数值分析第二版张铁编习题答案市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1-1.,下列各数都是通过四舍五入得到近似值,试分别指出它们绝对误差限,相对误差限和有效数字位数,.,x,1,=5.420,x,2,=0.5420,x,3,=0.00542,x,4,=6000,x,5,=0.6,10,5,.,一,.,习题,1,（第,10,页）,解,绝对误差限分别为,:,1,=0.510,-3,2,=0.510,-4,3,=0.510,-5,4,=0.5,5,=0.510,4,.,相对误差限分别为,:,r1,=0.510,-3,/5.420=0.00923%,r2,=0.00923%,r3,=0.0923%,4,=0.0083%,5,=8.3%.,有效数位分别为,:,4,位,4,位,3,位,4,位,1,位,.,1-2.,下列近似值绝对误差限都是,0.005,试问它们有几位有效数字,.a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032,解,有效数位分别为,:,3,位,1,位,0,位,.,第1页,第1页,1-3.,为了使,10,1/2,相对误差小于,0.01%,试问应取几位有效数字,?,解,由于,10,1/2,=3.162,=0.3162,10,若含有,n,位有效数字,则其绝对误差限为,0.5 10,1-n,于是有,r,=0.510,1-n,/3.162,0.510,1-n,/30.01%,因此只需,n=5.,即取,10,1/2,=3.1623,解,x,1,=28+27.982=55.982,x,2,=1/x,1,=0.017863,1-4.,求方程,x,2,-56x+1=0,两个根,使它们至少含有四位有效数字,第2页,第2页,2-2(1).,用列主元,Gauss,消元法解方程组,解,二,.,习题,2 (,第,50,页,),回代得解,:x,3,=1,x,2,=-1,x,1,=0,第3页,第3页,2-3(1).,对矩阵,A,进行,LU,分解,并求解方程组,Ax=b,其中,解,，因此,第4页,第4页,2-4.,对矩阵,A,进行,LDM,分解和,Crout,分解，其中,解,第5页,第5页,2-5.,对矩阵,A,进行,LDL,T,分解和,GG,T,分解，并求解方程组,Ax=b,，,其中,解,第6页,第6页,2-6(1).,给定方程组,a.,用,Cramer,法则求其准确解,.b.,用,Gauss,消元法和列主元,Gauss,消元法求解,并比较结果,.(,用两位浮点计算,).,解,a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899,b.,用,Gauss,消元法,第7页,第7页,2-8.,用追赶法求解方程组,:,回代得解,:y=1,x=0.,再用列主元,Gauss,消元法,回代得解,:y=1,x=1.,第8页,第8页,解,第9页,第9页,2-10.,证实下列不等式,:,(1),x-yx-z+z-y;,(2)|,x-y|x-y;,证实,(1),x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y,(2),由于,x=(x-y)+yx-y+y,因此,x-yx-y,同理可证,y-xx-y,于是有,|,x-y|x-y.,第10页,第10页,2-11.,设,为一向量范数,P,为非奇异矩阵,定义,x,p,=,Px,证实,x,p,也是一个向量范数,.,证实,(1),x,p,=,Px,0,并且,Px,=0,Px,=,0,x,=,0,(3),x,+,y,p,=,P,(,x+y,)=,Px+Py,Px,+,Py,=,x,p,+,y,p,(2),x,p,=,P,(,x,)=,Px,=|,Px,=|,x,p,因此,x,p,是一个向量范数,.,2-12.,设,A,为对称正定矩阵,定义,x,A,=,证实,A,是一个向量范数,.,证实,由,Cholesky,分解有,A=GG,T,因此,x,A,=G,T,x,2,由上题结果知,x,A,是一向量范数,.,第11页,第11页,2-16.,对任意矩阵范数,求证,:,证实,(1),由于,A,=,AE,A,E,因此,E,1.,(2),1,E,=,AA,-1,A,A,-1,故,2-17.,证实,:(1),假如,A,为正交矩阵,则,Cond,2,(A)=1;,(2),假如,A,为对称正定矩阵,则,Cond,2,(A)=,1,/,n,1,和,n,分别为,A,最大和最小特性值,.,证实,(1)A,正交,则,A,T,A=AA,T,=E,Cond,2,(A)=,A,2,A,-1,2,=1.,(2)A,对称正定,A,T,A=A,2,A,2,=,1.,A,-1,2,=1/,n,.,(3),A,-1,-B,-1,=,A,-1,(B-A)B,-1,A,-1,B,-1,A-B,第12页,第12页,三,.,习题,3(,第,75,页,),3-2.,讨论求解方程组,Ax=b,J,迭代法和,G-S,迭代法收敛性,.,其中,解,(1)J,迭代法迭代矩阵为,得,(,2,+5/4)=0,即,1,=0,2,=,3,=,故,(B)=,因此,J,迭代法不收敛,.,第13页,第13页,(2),类似可得,(,B,)=0,(,G,)=2,故,J,迭代法收敛,G-S,迭代法不收敛,.,因此,(,G,)=1/2,故,G-S,迭代法收敛,.,G-S,迭代法迭代矩阵为,:,得,(2+1),2,=0,故,(G)=1/2.,第14页,第14页,3-3.,用,J,迭代法和,G-S,迭代法求解方程组,J,迭代法有,x,(1),=(1.2,1.5,2),T,x,(1),-x,(0),=2,取初始近似,x,(0),=(0,0,0),T,问各需迭代多少次才干使误差,x,(k),-x,*,10,-6,.,解,J,迭代法和,G-S,迭代法迭代矩阵分别为,G-S,迭代法有,x,(1),=(1.2,1.35,2.11),T,x,(1),-x,(0),=2.11,B,=1/3=0.33333,G,=1/4=0.25,第15页,第15页,易得,:(,B,)=|,(,G,)=,2,.,故当,|1,(,G,)=31.,事实上,(,B,)=1/3,1/2,(,G,)=1/3.,第18页,第18页,3-8.,鉴定求解下列方程组,SOR,办法收敛性,.,解,直接可验证系数矩阵,A,是负定矩阵,因此,-A,是对称正定矩阵,故当,0,0,(1)=-sin10,故方程在,0,1,内有根,又,(x)=-1-cosx0,x0,1,因此方程在,0,1,内仅有一个根,.,可见,需要计算,14,步,.,由于,因此,k4/log2=13.29,4-3.,比较使用下述办法求方程,e,x,+10 x-2=0,正根，准确到三位小数所需要计算量,:,(1),在区间,0,1,内用二分法,;,(2),用迭代法,取,x,0,=0.,第21页,第21页,解,(1),由,(2),迭代法迭代函数为,(x)=(2-e,x,)/10,|(x)|=e,x,/10e/101,取,L=e/10,且,x,1,=0.1,由,k3/log2=9.97,因此需要计算,10,步,.,可得,因此,只需迭代,5,步,.,可得,若取,L=e,0.1,/10,可得,k,2.46,因此只需迭代,3,次,.,4-4.,设,(x)=cosx,证实,:,任取,x,0,迭代式,x,k+1,=(x,k,),k=0,1,2,均收敛于方程,x=(x),根,.,第22页,第22页,证实,由于,对任意,x,0,都有,x,1,=cosx,0,-1,1,因此只需证实迭代式在区间,-1,1,收敛,.,由于,(x)=cosx,连续可导,|(x)|=|sinx|sin11,因此,(x),是区间,-1,1,上压缩映射,因此结论成立,.,这里迭代函数,(x)=,解,记,(x)=x,3,+2x-5C0,2,且,(0)=-50,因此方程在区间,0,2,内有根,建立迭代格式,4-5.,验证区间,0,2,是方程,x,3,+2x-5=0,有根区间,并建立一个收敛迭代格式,使对任何初值,x,0,0,2,都收敛,并阐明理由,.,由于,第23页,第23页,01,(x),因此,(x),是区间,0,2,上压缩映射,故迭代式收敛,.,证实,这里,(x)=x-(x),由于对任意,(0,2/M),均收敛于,(x)=0,根,.,4-7.,给定函数,(x),设对一切,x,(x),存在且,0m(x)M,证实对任意,(0,2/M),迭代式,2,x0,2,且,|(x)|=,2/3,1,x0,2,-1=1-2(x)=1-(x)1,因此,|()|1,试问如何将,x=(x),化为适于迭代形式,?,将,x=tanx,化为适于迭代形式,并求在,x=4.5,附近根,.,由于,|,-1,(x)|,=1/|,(x)|1/k 0),分别导出求,迭代公式,并求,第26页,第26页,由于,解,迭代格式分别为,因此对,(1),有,4-13.,证实迭代公式：,x,k+1,=x,k,(x,k,2,+3a)/(3x,k,2,+a),k=0,1,2,是求,对,(2),有,证实,设,三阶办法,.,则有,:,=(,2,+3a)/(3,2,+a),故,2,=a,即,第27页,第27页,又由于,因此有,因此是三阶办法,.,第28页,第28页,五,.,习题,5(,第,131,页,),5-1.,用,Gerschgorin,圆盘定理预计下列矩阵特性值,.,解,(1),三个圆盘为,|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.,是互相独立,因此,三个特性值分别为,;,(2),三个圆盘为,|-4|2,|-2|1,|-9|2.,前两个圆盘连通,后一个独立,因此,1,2,落在前两个圆盘连通区域内,7,3,11.,0.8,1,1.2,1.6,2,2.4,2.7,3,3.3,5-5.,求矩阵,A,按模最大和最小特性值,.,其中,第29页,第29页,解,用幂法求,A,按模最大特性值,计算公式为,:,v,(k),=,Au,(k-1),k,=max(,v,(k),),u,(k),=,v,(k),/,k,k=1,2,.,取初值,u,(0),=,(1,1,1),T,计算结果下列,:,取,1,7,=19.301,k,0,1,2,3,4,5,6,7,u,1,(k),1,1,1,1,1,1,1,1,u,2,(k),1,0.5185,0.7127,0.6487,0.6748,0.6659,0.6693,0.6681,u,3,(k),1,0.3704,0.5011,0.4366,0.4563,0.4482,0.4510,0.4499,k,27,17.1482,20.1358,18.9798,19.3984,19.2446,19.301,第30页,第30页,解,用反幂法求,A,按模最小特性值,计算公式为,:,Av,(k),=,u,(k-1),k,=max(,v,(k),),u,(k),=,v,(k),/,k,k=1,2,.,取初值,u,(0),=,(1,1,1),T,计算结果下列,:,k,0,1,2,3,4,5,6,7,u,1,(k),1,1,-0.1318,-0.6500,-0.1902,-0.3689,-0.0590,-0.2550,u,2,(k),1,-0.1892,0.1493,1,-0.3323,1,-0.5811,1,u,3,(k),1,0.2162,1,-0.3969,1,-0.6917,1,-0.9204,k,0.1131,0.1204,-0.1353,-0.2192,-0.1659,-0.2225,-0.1724,k,8,9,10,11,12,13,14,15,u,1,(k),-0.0292,0.1975,0.0617,0.1564,0.0916,0.1355,0.1058,0.1259,u,2,(k),-0.7168,-0.9940,-0.7713,-0.9089,-0.8119,-0.8765,-0.8319,-0.8618,u,3,(k),1,1,1,1,1,1,1,1,k,-0.2330,0.1794,0.2345,0.1938,0.2197,0.,0.2137,0.2054,取,n,1/,15,=4.8686,第31页,第31页,5-7.,利用带位移反幂法计算矩阵特性值,.,解,作位移矩阵,B=A-7E,建立计算公式,:,Bv,(k),=,u,(k-1),k,=max(,v,(k),),u,(k),=,v,(k),/,k,k=1,2,.,取初值,u,(0),=,(1,1,1),T,计算结果下列,:,k,0,1,2,3,4,5,6,7,u,1,(k),1,1,1,1,1,1,1,1,u,2,(k),1,0.75,0.7222,0.7162,0.7148,0.7144,0.7143,0.7143,u,3,(k),1,-0.4,-0.8044,-0.9403,-0.9828,-0.9951,-0.9987,0.9998,k,-2,-1.125,-1.0278,-1.0067,-1.0018,-1.0004,-1.0000,取,7+1/,7,=6,第32页,第32页,5-9(2),利用,Jacobi,办法求矩阵,A,所有特性值，其中,解,记,取,p=1,，,q=2,，则有,cos=(1+t,2,),-1/2,=0.7071,sin=tcos0.7071,第33页,第33页,类似地有,因此取,1,7.37228,2,2.99991,31.62781,5-10.,设矩阵,H=E-2xx,T,向量,x,满足,x,T,x,=1,证实,:,(1)H,为对称矩阵,即,H,T,=H,;(2)H,为正交矩阵,即,H,T,H=E,;,(3)H,为对合矩阵,即,H,2,=E,.,第34页,第34页,证实,(1),由于,H,T,=(E-2xx,T,),T,=E-2xx,T,=H,故,H,对称,.,6-1.,当,x=1,-1,2,时,(x),分别为,0,-3,4,求,(x),二次插值多项式,p,2,(x).,(2),由于,H,T,H=(E-2xx,T,),T,(E-2xx,T,)=E-4xx,T,+4xx,T,xx,T,=E,故,H,正定,.,(3),由,(1),和,(2),即得,H,是对合矩阵,.,六,.,习题,6(,第,180,页,),解法一,.,基函数法,:,p,2,(x)=,l,0,(x)y,0,+,l,1,(x)y,1,+,l,2,(x)y,2,=-3,l,1,(x)+4,l,2,(x),第35页,第35页,6-2.,设,l,2,(x),是以,x,k,=x,0,+kh,k=0,1,2,3,为插值节点,3,次插值基函数,求,解法二,.,待定系数法,设,p,2,(x)=(x-1)(ax+b),则有,p,2,(x)=-3,l,1,(x)+4,l,2,(x),2(a-b)=-3,2a+b=4,解得,a=5/6,b=7/3,因此,p,2,(x)=1/6(x-1)(5x+14),第36页,第36页,6-3.,设,l,0,(x),l,1,(x),l,n,(x),是以,x,0,x,1,x,n,为节点,n,次,Lagrange,插值基函数,求证,:,解,证实,(1),记,(x)=x,k,则,y,j,=(x,j,)=x,j,k,j=0,1,n.,于是,第37页,第37页,6-4.,设,(x)C,2,a,b,且,(a)=(b)=0,证实,证实,以,a,b,为节点作,(x),线性插值有,L,1,(x)=0,故,(2),记,(t)=(t-x),k,则,y,j,=(x,j,)=(x,j,-x),k,j=0,1,n.,于是,取,t=x,则有,其中,|(x)|=|(x)-L,1,(x)|,第38页,第38页,6-5.,利用,y=,近似值,并由误差公式给出误差界,同时与实际误差作比较,.,解,由二次,Lagrange,插值得,:,在,x=100,121,144,点函数值,用插值办法求,实际误差：,第39页,第39页,6-8.,(x)=x,5,+4x,4,+3x+1,求差商,2,0,2,1,2,5,和,2,0,2,1,2,6,.,解,2,0,2,1,2,5,=,2,0,2,1,2,6,=0,6-9.,设,(x)=x,5,+x,3,+1,取,x,0,=-1,x,1,=-0.8,x,2,=0,x,3,=0.5,x,4,=1,作出,(x),关于,x,0,x,1,x,2,x,3,x,4,差商表,给出,(x),关于,x,0,x,1,x,2,x,3,Newton,插值多项式,并给出插值误差,.,解,差商表为,x,k,(x,k,),一阶差商,二阶差商,三阶差商,四阶差商,x,0,=-1,x,1,=-0.8,x,2,=0,x,3,=0.5,x,4,=1,-1,0.16032,1,1.15625,3,5.8016,1.0496,0.3125,3.6875,-4.752,-0.567,3.375,2.79,2.19,-0.3,第40页,第40页,Newton,插值多项式为,:,|R,3,(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|,6-10.,设,(x)=x,4,+2x,3,+5,在区间,-3,2,上,对节点,x,0,=-3,x,1,=-1,x,2,=1,x,3,=2,求出,(x),分段三次,Hermite,插值多项式在每个小区间,x,i,x,i+1,上表示式及误差公式,.,解,在,-3,-1,上,由,y,0,=32,y,1,=4,y,0,=-54,y,1,=2,h=2,得,N,3,(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8),+2.79(x+1)(x+0.8)x,5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|,H,3,(x)=32,0,(x)+4,1,(x)-54,0,(x)+2,1,(x),令,0,(x)=(x+1),2,(ax+b),可得,a=1/4,b=1,因此,0,(x)=(x+1),2,(x+4)/4,第41页,第41页,同理可得,:,0,(x)=(x+3)(x+1),2,/4,1,(x)=-(x+3),2,x/4,1,(x)=(x+3),2,(x+1)/4,H,3,(x)=8(x+1),2,(x+4)-(x+3),2,x,-13.5(x+3)(x+1),2,+0.5(x+3),2,(x+1),=-6x,3,-22x,2,-24x-4,因此有,误差为,R(x)=(x+3),2,(x+1),2,类似地,在区间,-1,1,上有,H,3,(x)=2x,3,+2x,2,+4,R(x)=(x+1),2,(x-1),2,第42页,第42页,H,3,(x)=,写到一起就是,R(x)=,在区间,1,2,上有,H,3,(x)=8x,3,-13x,2,+12x+1,R(x)=(x-1),2,(x-2),2,-6x,3,-22x,2,-24x-4 ,-3x-1,2x,3,+2x,2,+4 ,-1x1,8x,3,-13x,2,+12x+1 ,1x2,(x+3),2,(x+1),2 ,-3x-1,(x+1),2,(x-1),2 ,-1x1,(x-1),2,(x-2),2 ,1x2,6-12.,拟定,a,，,b,，,c,使函数,第43页,第43页,是一个三次样条函数。,解,由于,S(x),是分段三次多项式,故只需,S(x)C,2,0,3,由,1=S(1-0)=S(1+0)=c,得,c=1,因此,当,a=b=3,c=1,时,S(x),是三次样条函数,.,6-13.,拟定,a,，,b,，,c,d,使函数,由,3=S(1-0)=S(1+0)=b,得,b=3,由,6=S(1-0)=S(1+0)=2a,得,a=3,是一个三次样条函数,且,S(2)=12.,解,由已知可得,:a+b+c+d=2,b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12,解之得,:a=-1,b=3,c=-2,d=2.,第44页,第44页,6-19.,给出函数表,解,线性拟合,即形如,y=a+bx,拟合曲线,.,结构向量,0,=(1,1,1,1,1,1),T,1,=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1),T,=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2),T,.,则得正则方程组,:,6a+0.5b=13.52,x,i,-1,-0.5,0,0.25,0.75,1,y,i,0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2,试分别作出线性,二次曲线拟合,并给出最佳均方误差,.,0.5a+2.875b=7.055,解得,:,因此,线性拟合曲线为,:y=2.078971+2.092353x,最佳均方误差为,:,*,2,=0.38659,第45页,第45页,二次拟合,即形如,y=a+bx+cx,2,拟合曲线,.,结构向量,0,=(1,1,1,1,1,1),T,1,=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1),T,2,=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1),T,，,=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2),T,.,则得正则方程组,:,6a+0.5b+2.875c=13.52,0.5a+2.875b+0.3125c=7.055,解得,:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.,二次拟合曲线为,:y=1.94448+2.0851x+0.28191x,2,.,最佳均方误差为,:,*,2,=0.06943.,2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375,6-20.,用最小二乘法求一个形如,y=a+bx,2,经验公式,使与下列数据拟合,并计算均方误差,.,第46页,第46页,解,这里基函数为,0,(x)=1,1,(x)=x,2,结构向量,0,=(1,1,1,1,1),T,1,=(361,625,961,1089,1936),T,=(19,32.2,49,73.3,97.8),T,.,则得正则方程组,:,5a+4972b=271.3,4972a+6378484b=343237.5,解得,:a=3.33339,b=0.051213.,所求拟合曲线为,:y=3.33339+0.051213x,2,.,最佳均方误差为,:,*,2,=15.93299,x,i,19,25,31,33,44,y,i,19,32.2,49,73.3,97.8,6-22.,用最小二乘法求下列方程组近似解,:,第47页,第47页,解,记,G(x,y)=(2x+4y-11),2,+(3x-5y-3),2,+(x+2y-6),2,+(4x+2y-14),2,就是求,G(x,y),最小值,令,解得,:x=2.977413,y=1.225873,第48页,第48页,7-1.,建立右矩形和左矩形求积公式,并导出误差式,.,七,.,习题,7(,第,213,页,),解法,.,右矩形公式为：,由于,(x)-(a)=(,x,)(x-a),(x)-(b)=(,x,)(x-b),左矩形公式为：,因此有,第49页,第49页,7-2.,阐明中矩形公式几何意义,并证实,证实,由,Taylor,展开式有,因此有,7-3.,若,(x)0,证实用梯形公式计算定积分所得结果比准确值大,阐明几何意义,.,证实,由于,(x)0,因此,y=(x),是凹函数,故结论成立,.,第50页,第50页,7-5.确定以下积分公式中待定参数，使其代数精度尽也许高，并说明代数精度是多少？,解,令公式对,(x)=1,x,x,2,都准确成立,则有,解得,:A,-1,=A,1,=h/3,A,0,=4h/3.,A,-1,+A,0,+A,1,=2h,-hA,-1,+hA,1,=0,h,2,A,-1,+h,2,A,1,=2h,3,/3,求积公式为,:,(x)=x,3,时,左,=,右,=0,公式也准确成立,(x)=x,4,时,左,=2h,5,/5,右,=2h,5,/3,公式不准确成立,因此公式代数准确为,3.,第51页,第51页,解,令公式对,(x)=1,x,x,2,都准确成立,则有,解得,:,2=2,2x,1,+3x,2,-1=0,2x,1,2,+3x,2,2,+1=2,求积公式为,:,(x)=x,3,时,公式都不准确成立,故代数精度为,2.,解,当,(x)=1,时,左,=h,，右,=h,，对所有都成立。,第52页,第52页,(x)=x,时有左,=,右,=h,2,/2,，对所有都成立。,故公式代数精度为,3.,解,令公式对,(x)=1,x,准确成立,则有,(x)=x,2,时,左,=h,3,/3,右,=h,3,/2-2h,3,，故取,=1/12,则有,(x)=x,3,时,左,=h,4,/4,右,=h,4,/2-h,4,/4=h,4,/4,，也准确成立,.,(x)=x,4,时,左,=h,5,/5,右,=h,5,/2-h,5,/3=h,5,/6,，不准确成立,.,A,0,=2/3,A,0,x,0,=0,解得,A,0,=2/3,x,0,=0.,因此公式为,其代数精度为,1.,第53页,第53页,7-7.,设,解,由于,|(lnx)|=1/x,2,1,|(lnx),(4),|=6/x,4,6,要,|I-T,n,|9.13,故取,n=10.,IS,2,=1/12ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75=0.386260,导出两点,Gauss,型求积公式,.,若取,=10,-3,分别求出,n,使复化梯形公式,T,n,复化,Simpson,公式,S,n,截断误差满足,:|I-T,n,|,及,|I-S,n,|,并计算,S,n,.,要,|I-S,n,|1.201,故取,n=2.,7-10.,对积分,解,区间,0,1,上权函数为,ln(1/x),正交多项式为,:,P,0,(x)=1,p,1,(x)=x-1/4,p,2,(x)=x,2,-(5/7)x+17/252,令,p,2,(x)=0,，解出,Gauss,点为：,第54页,第54页,再令公式对,(x)=1,x,准确成立,可得,A,1,+A,2,=1,A,1,x,1,+A,2,x,2,=1/4,由此解出,因此两点,Gauss,型求积公式为,:,7-11.,用,两点,Gauss,型求积公式计算下列积分近似值,.,解,两点,Gauss-Legendre,求积公式为,:,第55页,第55页,因此有,解,两点,Gauss-Laguerre,求积公式为,:,A,1,=0.8535533905,A,2,=0.1464466094,x,1,=0.5858864376,x,2,=3.4142135623,因此有,第56页,第56页,因此有,解,两点,Gauss-Laguerre,求积公式为,:,A,1,=A,2,=0.0.8862269254,-x,1,=x,2,=0.7071067811,因此有,解,两点,Gauss-Hermit,求积公式为,:,7-12.,证实,下列数值微分公式：,第57页,第57页,其中，,x,j,=x,0,+jh,，,j=0,，,1,，,2,。,(x)=(x-x,1,)(x-x,2,)(x,0,)-2(x-x,0,)(x-x,2,)(x,1,)+(x-x,0,)(x-x,1,)(x,2,)/2h,2,(x,0,)=-3(x,0,)+4(x,1,)-(x,2,)/2h+R,2,(x,0,),(2),(x)=(x,0,)-2(x,1,)+(x,2,)/h,2,+R,2,(x),证实,(1),以,x,0,x,1,x,2,为节点二次,Lagrange,插值为,:,+,(,x,)(x-x,0,)(x-x,1,)(x-x,2,)/6,(x)=(2x-x,1,-x,2,)(x,0,)-2(2x-x,0,-x,2,)(x,1,)+(2x-x,0,-x,1,)(x,2,)/2h,2,+R,2,(x),(x,0,)=-3(x,0,)+4(x,1,)-(x,2,)/2h+h,2,()/3,第58页,第58页,容易证实,(x,1,)(x,0,)-2(x,1,)+(x,2,)/h,2,对,(x),取次数不超出,3,次多项式准确成立,.,结构三次多项式,p,3,(x),使,p,3,(x,0,)=,(x,0,),p,3,(x,1,)=,(x,1,),p,3,(x,2,)=,(x,2,),p,3,(x,1,)=,(x,1,),则有,(x)-,p,3,(x)=,(4),(,x,),(x-x,0,)(,x-x,1,),2,(x-x,2,)/4!,于是有,R,2,(x,1,)=(x,1,)-,p,3,(x,1,)=,(4),(),(-2h,2,),/4!=-,(4),(),h,2,/12,因此,(x,1,)=(x,0,)-2(x,1,)+(x,2,)/h,2,-(h,2,/12),(4),(),(3),以,x,0,=-h,x,1,=0,x,2,=2h,为节点二次,Lagrange,插值为,:,(x)=2x(x-2h)(-h)-3(x+h)(x-2h)(0)+x(x+h)(2h)/6h,2,+,(,x,)x(x+h)(x-2h)/6,第59页,第59页,(0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h+R,2,(0),(x)=4(x-h)(-h)-3(2x-h)(0)+(2x+h)(2h)/6h,2,+R,2,(x),(0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h-h,2,()/3,八,.,习题,8(,第,250,页,),8-5.,用梯形办法和四阶原则,R-K,办法求解初值问题,y,+y=0,，,00,证实下列办法绝对稳定性条件,证实,(1),改进,Euler,公式为：,(1),改进,Euler,办法,:,(2),四阶原则,R-K,办法,:,故改进,Euler,办法绝对稳定条件为,(1),四阶原则,R-K,公式为：,第66页,第66页,故四阶原则,R-K,办法绝对稳定条件为,局部截断误差主项和阶,.,8-12.,拟定两步办法,解,第67页,第67页,因此有,又由于,因此,因此,公式局部截断误差主项为,公式为二阶办法,.,第68页,第68页,8-13.,试求系数,0,1,使两步办法,局部截断误差阶尽也许高,并写出局部截断误差主项.,解,因此有,当,=1/2,1,=-1/4,0,=7/4,时阶最高,为二阶办法,.,截断误差主项为,第69页,第69页,8-15.,对微分方程,y,=(x,y),沿区间,x,n-1,x,n+1,积分得,解,Simpson,求积公式为,试用,Simpson,求积公式近似右边积分,导出,Milne-Simpson,差分公式,并阐明办法阶,.,因此差分公式,易见,此公式是四阶办法,.,第70页,第70页,简述学习数值分析课程体会。,课 堂 练 习,注,1:,可从与其它课程区别叙述；也可从对某一章节或某一问题体会叙述；或从对讲课方面见解叙述；只要与课程相关叙述均可。,注,3:,不许抄袭,如有雷同,视为作弊,;,下课前交,.,注,2:,作为平时成绩一个依据。,第71页,第71页,设函数,(x)=x,2,-sinx-1,(1),试证方程,(x)=0,有唯一正根,;,(2),结构一个收敛迭代格式,x,k,=(x,k,),k=0,1,2,计,算精度为,=10,-2,近似根,;,(3),此迭代法收敛阶是多少,?,阐明之,.,解,(1),由于,0 x,1,时,(x)0,因此,(x),仅在,(1,2),内有零点,而当,1x0,故,(x),单调,.,因此方程,(x)=0,有唯一正根,且在区间,(1,2),内,.,(2),结构迭代格式,:,由于,|(x)|=|1,故此迭代法收敛,.,课堂练习,第72页,第72页,取初值,x,0,=1.5,计算得,x,1,=1.41333,x,2,=1.40983,由于,|x,2,-x,1,|=0.003510,-2,故可取根近似值,x,2,=1.40983.,0,(3),由于,0,/2,因此,(),故,此迭代法线性收敛,(,收敛阶为,1).,第73页,第73页,