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2025 年高考数学解密之函数应用
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•贵州模拟）设方程 3x . | log3 x |= 1的两根为 x1 ， x2 (x1 < x2 ) ，则 ( )
A ． 0 < x1 < 1 ， x2 > 3 B ． C ． 0 < x1x2 < 1 D ． x1 + x2 > 4
2 ．（2024•合肥模拟）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰 期，记为 T （单位：天），铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为 T1 ， T2 ．开始记录时， 这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的 ，则 T1 ， T2 满足的关系式为 ( )
A ．
B ．
C ．

3 ．（2024•长沙模拟）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的， 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 L 表示每一轮优化时使用的学习率， L0 表 示初始学习率， D 表示衰减系数， G 表示训练迭代轮数， G0 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率 模型的初始学习率为 0.5 ，衰减速度为 18 ，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 0.4 ，则学习率衰减 到 0.2 以下（不含 0.2) 所需的训练迭代轮数至少为 ( ) （参考数据： lg2 ≈ 0.3010)
A ．72 B ．74 C ．76 D ．78
4 ．（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使 臭氧量 Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式 Q = Q0 . e—0.0025t ，其中 Q0 是臭氧的初始量， e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式 Q = Q0 . e—0.0025t 推算，经 过 t0 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则 t0 的值约为 (ln2 ≈ 0.693)( )
A ．584 B ．574 年 C ．564 年 D ．554 年
5 ．（2024•上海）现定义如下：当 x ∈(n, n + 1) 时 (n ∈ N) ，若f(x + 1) = f (x) ，则称 f(x) 为延展函数．现有， 当 x ∈(0, 1) 时， g(x) = ex 与 h(x) = x10 均为延展函数，则以下结论 ( )
（1）存在y = kx +b(k ， b ∈ R ； k ， b ≠ 0) 与y = g(x) 有无穷个交点
（2）存在y = kx +b(k ， b ∈ R ； k ， b ≠ 0) 与y = h(x) 有无穷个交点

1
A ．（1）（2）都成立 B ．（1）（2）都不成立
C ．（1）成立（2）不成立 D ．（1）不成立（2）成立
6 ．（2024•海州区校级模拟）冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细 菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次 (1 个变为 2 个）需要 23 分钟，那么适宜 条件下 1 万个该细菌增长到 1 亿个该细菌大约需要（参考数据： lg2 ≈ 0.3)( )
A ．3 小时 B ．4 小时 C ．5 小时 D ．6 小时
7 ．（2024•太原模拟） 已知函数 若方程 f(x) —k | x + 2 |= 0 恰有三个不同实数根， 则实数 k 的取值范围是 ( )
B ．

8 ．（2024•辽宁二模）已知函数 的零点分别为 a ， b ， c ，则 ( )
A ． a > b > c B ． b > a > c C ． c > a > b D ． b > c > a
9 ．（2024•宁夏四模）保护环境功在当代，利在千秋， 良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关 系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数 量 P （单位：毫米 / 升）与过滤时间 t （单位：小时）之间的函数关系为 P = P0 . e—kt (t ≥ 0) ，其中 k 为常数， k > 0 ， P0 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 80% ，
那么再继续过滤 3 小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的 ( ) 参考数据： ．
A ． 9% B ． 10% C ． 12% D ． 14%
10 ．（2024•西安模拟）已知函数 f(x) 为偶函数，满足 且 —2.x.0 时 ， 若关于 x 的方程 f(x) — loga (x + 1) = 0 至少有两解，则 a 的取值范围为 ( )
A ． B ． C ． D ．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•广东模拟） 已知函数 则正确的是 ( )
A ． f(x) 的定义域为R B ． f(x) 是非奇非偶函数
C ．函数f(x + 2024) 的零点为 0 D ．当 x > 0 时， f(x) 的最大值为

2
12 ．（2024•袁州区校级模拟） 已知函数 则
A ．若 g(x) 有 2 个不同的零点，则 2 < a < 5
B ．当 a = 2 时， g(f(x)) 有 5 个不同的零点
C ．若 g(x) 有 4 个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) ，则 x1x2 x3x4 的取值范围是 (12, 13)
D ．若 g(x) 有 4 个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) ，则 的取值范围是 (6, 9)
13 ．（2024•吉安模拟） 已知函数 f(x) = sin x | sin x | - cos 2x ，则 ( )
A ． f(x) 的图象关于点 (π , 0) 对称
B ． f(x) 的值域为[-1 ， 2]
C ．若方程在 (0, m) 上有 6 个不同的实根，则实数 m 的取值范围是
D．若方程[f(x)]2 - 2af(x) + a2 = 1(a ∈ R) 在 (0, 2π) 上有 6 个不同的实根 ii (i = 1 ，2 ，… , 6) ，则 的 取值范围是 (0, 3π)
14 ．（2024•怀化二模） 已知函数 y = x + ex 的零点为 x1 ， y = x + lnx 的零点为 x2 ，则 ( )

A ． x1 + x2 > 0 B ． x1x2 < 0
C ． ex1 + lnx2 = 0 D ． x1x2 - x1 + x2 > 1
15 ．（2024•定西模拟） 已知函数 f(x) =| 2x -1| -a ， g(x) = x2 - 4 | x | +2 - a ，则 ( )
A ．当 g(x) 有 2 个零点时， f(x) 只有 1 个零点
B ．当 g(x) 有 3 个零点时， f(x) 只有 1 个零点
C ．当 f(x) 有 2 个零点时， g(x) 有 2 个零点
D ．当 f(x) 有 2 个零点时， g(x) 有 4 个零点
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•广东模拟） 已知函数 的最小值为 -1 ，则 a = ．

17 ．（2024•湖北模拟） 已知函数 则关于 x 的不等式 f(x) .1 的解集为 ．
18 ．（2024•湖北模拟）关于 x 的方程 有实根，则 a2 + b2 的最小值为 ．
19 ．（2024•浦东新区校级四模）如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙工厂与甲工厂在河的同

3
侧，且位于离河岸 40km 的 B 处，河岸边D 处与 A 处相距 50km （其中 BD 丄 AD) ，两家工厂要在此岸边建 一个供水站 C ，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，供水站 C 建在岸边距 离 A 处 km 才能使水管费用最省．

20 ．（2024•天津模拟）设 a ∈ R ，函数 若函数y = f (x)- | ax | 恰有 4 个零点，则实 数 a 的取值范围为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•辽宁模拟）某地区未成年男性的身高 x （单位： cm) 与体重平均值 y （单位： kg) 的关系如下
表1 :
表 1 未成年男性的身高与体重平均值

身高 /cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重
平均 值 /kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31. 11
38.85
47.25
55.05
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身 高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优 度判断系数 R2 （如表2) ．误差平方和越小、拟合优度判断系数 R2 越接近 1 ，拟合度越高．
表 2 拟合函数对比

函数模型
函数解析式
误差平方和
R2
指数函数
y = 2.004e0.0197x
6.6764
0.9976
二次函数
y = 0.0037x2 - 0.431x +19.6973
8.2605
0.9971
幂函数
y = 0.001x2.1029
74.6846
0.9736
（1） 问哪种模型是最优模型？并说明理由；
（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与

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骨细胞数量成正比，比例系数为 k1 ；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为 k2 ．记时刻t 的未成年时期 骨细胞数量 G(t) = G0 er1t ，其中 G0 和 r1 分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻 t 的未成年时期肌 肉细胞数量 J(t) = J0er2t ，其中J0 和 r2 分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重y 关于身高x 的 函数模型；
（3）在（2）的条件下，若 当刚出生的婴儿身高为 50cm 时，与（1） 的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注：e0.985 ≈ 2.67781 ，502.1029 ≈ 3739.07 ；婴儿体重 y ∈[2.5 ，4) 符合实际，婴儿体重 y ∈[4 ，5) 较符合实际， 婴儿体重 y ∈[5 ， 6) 不符合实际．
22 ．（2024•长宁区校级三模）设函数 y = f(x) 的定义域为D ，对于区间I = [a ，b](I 二 D) ，若满足以下两 个性质之一，则称区间 I 是 y = f(x) 的一个“好区间 ”．
性质①：对于任意 x0 ∈ I ，都有f(x0 ) ∈ I ；性质②：对于任意 x0 ∈ I ，都有 f(x0 ) ∈ I ．
（1）已知函数 f(x) = 一x2 + 2x ， x ∈ R ．分别判断区间[0 ， 2] ，区间[1 ， 3] 是否为 y = f(x) 的“好区间 ”， 并说明理由；
（2）已知 m > 0 ，若区间[0 ，m] 是函数 一 x2 一 3x + 12 ，x ∈ R 的一个“好区间 ”，求实数m 的取 值范围；
（3）已知函数 y = f(x) 的定义域为 R ，其图像是一条连续的曲线，且对于任意 a < b ，都有 f （a）一f （b）
> b 一 a ，求证： y = f(x) 存在“好区间 ”，且存在 x0 ∈ R ， x0 为不属于 y = f(x) 的任意一个“好区间 ”．
23．（2024•北京模拟）如图，某大学将一矩形 ABCD 操场扩建成一个更大的矩形 DEFG 操场，要求 A 在DE 上， C 在 DG 上，且 B 在EG 上．若 AD = 30 米， DC = 20 米，设DG = x 米 (x > 20) ．
（1）要使矩形DEFG 的面积大于 2700 平方米，求 x 的取值范围；
（2）当 DG 的长度是多少时，矩形 DEFG 的面积最小？并求出最小面积．

24 ．（2024•虹口区模拟）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB = 20 米，广场的一角是半径为 16 米 的扇形 BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其 中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M在线段 AD 上，并且与曲线 CE 相切；另一排

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为单人弧形椅沿曲线 CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为 2a 元，单人弧形椅的造价 每米为 a 元，记锐角 上NBE = θ , 总造价为W元．
（1）试将W 表示为θ 的函数W (θ) ，并写出cosθ 的取值范围；
（2） 问当AM 的长为多少时，能使总造价W 最小．

25 ．（2024•宝山区三模）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活 动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动的重要 组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观 念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片 ABCD ，对角线长为t(t 为常数），从 ΔABD 中裁 出一个内接正方形纸片EFGH ，使得点 E ，H 分别 AB ，AD 上，设 上 矩形纸片 ABCD 的面积为 S1 ，正方形纸片EFGH 的面积为 S2 ．
当 时，求正方形纸片EFGH 的边长（结果用 t 表示）；
（2）当 α 变化时，求 的最大值及对应的 α 值．

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2025 年高考数学解密之函数应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•贵州模拟）设方程 3x . | log3 x |= 1的两根为 x1 ， x2 (x1 < x2 ) ，则 ( )
A ． 0 < x1 < 1 ， x2 > 3 B ． C ． 0 < x1x2 < 1 D ． x1 + x2 > 4 【答案】 C
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】构造法；函数思想；转化思想；数学运算；函数的性质及应用
【分析】 问题转化为 x1 ， x2 为 的两根，构造函数 结合零点存在 定理及指数函数，对数函数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 3x . | log3 x |= 1的两根为 x1 ， x2 即为 的两根， 令

因为 x1 < x2 ，

所以 0 < x1 < 1 < x2 < 3 ， A 错误；

由 0 < x1 < 1 < x2 < 3 可得 故 0 < x1x2 < 1 ， C 正确；
所以 错误；
错误．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数在函数零点范围求解中的应用，还考查了零点存在定理的应 用，属于中档题．
2 ．（2024•合肥模拟）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰 期，记为 T （单位：天），铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为 T1 ， T2 ．开始记录时， 这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的 ，则 T1 ， T2 满足的关系式为 ( )

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A ．
B ．
C ．

【答案】 B
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】函数思想；数学运算；综合法；函数的性质及应用
【分析】设开始记录时， 甲乙两种物质的质量均为 1 ，可得 512 天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即 可得答案．
【解答】解：设开始记录时， 甲乙两种物质的质量均为 1， 则 512 天后， 甲的质量为： 乙的质量为： ， 由题意可得
所以 ．
故选： B ．
【点评】本题考查了指数函数的生活中的实际运用，考查了指数的基本运算，属于基础题．
3 ．（2024•长沙模拟）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的， 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 L 表示每一轮优化时使用的学习率， L0 表 示初始学习率， D 表示衰减系数， G 表示训练迭代轮数， G0 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率 模型的初始学习率为 0.5 ，衰减速度为 18 ，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 0.4 ，则学习率衰减 到 0.2 以下（不含 0.2) 所需的训练迭代轮数至少为 ( ) （参考数据： lg2 ≈ 0.3010)
A ．72 B ．74 C ．76 D ．78
【答案】 B
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】根据已知条件，先求出 令 再结合对数公式，即可求解．
【解答】解： 由题意可得 解得 ，

8
由题意可知 即 解得 G ≈ 74 ．
故选： B ．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数公式是解本题的关键，属于基础题．
4 ．（2024•包头三模）冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使 臭氧量 Q 呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式 Q = Q0 . e—0.0025t ，其中 Q0 是臭氧的初始量， e 是自然对数的底数，t 是时间，以年为单位．若按照关系式 Q = Q0 . e—0.0025t 推算，经 过 t0 年臭氧量还保留初始量的四分之一，则 t0 的值约为 (ln2 ≈ 0.693)( )
A ．584 B ．574 年 C ．564 年 D ．554 年 【答案】 D
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】综合法；函数的性质及应用；函数思想；数学运算
【分析】 由题意得，解不等式 即可．
【解答】解：由题意可得，Q = Q ， ，e0.0025t 开4 ，0.0025t开2ln2 = 1.386 ，t开554.4 ．

故选： D ．
【点评】本题主要考查指数型函数的的应用，属于中档题．
5 ．（2024•上海）现定义如下：当 x ∈(n, n + 1) 时 (n ∈ N) ，若f(x +1) = f/(x) ，则称 f(x) 为延展函数．现有， 当 x ∈(0, 1) 时， g(x) = ex 与 h(x) = x10 均为延展函数，则以下结论 ( )
（1）存在y = kx +b(k ， b ∈ R ； k ， b ≠ 0) 与y = g(x) 有无穷个交点
（2）存在y = kx +b(k ， b ∈ R ； k ， b ≠ 0) 与y = h(x) 有无穷个交点
A ．（1）（2）都成立 B ．（1）（2）都不成立
C ．（1）成立（2）不成立 D ．（1）不成立（2）成立 【答案】 D
【考点】函数与方程的综合运用；基本初等函数的导数
【专题】计算题；数学运算；函数的性质及应用；综合法；方程思想；数形结合
【分析】根据题意，对于① , 由“延展函数 ”的定义，分析可得 g(x) 是周期为 1 的周期函数，结合一次函

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数的性质可得①错误，对于② , 举出例子，可得②正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，当 x ∈(0, 1) 时， g(x) = ex 与 h(x) = x10 均为延展函数，
对于① , 对于 g(x) = ex ， g(x +1) = g’(x) = ex ，
则 g (x) 是周期为 1 的周期函数，其值域为 (1, e) ，
因为 k ≠ 0 ， y = kx +b 与 y = g(x) 不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于② , 当 k = 10!时，存在b 使得直线 y = kx +b 可以与 h(x) 在区间 (9, 10) 的函数部分重合，因而有无穷个 交点，所以（2）正确．
故选： D ．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数 ”的定义，属于基础题．
6 ．（2024•海州区校级模拟）冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细 菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次 (1 个变为 2 个）需要 23 分钟，那么适宜 条件下 1 万个该细菌增长到 1 亿个该细菌大约需要（参考数据： lg 2 ≈ 0.3)( )
A ．3 小时 B ．4 小时 C ．5 小时 D ．6 小时
【答案】 C
【考点】对数的运算性质；根据实际问题选择函数类型
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解
【分析】设大约需要 x 分钟，则 两边同时取对数，结合对数的运算性质求解．
【解答】解：设大约需要 x 分钟， 则 ，
两边同时取对数得 所以 ，
所以
所以大约需要小时．
故选： C ．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
7 ．（2024•太原模拟） 已知函数 若方程 f(x) —k | x + 2 |= 0 恰有三个不同实数根， 则实数 k 的取值范围是 ( )

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B ．
【答案】 C
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】 作出函数 y = f(x) 的图象 ，方程 f(x) -k | x + 2 |= 0 恰有三个不同实数根 ，等价为 y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象有 3 个交点．讨论 k > 0 ，且 x > -2 时， y = k (x + 2) 与 y = f(x) 的位置关系，结合直线 和曲线相切的条件，求得 k ，以及直线 y = k (x + 2) 经过点 (1, 2) ， (1, e +1) ，可得 k 的取值范围；当 k .0 时， y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象只有 1 个交点，可得结论．
【解答】解：作出函数 y = f(x) 的图象，如右图：
方程 f(x) -k | x + 2 |= 0 恰有三个不同实数根，等价为 y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象有 3 个交点．

y = k | x + 2 | 的图象恒过定点 (-2, 0) ，
当 x > -2 时， y = k (x + 2) 与 y = ex +1相切，设切点为 (x1 ， y1 ) ，可得 ex1 = k ，且 k(x1 + 2) = ex1 +1，

可化为 (x1 +1)ex1 = 1 ，设 g(x) = (x +1)ex ，x > -2 ，可得 g,(x) = (x + 2)ex > 0 ，g(x) 在 (-2, +∞) 递增，且 g(0) = 1 ， 则 x1 = 0 ， k = 1 ，此时 y = f(x) 与y = k | x + 2 | 的图象有 2 个交点，
又 y = k (x + 2) 的图象经过 (1, e +1) ，可得 e + 1 = 3k ，即有 ，
则 时， y = f(x) 与y = k | x + 2 | 的图象有 3 个交点；
当 x > -2 时， y = k (x + 2) 经过点 (1, 2) ，即有 2 = 3k ，解得 ， 由 可得 x2 + x + 2k +1 = 0 ，
由 y = k (x + 2) 与 y = -x2 + 4x -1相切，可得△ = (k- 4)2 - 4(2k +1) = 0 ，解得
由图象可得 时， y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象有 3 个交点；
当 k .0 时， y = f(x) 与 y = k | x + 2 | 的图象只有 1 个交点．
综上，可得实数 k 的取值范围是 (1 ， ．
故选： C ．

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【点评】本题考查函数的零点和方程的关系，以及直线和曲线相切的条件，考查数形结合思想、方程思想 和运算能力，属于中档题．
8 ．（2024•辽宁二模）已知函数 的零点分别为 a ， b ， c ，则 ( )
A ． a > b > c B ． b > a > c C ． c > a > b D ． b > c > a 【答案】 D
【考点】对数函数的图象；函数零点的判定定理；函数的零点 【专题】函数的性质及应用；综合法；逻辑推理；数形结合
【分析】由三个函数的零点可以转化为求函数 y = log2 x 与函数 y = —2x ，y = —2—x ，y = —x3 的交点，再通 过数形结合得到 a ， b ， c 的大小关系．
【解答】解：令 f(x) = 2x + log2 x = 0 ，则 log2 x = —2x ，
令 则 ， 令 h(x) = x3 + log2 x = 0 ，可得log2 x = —x3 ， 如图所示：可得b > c > a ．
故选： D ．

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【点评】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．
9 ．（2024•宁夏四模）保护环境功在当代，利在千秋， 良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关 系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数 量 P （单位：毫米 / 升）与过滤时间 t （单位：小时）之间的函数关系为 P = P0 . e—kt (t ≥ 0) ，其中 k 为常数， k > 0 ， P0 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 80% ，
那么再继续过滤 3 小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的 ( ) 参考数据： ．
A ． 9% B ． 10% C ． 12% D ． 14%
【答案】 C
【考点】根据实际问题选择函数类型
【专题】运算求解；综合法；函数的性质及应用；函数思想
【分析】根据题意可得 解得 ，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式， 再将 t = 12 代入即可求得答案．
【解答】解：因为前 9 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉 80% ， 所以 即 所以 ，
再继续过滤 3 小时，废气中污染物的残留量约为 所以废气中污染物的残留量约为原污染物的12% ．
故选： C ．
【点评】本题考查了指数的基本运算，也考查了函数在生活中的实际运用，属于中档题．
10 ．（2024•西安模拟）已知函数 f(x) 为偶函数，满足 且 —2.x.0 时 ，

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若关于 x 的方程 f(x) - loga (x + 1) = 0 至少有两解，则 a 的取值范围为 ( )
B ． C ． D ． 【答案】 C
【考点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【专题】数学运算；函数的性质及应用；综合法；转化思想；数形结合法；函数思想
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况． 【解答】解： 由已知
所以函数 f(x) 为周期函数，最小正周期 4，
又当 -2.x.0时 单调递减，过定点 (0, -1) ， 可知函数 f(x) 的图象如图所示，且 f(x) 的值域为[-1 ， 1] ，

关于 x 的方程 f(x) - loga (x + 1) = 0 至少有两解，
可得函数 y = f(x) 与函数 y = loga (x + 1) 的图象至少有两个交点， 如图所示：

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可知当 0 < a < 1 时， loga 开 解得 即 当 a > 1 时， loga (2 + 1).1 = log a a ，解得 a开3 ，即 a ∈[3 ， +∞) ，
综上所述 ．
故选： C ．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，考查了对数函数、指数函数的性质，属于中 档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•广东模拟） 已知函数 则正确的是 ( )
A ． f(x) 的定义域为R B ． f(x) 是非奇非偶函数
C ．函数f(x + 2024) 的零点为 0 D ．当 x > 0 时， f(x) 的最大值为 【答案】 AD
【考点】函数的零点；函数的奇偶性；基本不等式及其应用；函数的定义域及其求法 【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；不等式；计算题；转化思想
【分析】根据函数解析式有意义，列式求出 f(x) 的定义域，从而判断出 A 项的正误；由函数奇偶性的定义， 判断出 f(x) 的奇偶性，从而判断出 B 项的正误；求出方程f(x + 2004) = 0 的根，从而判断出 C 项的正误； 当 x > 0 时，利用基本不等式求出 f(x) 的最大值，从而判断出D 项的正误．
解：对于 A ，函数 的自变量 x 满足x2 + 9 ≠ 0 ，解得 x ∈ R ，故 f(x) 的定义域为 R ， 可知 A 项正确；
对于 B ，因为 所以f 为奇函数，故 B 项不正确；

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对于 可知 f 的根为 x = -2024 ， 即函数 f(x + 2024) 的零点为 -2024 ，故 C 项不正确；
对于 D ，当 x > 0 时 当且仅当 时，即 x = 3时，取等号，
所以当 x > 0 时， f(x) 最大值为 故D 项正确．
故选： AD ．
【点评】本题主要考查函数的定义域与奇偶性、函数零点的求法、利用基本不等式求最值等知识，属于中 档题．
12 ．（2024•袁州区校级模拟） 已知函数 则
A ．若 g(x) 有 2 个不同的零点，则 2 < a < 5
B ．当 a = 2 时， g(f(x)) 有 5 个不同的零点
C ．若 g(x) 有 4 个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) ，则 x1x2 x3x4 的取值范围是 (12, 13)
D ．若 g(x) 有 4 个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) ，则 的取值范围是 (6, 9) 【答案】 BCD
【考点】函数的零点与方程根的关系
【专题】直观想象；函数思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】作出 f(x) 的图象， 由 g(x) 有 2 个不同的零点，结合图象，可判断 A ；
由 = 2 ，令 t = f ，得到f = 2 ，求得 结合图象，可判断B ；
由对数的运算性质，求得 x1x2 = 1 ，结合二次函数的对称性得到x1x2 x3x4 = x3 (8 - x3 ) ，进而判断 C 正确；
由 结合对勾函数的性质，可判定D 正确．
【解答】解： 由函数 可得 作出 f(x) 的图象，如图所示：

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对于 A 中， 由 g(x) = f(x) - a = 0 ，可得 f(x) = a ，若 g(x) 有 2 个不同的零点， 结合图象知 a < 1或 2 < a < 5 ，所以 A 错误；
对于 B 中，当 a = 2 时， 由 g(f(x)) = 0 ，可得 f(f(x)) = 2 ， 令 t = f(x) ，则有f(t) = 2 ，
可得
结合图象知， t1 = f(x) 有 3 个不等实根， t2 = f(x) 有 2 个不等实根， t3 = f(x) 没有实根， 所以 g(f(x)) 有 5 个不同的零点，所以 B 正确；
对于 C 中，若 g(x) 有 4 个不同的零点 x1 ， x2 ， x3 ， x4 (x1 < x2 < x3 < x4 ) ，

则 1 < a < 2 ，且 log2 x2 ，则 x1x2 = 1 ，

由二次函数的对称性得 x3 + x4 = 8 ，则 x1x2 x3x4 = x3x4 = x3 (8 - x3 ) ， 结合 B 知 ，
所以 x3 (8 - x3