高等数学集合与函数(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等院校非数学类本科数学课程,一元微积分学,大 学 数 学,（,1,）,第一讲 集合与映射,授课教师：,易学军,1,欢迎观看,2,1,教学要求,.,答疑安排,2,相关竞赛,3,书籍选购,4,学科介绍,.,本学期内容,3,第一章 集合与函数,本章学习要求：,正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。,掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的,分析表示和图形特征。,正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复,合函数进行分解。,会求函数（包括分段函数）的反函数。,了解“取整函数”和“符号函数”。,能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。,4,第一,节 集合与映射,一、集合的基本概念,二、集合的基本运算,三、映射的基本概念,四、实数、区间、邻域,5,康托尔将集合定义为：,所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间,有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一,个整体来考虑的结果。,1.,集合,一、集合的基本概念,6,7,2.,集合的表示法,列举法：将集合,A,的所有元素一一列举出来，并用,花括号括上。,表示集合的方法有两种,:,注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得,重复出现。（唯一，互异，无序）,8,二、集合的基本运算,在,wen,图中，用矩形表示全集。,1.,集合运算的概念,9,10,一般说来,A,B,11,A,B=,A,B,迪卡尔集,12,1,.,实数集与数轴,实数集为有理数集与无理数集的并,.,实数具有稠密性和连续性,.,a,R,，,必,n,Z,，,使,n,a,n,+1.,实数与数轴上的点一一对应,.,三、实数、区间、邻域,13,2,.,绝对值、距离,任一实数,a,的绝对值,|,a,|,定义为：,数轴上任意两点,a,，,b,之间的距离为,d=|,a,b,|,。,14,3.,区间,(1),闭区间,a,b,=,x,|,a,x,b,a,b,(2),开区间,(,a,b,)=,x,|,a,x,b,a,b,。,。,(,),15,(,a,b,=,x,|,a,x,b,(,称为左开右闭区间,),a,b,)=,x,|,a,x,a,(,b,=,x,|,x,b,(,b,)=,x,|,x,b,(,+,)=,x,|,x,+,=,x,|,x,R,a,(,+,),a,+,),17,(5),区间长度,有限区间的长度,=,右端点值左端点值,不论是闭区间、开区间、半开闭区间，,其长度计算均按此式进行。,所有无穷区间的长度,=+,18,U(,x,0,)=,x,|,x,x,0,|0,x,0,+,(,),x,0,x,0,4.,邻 域,19,(,x,0,)=,x,|0|,x,x,0,|0,x,0,+,(,),x,0,x,0,20,点,的某邻域，,记为,U(,x,0,),.,点,的某去心邻域，,记为,(,x,0,),.,21,点,x,0,=3,的,=0.1,邻域为,点,x,0,=3,的去心,=0.1,邻域为,例,1,22,四、映射的基本概念,1.,映射,23,注意：,1),映射是集合间的一种对应关系,.,集合,X,、,Y,中所含的元素不一定是数，可以是其它的一,些对象,(,或事物,),。,2),对每一个,x,X,，,只有唯一的一个,y,Y,值与之,对应关系不一定就是映射。,对应，这一点很重要，它说明集合间元素的,24,3),映射的定义不排除几个不同的,x,值与同一个,y,值对应。,R,f,X,Y,f,y,2,x,1,x,2,x,3,y,1,.,.,.,.,.,25,设,f,为集,X,到集,Y,的一个映射。,如果,x,X,，,存在唯一的,y,=,f,(,x,),Y,与之对应；,反过来,若,y,Y,存在唯一的,x,X,使得,y,=,f,(,x,),则称,f,是,X,到,Y,的一一对应。,2.,一一对应,26,第二、三节 函 数,一、函数的基本概念,二、函数的基本性质,三、基本初等函数,四、初等函数,27,一、函数的基本概念,1.,函数的定义,28,29,2,.,函数的表示法,解 析 法,表 格 法,图 示 法,自己看书！,30,3.,求函数定义域举例,数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的,定义域是一件十分重要的事情。,通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开,偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几,何意义等来确定函数的定义域。,31,例,1,32,例,2,求,的定义域。,33,将,x,表示为:,函数,y=,x,=,“,整数,”,称为取整函数，,它是一个分段函数,。,例,3,“,整数,”,+,“,正的小数,”,或,“,零,”,34,想想取整函数的图形是什么样子？,35,例,4,36,定义域与对应规则均相同的两个函数相同。,如何判断两个函数是否相同,?,4.,判断函数相同,37,例,6,38,5.,函数的图形,称为函数,f,(,x,),的图形。,在平面上建立直角坐标系,O,x y,，,则,x y,平面上的点集,是否所有的函数均可绘出几何图形？,39,例,7,狄利克雷函数就不能作出几何图形,.,Dirichlet,18051859,狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才,能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的,杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国,数学界的核心人物之一。,40,单调性,有界性,奇偶性,周期性,二、函数的基本性质,41,1.,单调性,在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间,I,上单调增加,记为 。,42,在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间,I,上单调减少,记为 。,43,函数的单调性是一个局部性的,性质,它与所讨论的区间,I,有关.,44,画画图就一目了然,.,例,9,我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。,45,2.,有界性,有界性,有上界,有下界,有 界,46,设函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上有定义,。,若存在实数,A,B,使,对一切,x,I,恒有,A,f,(,x,),B,则称函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上有界,。,否则,称函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上无界,。,函数有界性的定义,47,y,=,f,(,x,),x,x,y,y,A,A,B,B,O,O,y,=,f,(,x,),函数有界示意图,48,函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上有界,你能理解吗,?,49,成立，则称函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上是上方有界的,简称有上界。,设函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上有定义。,若存在实数,M,(,可正，,可负,),，对一切,x,I,恒有,y,=,f,(,x,),f,(,x,),M,50,f,(,x,),m,在区间,I,上是下方有界的,简称有下界。,设函数,y,=,f,(,x,),在区间,I,上有定义。,若存在实数,m,(,可正，,可负,),对一切,x,I,恒有,成立，则称函数,y,=,f,(,x,),y,=,f,(,x,),51,函数,y,=,f,(,x,),有界,f,(,x,),既有上界又有下界.,在区间,I,上,:,x,y,A,B,O,52,无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区,在区间,I,上有下界,，,则必有,若函数,间,I,上的下确界，记为,无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区,在区间,I,上有上界,，,则必有,若函数,间,I,上的上确界，记为,有上,(,下,),界的函数是否必有上,(,下,),确界？,可以证明,：,有上,(,下,),界的函数必有上,(,下,),确界,.,53,如何证明或判断函数无界？,提一个问题：,54,例,10,55,3,.,奇偶性,若,x,D,f,有,f,(,x,)=,f,(,x,),成立，则称,f,(,x,),为偶函数,。,偶函数的图形,关于,y,轴对称,。,若,x,D,f,有,f,(,x,)=,f,(,x,),成立，则称,f,(,x,),为,奇,函数,。,奇函数的图形,关于坐标原点,对称。,设函数,y,=,f,(,x,),的定义域,D,f,关于坐标原点对称。,56,4,.,周期性,57,三、基本初等函数,大家在中学就已熟悉它们了！,58,以下六种简单函数,称为基本初等函数,1,.,常值函数,y=C,(,C,为常数,),2,.,幂函数,y=x,(,R,为常数,),3,.,指数函数,y=a,x,(,a,0,a,1,),59,4,.,对数函数,y=,log,a,x,(,a,0,a,1,),5,.,三角函数,y,=sin,x,y,=cos,x,y,=tan,x,y,=cot,x,y,=sec,x,y,=csc,x,6,.,反三角函数,y,=arcsin,x,y,=arccos,x,y,=arctan,x,y,=arccot,x,y,=arcsec,x,y,=arccsc,x,详 情 见 书,60,四、复合函数、反函数,？,如何,描述,61,1,.,复合函数,设有映射,及,的每一个,x,所对应的,u,值，都属于,f,(,u,),的定义域,D,f,，,如果对于映射,的定义域,(,或定义域的一部分,),中,那么，将,代入,消去,u,后,就有,其中，,u,称为中间变量。,与,称之为,函数,复合而成的复合函数。,62,由函数,可构成复合函数,函数复合后一般应重新验证它的定义域,例,13,63,函数复合而成,?,它是由以下几个函数复合而成,:,例,14,解,复合函数分解到,什么时候为止？,以上过程称为,对复合函数的分解,分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止,.,64,是一一对应,(,即映射,f,是一一对应,),称,f,的,f,的反函数,.,只有在一一对应的前提下才能有反函数,.,与,互为反函数,.,2,。反函数的定义,65,例,16,66,反函数的图形,将函数,y,=,f,(,x,),的反函数写成,x,=,f,1,(,y,),时，,函数与其反函数的图形相同,.,将函数,y,=,f,(,x,),的反函数记为,y,=,f,1,(,x,),时，,函数,y,=,f,(,x,),与其反函数,y,=,f,1,(,x,),的图形关于,第,、,象限的角平分线,y,=,x,对称。,67,反函数的图形,68,例,16,得,由,由,得,由,得,解,综上所述，所求反函数为,69,故所求反函数为,求分段函数的反函数是：,先求出各段上函数的反函数，,然后综合起来，得出原分段函数的反函数。,70,增加的,.,定理,减少,减少,71,五、初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算,和复合运算而成的函数,称为初等函数。,72,例如,都是初等函数,.,73,一般说来,分段函数不是初等函数,.,但有个别分段函数例外，例如,因为它可以改写为初等函数,的形式,.,74,幂指函数,是否为初等函数？,该幂指函数是一个初等函数,.,例,18,75,六、双曲函数反双曲函数,学习双曲函数时,注意与中学学习过的,三角函数进行比较,找出它们之间有关定义,及计算公式的相同处和不同处。,76,双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,双曲余切,双曲正割,双曲余割,77,作业：,P17,1.7.8,；,P26,1,（,3,），,4(4),5(4),，,9,（,4,）,78,