列式Di i b b
a
b
的第四行元素的代数余子式之和.
1 2
3
4

1 0 0
1
0
0
2.设 A0 2 0 ,B
0
1
0 ,求(AB)七
0 0 3
0
3
1

1 2 0
3.设n阶方阵A,B满足A
2B
AB
，已知B 12 0,求矩阵A
0 0 3

4 设二次型 f（x,x,x） ax2 2x2 2x2 2bx x （b 0）中，二次型的' •— w]2312313， — vv xi
矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12 . （1）求a,b的值；（2）用配方法化该二次型为标准形.
四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共30分）
1. 当为何值时，方程组
2x x x 1
123 c
x x x 2
123
4x 5x 5x1
123
无解、有唯一解或有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示 全部解.
2 已知向量组 1(1,3,2,0),2(7,0,14,3) ,3 (2, 1,0,1),
4(5,1,6,2), 5(2, 1,4,1T, (1)求向量组的秩；(2 )求该向量组的一个
极大无关组，并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.
1 22
3.已知矩阵A212；判断A能否对角化，若可对角化，求正交
2 21
矩阵P ,使P 1AP为对角矩阵，并写出相应的对角矩阵。
五、证明题(共2小题，每题4分，共计8分)
1. 设 是n阶矩阵A的属于特征值 的特征向量.证明：也是A 5 4A 3 E 的特征向量.其中E为n阶单位矩阵.
2. 设n维向量组，，线性无关，向量组，，线性相关，证明：必可 由，，线性表示.
《线性代数》(A卷)答案要点及评分标准
一. 选择题(共5小题，每题2分，共计10分)
1. A; 2. B; 3. C; 4. D; 5. C.
二. 填空题(共10小题，每题2分，共计20分)
1. 6m;2. (2,0,1);3. T ;4. 0;5. 0;
6.线性无关； 7.1;8.1, 1,-1;9.1; 10.2.
三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分）

1、解：

a b b b

b a b b
AAAA

41424344
b b a b

1111

4分
a b a b a b a

b a b

(a b)3
b 0 a b 0

10

8分

1 0
2、解：方法一：AB02
0 0
11
(ABE)0 2
0 930

011
120
30 31093
2分
0 0
1 0
0 1

1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0

2

2

0
0
3
0
9_
1
0
0
1
0
3
1

2

2
3

1
0
0
所以、

1

(AB ) 1
0
2
0

3
1

0

2
3
(2 )方法二：

1
0
0
(AB) 1 B 1A 1
0
1
0

0
3
1

8分
1
0
0
1
0
0

1

1

0

0
0

0 8分

2

2

1

3
1
0
0

0

3

2
3

3、解：方法一：由 A 2B AB ,得到 A(E B) 2B ,
0
(E B,E) 1
0
2 010 0
1 10
02 0 0 1
010
1

所以，E B可逆，A
2B (E B) 1= 120 .
3

f = X2 2x2 2
x2 4x x
(x 2x)2 2 x 2 6 x 2
1 2
3 1 3
13 2 3
y x
2x

1 1
3

令 y x
，标准形为y 2 2y 2 6y 2. ..
2
2
1 2 3
y x

3
3

四、计算题(二
)(共3小题，每题10分，共计30分)

2 1

1、解：|A|
1 1
(1)(5 4)由克莱姆法则

4 5 5

a 2 ( 2) 1, 4a 2b2 12
a 1,b 2

方法二：由A 2B AB ,得到A(E
B)
2B ,
……2分
用初等列变换求A

02
0
10 0

11
0
0 10

E B
2
0 0 1

2B24
0
3 2 0

24
0
12 0

6
0 0 3

. ... 6 分
32 0

所以，A 120.

..•8 分
0 0 3

a 0
b

4、解：二次型的矩阵A 0 2
0
根据题意得到

b 0
2

4分

.…4 ,
当1且m时，方程组有唯一解；……2分

2
4
1
1

4
5
4
5

10
4
5
5
r(A,b)
1
1
2
4
5
5
10

5
5
1
0
0
0
9

有r(A) r(A,b),所以方程组无解；……4分
当 1时

2
1
1
1
1
0
0
1
r(A,b)
1
1
1
2
0
1
1
1

4
5
5
1
0
0
0
0

有r(A) r(A,b) 2 3 ,方程组有无穷多组解，原方程组等价于方程组为
xi 1
x x 1 23
取％ 0,得到特解 (1, 1,0)t
令％ 1,代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为
(1,0,D
方程组的全部解为
x k 其中k为任意常数……10分
2、解：初等行变换矩阵(，，，，)到行最简梯矩阵为
12345
(,,,,)
1 2 3 4 5
1
3
2
0
7
0
14
3
2
1
0
1
5
1
6
2
2
1
4
1
2
3
1
3
1
0
1
3
1
3
0
0
可得向量组的秩为3
向量组的一个极大无关组为
2 1
4 3 13 2
10分
3、解：A的特征多项式为
E A|
5)(
1)2
得到矩阵A的全部特征值为
1,
23
当 1时
12
由(E A)x
0得一个基础解系
(1,1,0),
1 2
(1,0,1T)
正交化，单位化
0>
当3 5时，由(5E
A)x 0的一个基础解3 (1,1,1)

8分
将其单位化得
3
因此入能对角化

1
72
6
1
3
且正交阵P (,,)

史
_!,使P 1AP ,
123

6
0

0
0
而
1

3

1 0
0

相应的对角阵为
01
0
……10分

5

五、证明题(共2小题,
，每题4分，
共计8分)
1、证明： 因为 A
,
有

(A 5 4A
3 E)
A5
4A 3
5
4 3
(
5 4 3 1)

根据特征值和特征向量的定义得也是A 5 4A 3 E的特征向量.
4分
2、证明：由，，线性无关，得到，线性无关，又，，线性相关，则
可以由，线性表示，所以 必可由，，线性表示.
4分