多体动力学讲义习题.pdf

多体动力学摘要多刚体系统的位置、姿态、运动及受力分析。目录弓I言.31 矢量.41.1 矢量的定义及符号.41.2 矢量的基本运算.51.3 单位矢量的定义和符号.61.4 零矢量的定义和符号.61.5 平移规定.6习题一 62 坐标系.7习题二.83 矢量的坐标阵和坐标方阵.8习题三.104 方向余弦矩阵.104.1 方向余弦矩阵的定义.104.2 方向余弦矩阵的用途.124.3 方向余弦矩阵的性质.14习题四.165 欧拉角.165.1 欧拉角的定义.165.2 欧拉角与方向余弦矩阵的关系.175.3 欧拉角的奇点.195.4 确定欧拉角的几何法.19习题五.206 矢量在某参照物内对时间的导数.21习题六.237 角速度.24习题七.258 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数.25习题八.289 矢量在两参照物内对时间导数的关系.28习题九.2910 角速度叠加原理.30习题十.3111 角加速度.31习题十一.3112 角速度与欧拉角对时间导数的关系.32习题十二.3413 点的速度和加速度.34习题十三.3614 刚体上固定点及动点的速度与加速度.3614.1 刚体上固定点的速度与加速度.3614.2 刚体上动点的速度与加速度.39习题十四 4015 刚体的动力学方程.4015.1 并矢.4015.2 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩.4315.3 达朗贝尔原理和动力学方程.45习题十五 4616 约束方程.46习题十六.48参考文献.48引言多体动力学的研究对象是由多个物体通过约束及力元件连接起来的空间机构。将机构中的物体抽象为柔体，则得到多柔体系统，抽象为刚体则得到多刚体系统。这里只涉及 多刚体系统。欲确定物体的位置、姿态、运动及所受作用力和力矩，例如确定车身在静平衡时的位置和姿态,在一定操纵输入下的运动，以及某种运动下的受力，需要列写和求解包含所关心未知量的方程。方程包括动力学方程和约束方程。动力学方程是指力与运动间关系的方程。列写动力学方程的 方法按依据的原理分为矢量力学方法和分析力学方法。这里只包括直观的矢量力学方法。约束方程 是指针对各种约束模型如球较列出的对物体位置及姿态的限制方程。下面介绍列写上述方程需要的矢量运算规则、空间刚体的位置和姿态描述方法、运动学关系及 达朗贝尔原理。1矢量1.1 矢量的定义及符号矢量是具有大小和方向且满足一定运算规则的物理量，如力、位移、速度、加速度、角速度及 角加速度。矢量用带箭头的符号表示，如b 0图1.2-3两矢量5和B的点积为一数量 a-b=b-a=ab cos a.(1.2-3)图1.2-4两矢量之和3的叉积为另一矢量2 axb=-b xa=d,d=ab sin a.(1.2-4)图125三矢量万、b,0的混合积为一 数量，代表其组成的平行六面体的体积(axbyc=abxc)=(cxayb.(1.2-5)图126三矢量万,b,c的两重叉积为另一矢量,它位于括号内两矢量所张成的平面内，而与括号 外的矢量垂直(axb)xc=a-cb-b-ca ax(b xc)=a-cb-a-be1.2 矢量的基本运算矢量的基本运算如图1216所示。下面证明（126）的第一式。令5和B的夹角为。，在万和B所张成的平面内画出两个辅助矢量募和声个 如图1.2-7所示，其中孩与2垂直，与日夹角小于_ _ 1 一90且以/?=1,从而ga=-，矢量藐与垂直，与石夹角小于90且就以=1,从而bsina1 一 一*gb=-，由于0X6）X三位于5和8所张成的平面内，故可设a sin a(5x/?)xc=ma+nb.(1.2-7)其中m和n为两个待定常数，用豆和心分别点乘上式有m=gb-(5x&)xc.(1.2-8)n=ga-(axb)xc.(1.2-9)利用混合积的性质有m=8b-(5x)xc=gb x(5x)-c.(1.2-10)n=ga-(a x)x c=ga x(5xK)-c.(1.2-11)图1.2-7两重叉积证明由于薪xQxB)沿B的反方向，且大小为gb x(a xK)|=gbabsin a=b.(1.2-12)从而gbx(axb)=-b.(1.2-13)同理由于/x0 xB)沿万的正向，且大小为x(5 x&)|=gaabsin ga=a.(1.2-14)从而gax(axb)=a.(1.2-15)于是有m=-b-c.(1.2-16)n=a-c.(1.2-17)例121矢量)在以府为单位法向量的平面内的投影矢量必为亓p=n x(7/x n).(1.2-18)1.3 单位矢量的定义和符号单位欠量定义为大小为单位1的矢量，用带“人”的符号表示，如戈。单位矢量可以用来表示 一个方向，如主销的方向，车轮旋转轴线的方向及地面法方向。1.4 零矢量的定义和符号大小为零的矢量定义为零矢量，用表示。1.5 平移规定将一个矢量在空间平行移动，得到的矢量与原矢量相等。例1.5-1 一个矢量和一个单位矢量点乘，则得到该矢量在单位矢量方向的投影。图1.5-1矢量的投影b-x=bcosa(1.5-1)例1.5-2两个单位矢量均和戈2点乘为其夹角的余弦。xr-x2=cos a.(1.5-2)习题一1.试改正下面各矢量表达式中的错误写法：1)欠量2与矢量B的点积为零：ab=02)矢量2与矢量B的叉积为零矢量：axb=03)矢量2与矢量B的叉积为矢量己：axb=c4)矢量B与3的叉积为一个矢量，矢量力与该矢量叉乘得矢量2：axbxc=d2.设某平面M的法向单位矢量为与平面成一般角度的单位矢量为3,试画图验证如下两个单 位矢量都沿e在该平面的投影方向：1、-nx(xn)I)f=i7exn O 人 人 人人e-e-nn3.试证明习题2中的两个单位矢量相等：f=g.4.试在2题的M平面中找到与e夹角为最小的单位矢量。5.已知二矢量力和B不共线，若+=试证明：x=0,y=0。6.空间一点O到某线段AB两端点的位置矢量分别为2和B,试证明点O到线段中点的位置矢量 a+b7.空间一点O到某三角形ABC三顶点的位置矢量分别为彳、B和试证明点O到三角形形心(中线交点)的位置矢量为-O38.空间一矢量2,试借助另一与2不平行的矢量B找到两个与2垂直且相互垂直的矢量。9.定轴转动刚体轴线方向单位矢量为p,刚体上任意矢量为2,当刚体绕轴线转过a角之后，万变 为q，试用a p及a表示ax。2坐标系坐标系是指由固定在一起的三个相互垂直的单位矢量组成的右手坐标系，三个单位矢量的符号 可以人为规定，如、亍及2,所谓右手坐标系是指伸出右手，四指先指向的正方向，再转过90 度绕向9的正向，此时拇指指向2的正向的坐标系，若指向2的负向，则为左手坐标系，我们所使 用的都是右手坐标系。通常在大地上要建立一个全局坐标系，称为GCS(Global Coordinate System),用来对整个多体 系统提供一个统一的参照坐标系。在物体上要建立一个局部坐标系，称为BCS(Body Coordinate System),一方面用来描述物体在GCS内的位置和姿态，另一方面，为物体上的点或其它坐标系提 供局部的确定位置和姿态的标准。止匕外，在物体上可以根据需要建立其它的坐标系，例如，为描述 物体上的约束及列写约束方程，需要建立约束的坐标系。例2-1 一个单位矢量和一个坐标系的三个单位矢量分别点乘，则得到该单位矢量在这个坐标系里的 三个方向余弦。e-x=cos a.(2-1)e-y=cos3.(2-2)e-z=cos/.(2-3)例2-2根据平行四边形法则有矢量在坐标系中的分解，如图2-1所示。图2-1矢量在坐标系内的分解7/=r/xx+riyy+r/zz.(2-4)%=力3.(2-5)产方 J.(2-6)N二”.(2-7)例2-3 一个坐标系的三个单位矢量间的点乘和叉乘关系为x-x=l,x-y=。，x-z=0q d=0,y-y二L.2=02 2=0,z-y-=。，Z-Z=1xx x=0,xxy=2,人 人犬x Z=-y人 人 人y xx=z,yy=0,人 人yxz 二:X人 人 人zxx=y,人 人 人Z X y=X,2义2二：6(2-8)习题二1.试说明一个右手坐标系只要两个单位矢量确定了，另外一个单位矢量就可随之确定。2.将一个坐标系放于镜子前，镜中像为一个左手坐标系。设坐标系的单位欠量2、f及2的像分 别为、及殳,现在只保留像和2,并按右手坐标系的约定确定一个新的右手坐标系，其三个单位矢量分别、歹和2,设镜面向外的法向单位矢量为力，试利用2、9、2及弁表 示、y和2。3矢量的坐标阵和坐标方阵对矢量进行运算可以借助于它的坐标阵和坐标方阵。设某坐标系的三个单位矢量分别为戈，亍和2,矢量力在该坐标系的各方向上有三个投影:%,%和巴，则由平行四边形法则知万可表示为a=axx+ayy+azz.(3-1)a在该坐标系内的坐标阵定义为%a=ay,.y_“z_坐标方阵定义为0-az ayS=az 0-ax.一 a、,a,0 _ y x _同样，对于矢量自，在同一坐标系内也有b=bxx+byy+bzz.bxb=by.b_(3-2)(3-3)(3-4)(3-5)o-bz byb_=bz 0-bx.(3-6)一4 bx 0于是a-b=axx+ayy+azz)-(bxx+byy+bzz)=xbx+%+Q，z=优b=区.(3-7)这是用坐标阵计算矢量点乘的关系式。由于一个矢量在不同的坐标系内会有不同的坐标阵，所以进 行两个矢量点乘运算时，必须使用其在同一个坐标系内的坐标阵。按定义有两个矢量2和3的叉积为另一矢量2 d=axb=axx+ayy+azz)x(bxx+byy+bzz)=%=(3y+。也 A+(/瓦-3)y+(-aybx+axby)z么by2则d在同一坐标系内的坐标阵为而按矩阵相乘有如下两等式成立一 0azay一%by+aybz%0axby=azbx-Q也.(3-10)-CLa0b-a b+a b_ yXL zy x x y _于是 d=ab=-ba.(3-12)一 0bzbyaxfby+也一bz0bx%=azbx-a也.(3-11)_by久0_z_这是用坐标阵表示的叉乘关系式。同样需要强调的是，进行两个矢量叉乘运算时，必须使用其在同 一个坐标系内的坐标阵或坐标方阵。矢量运算与相应坐标阵运算的对应关系见表3-lo表3-1矢量运算和相应坐标阵运算的关系矢量表达式坐标阵表达式c=abc=aba=a-ba=a1 b=/生d=axb=-b xad=Sb=-b_a/3=(axbyc/=(通)d=(axb)xcd=-cabd=ax(bxc)d=ab_c规定零矢量的坐标阵和坐标方阵均用零矩阵。表示。规定3乘3单位阵用旦表示。例3-1设全局坐标系GCS的三个单位矢量为文、户和2,则它们在GCS内的坐标阵和坐标方阵分别为文炉=0在GCS内的坐标阵形式为xry文x9=2在GCS内的坐标阵形式为同一个矢量在不同坐标系内的坐标阵不同，但二者可以通过方向余弦矩阵进行转换。习题三1.试写出下列矢量关系式在某一坐标系内的坐标阵形式：1)a-(b xc)2)ax(bxc)2.已知某车轮轮心在GCS内的坐标为(0,-800,300)(mm),印迹中心在GCS内的坐标为(-1,-805,0)(mm),地面在印迹中心处对轮胎的垂直力为3000N,试求垂直力对轮心的力矩矢量 在GCS内的坐标阵。3.已知GCS的三个单位矢量分别为戈G、田G和2G，矢量万=丸-户G，b=XG+YG,某坐标 系S的单位矢量2s沿N向，您沿B向，试求坐标系s的三个单位矢量在GCS内的坐标阵和坐标 方阵。4方向余弦矩阵4.1 方向余弦矩阵的定义设有两个坐标系，其单位矢量分别为於和V,俨，/，且分别称之为r坐标系和b坐标 系，如图4.1-1所示。图4.1-1 r坐标系和b坐标系利用b坐标系各单位矢量在r坐标系内的九个方向余弦可以构造出以下表格中右下角的3x3矩阵记八b人b八bXyz人r人b 人r 人厂人b 人XXXyXzX人r人 Z?A IT人 Z?A Y人z7 人yXyyyzy人r人b 人r人b 人r人b 人z zy zzz(4.1-1)称之为b坐标系相对r坐标系的方向余弦矩阵。同样可以构造出r相对b的方向余弦矩阵Abr 人/入厂%y#xr-xb yr-xb人方 人厂 八b 人厂 人Z?y%y-/正/v/比较有A/=(才).人rZ人r 人Z-X人/人Z?Z.)人厂 人办 z-Z(4.1-2)(4.1-3)即二者是互为转置关系。图4.1-2 b坐标系和G坐标系例4.1-1设有b坐标系开始时与G坐标系重合，然后绕2G转9。度，如图4.1-2所示，则b相对G 和G相对b的方向余弦矩阵分别为 铲外yb针 xc 0-10Yg 10 0”Zr 0 0 1Cr戈g yg 7G x 0 1 0/-i o o9 o o i(4.1-4)(4.1-5)4.2 方向余弦矩阵的用途 方向余弦矩阵的用途之一方向余弦矩阵可以用来描述两个坐标系之间的相对姿态。方向余弦矩阵的用途之二方向余弦矩阵的主要作用是进行坐标阵的变换。设任一矢量力在b和r坐标系的坐标阵分别为正和女“么 r1r=.(4.2-1)2=境.(4.2-2)则有?f=4”.(423).(4.2-4)据此，也称幺仍为从b坐标系到r坐标系的坐标变换矩阵，幺为从r坐标系到b坐标系的坐标变换 矩阵。下面证明以上两式。矢量方在r坐标系内可以表示为万=；犬+么了+；字.(425)在b坐标系内可以表示为万=.(4.2-6)由于以上两式表示的是同一个矢量，故有廿+么了+才=4业+:俨+档/.(427)分别用它，v和*点乘上式有:旷.(4.2-8)明二心”心.+曲.(4.2-9)么二百十+心b.(4.2-10)以上三式即为(4.2-3)式，同理可证得(4.2-4)式。图4.2-1 b坐标系、G坐标系及矢量力例4.2-1如图4.2-1所示，矢量力在b坐标系内的坐标阵为一-1.5 一if=0.(4.2-11)0则在G坐标系内的坐标阵为G AGb br1=A r)-100-1.5000-1.50(4.2-12)010001其中为从b到G的坐标变换矩阵。例4.2-2如图422所示，全局坐标系GCS的原点为O,三个单位矢量分别为反g、京和g，某轿 车车身质心坐标系cm的原点为车身质心C,三个单位矢量分别为久、门和W，其指向如图所示。图4.2-2车身质心和右前轮心从。到c的位置矢量为无。，从c到a的位置矢量为F，。1为右前轮轮心，从O到&的位置矢量 为限矢量用在GCS内的坐标阵为1500及二 0(mm).(4.2-13)450矢量尸在cm内的坐标阵为一-1233一rc=760(mm).(4.2-14)-120已知力与反g反向，门与力反向，试求矢量斤在GCS内的坐标阵。解：从cm至UGCS的坐标变换矩阵为如下表格右下角的3x3矩阵a GC 人 人 人A%”4-1 0 0K 0-1 0.CrZr 0 0 1Cr则由于A=左。+尸.从而有斤在GCS内的坐标阵为短二/+/丁.代入数字有(4.2-15)(4.2-16)(4.2-17)15001 1R0+0450 J 100-1001P-12330 7601J-12O2733-760(mm).330(4.2-18)方向余弦矩阵的用途之三方向余弦矩阵也可以实现坐标方阵的变换。同一矢量力在坐标系r和b内的坐标方阵分别为阻 和则其关系为：西二区同才.(4.2-19)证明：设有任意矢量2,它在r和b内的坐标阵分别为I和d，则 db=Abrdr.(4.2-20)令c=rjxd.(4.2-21)则矢量了在r和b内的坐标阵分别为cr=炉片.(4.2-22)q=rjb.(4.2-23)而一=”不.(4.2-24)从而将上面两式代入有fjrdj=rjb.(4.2-25)又将d=幺64代入有dr=ArbAbrdr.(4.2-26)从而由矢量2的任意性知上面的坐标方阵的变换公式成立。上式可以直接地理解为左端为力X 在r 内的坐标阵，右端末尾两项为矢量-在b内的坐标阵，末尾三项为万x2在b内的坐标阵，从而右 端四项代表方X 在r内的坐标阵，与左端当然相等。4.3方向余弦矩阵的性质 性质一方向余弦矩阵的转置为其逆矩阵，即有A：b=(Abry1.(4.3-1)由(4.2-4)有邛=(十)-7.(4.3-2)与(4.2-3)相减有幺仍一=Q.(4.3-3)由矢量方的任意性即有(4.3-1)式。性质二若除r和b坐标系外，另有一个坐标系s,可以定义A”和幺5。则有A仍=4奶.(4.3-4)证明：设矢量方在S坐标系内的坐标阵为1则 r/r=Arsr/s.(4.3-5)r)s=Abr/b.(4.3-6)手是将后氐带入前式有=ArsAsb7jb.(4.3-7)又r A rb bI=A .(4.3-8)故有0 0 1A仍(Arb-ArsAsb)rb=0(4.3-9)jr M 由矢量方的任意性即有(4.3-4)式。七厂 与 当直接计算A仍很复杂而计算A”和30 A奶较简单时，可以利用这个结论分步计算幺仍。若有多个坐标系，则可 连续应用这个结论。例如再有一个W 坐标系，则有4法=幺4附4皿(4.3/0)例4.3-1边长为a的正方体上有两个 坐标系，?和翁 如图4.3-1所示，试求A仍和A%并写出居在里内的 分量形式(用的三个单位矢量表示 人b、02)。解：(0.1)cos 30 sin 30 0/、(4.3-12)-sin 30 cos 30 00 0 1秘=sin30Z：+cos30e(4.3-13)例4.3-2如图4.3-1所示，试求矢量不在坐标系千内的坐标阵。解：arf=a.(4.3-14)a例4.3-3设有一坐标系原点为A,如图4.3-1所示，已知cos 30sin 300 一acos 30+sin 30b Abr b=A =-sin 30cos 300ad-sin 30+cos 30(4.3-15)001a1-10 0幺、=0 0 10 1 0(4.3-16)试画出？的姿态。解：画出的2s的姿态如图431所示。习题四1.设某坐标系开始时与GCS重合，然后绕GCS的X转动30,试求此时该坐标系相对GCS的方 向余弦矩阵。2.设某坐标系开始时与GCS重合，然后绕GCS的户转动30,试求此时该坐标系相对GCS的方 向余弦矩阵。3.设某坐标系开始时与GCS重合，然后绕GCS的Z转动30,试求此时该坐标系相对GCS的方 向余弦矩阵。4.已知某坐标系相对GCS的方向余弦矩阵为一 0 0-1-A=0 1 0,试画出其相对GCS的姿态。1 0 05.已知某坐标系的单位矢量戈和9在GCS内的坐标阵分别为史和丁，试求其相对GCS的方向余 弦矩阵。6.已知GCS的三个单位矢量分别为戈g、户g和之，矢量万=丸-得，b=XG+YG,某坐 标系s的单位矢量短沿2向，丸沿B向，试求GCS相对坐标系s的方向余弦矩阵。5欧拉角5.1 欧拉角的定义为描述两个坐标系的相对姿态，可以采用方向余弦矩阵，但它有九个元素。若用欧拉角，只需 三个角度。设有两个坐标系r和b,b相对r的任一姿态，都能找到一组欧拉角（少，夕，）和它 对应。为说明b相对r在某一姿态下对应欧拉角的意义，首先使b与r重合，然后使b绕r的第三轴 转角，角度正负按右手定则判断，此时b转到一个新姿态，再使b绕其新姿态下的第一轴转。角，从而b转到第二个新姿态，最后，使b绕第二个新姿态下的第三轴转0角，就到达上述b相对r的 姿态。这三次按顺序转动的转角、。和0就是描述b相对r的姿态的欧拉角。人 X图5.1-1欧拉角为(90,90,90)度例5.1-1试画出b坐标系相对r坐标系的欧拉角为(90,90,90)度时两个坐标系的相对姿态。5.2 欧拉角与方向余弦矩阵的关系设坐标系r的单位矢量分别为今、V和2坐标系b的分别为V、俨和设b相对r的 某一姿态对应的欧拉角为(“，。，)。如图5.2-1所示，借助于一个正方体可以使表示欧拉角的 图形清晰一些。首先使b从与r重合的姿态绕*转角，到达中间姿态，用坐标系u表示，相应的 单位矢量为/、V和2，此时它们恰沿着正方体的三个棱边。再使u绕/转。角，到达另一中间 姿态，用坐标系v表示，相应的单位矢量为茨、V和21最后使v绕字转角，到达b相对r的图5.2-1在正方体上表示的欧拉角如图5.2-1所示，已知(少，9,0),为求b相对r的方向余弦矩阵，先分别求出三个简单的方向余弦矩阵Aruxu7zuxrCl/-si/0yrSI/cy/0z001(5.2-1)与式(5.2-5)比较有AMV xuxv yv zv(5.2-2)1 0 0yu zu 幺讪0 cO-sO0 sO cO人z7 人z?人z?x y zxv yv利用c(p-s(p 0s(p c(p 00 0 1.(5.2-3)A仍=Aru Auv Avb则可求得b相对r的方向余弦矩阵.(5.2-4)A仍X9yx cf/c(p-sy/c0s(p-cy/s(p-sy/c0c(psy/sO.(5.2-5)y.sy/c(p+cy/c0s(p-sy/s(p+cfJc0c(p-cy/sOzs6s(ps0c(pcd只要给方向余定欧拉角，就可弦矩阵2 3,以求出相应的两个坐标系之间的坐标变换矩阵。反过来，若给定b相对r的幺仍=d22 23_a31 a32 033 _.(5.2-6)cO=a33.(5.2-7).(5.2-8)-CI/S0=23si/sO=%3s0s(p=31sOccp从而有=a 32CO=%3/-sO=1-c 0si/=“13/3。Cl/=_ 23/58s(p=“31/s。c(p=“32/s8(5.2-9)(5.2-10)(5.2-11)(5.2-12)此时，三个角的正弦和余弦值都知道了，那么三个角就可以精确确定了。例5.2-1设坐标系b相对r的欧拉角为(90,90,90)度，试求相应的方向余弦矩阵。将”=90、8=90 及。=90 代入式(5.2-5)有A仍xbybzxr0 0 17 0-10(5.2-13)zr 1 0 05.3欧拉角的奇点给定一个方向余弦矩阵，可按上节公式确定对应的欧拉角。当8=0或8=万时，无法唯一确定 角度和。这个位置称为欧拉角的奇点，也就是干与本同向（9=0）或反向（。=）时的位置。幺仍 xr yr zr当8=0时，由式(5.2-5)知xb产ZC0+。）-s(+0)0s(+0)+0)0001(5.3-1)此时给定方向余弦矩阵，只能确定出+0,而和0有无数组解。若规定0=0,则可唯一定出 o 当。=不时，由式（5.2-5）知记xbzxrc0-。）s(“-0)0yrs(“-9)-c(“-0)0zr00-1(5.3-2)此时给定方向余弦矩阵，只能确定出0,而和0有无数组解。若规定0=0,则可唯一定出收o 当8接近于零或万角时，sin。，因此在奇点附近，由方向余弦矩阵确定欧拉角会有较大误差。5.4确定欧拉角的几何法给定两个坐标系的方向余弦矩阵，可用上面的计算法精确确定欧拉角。给定两个坐标系相对姿态的几何图形，也可以用几何法大致确定欧拉角。设r坐标系的单位矢量分别为今、了和本，b坐标系的单位矢量分别为非、产和/，如图5.4T所示，则几何法确定欧拉角的具体步骤为1）画出？产平面与今V平面的交线；2）沿此交线画出一个单位矢量其指向通过2x/来确定（这是为了使。为正且小于 万，否则可取另一方向）；3）则使式绕本转至与式重合的角为欧拉角的 第一角少；4）使本绕/转至与尹重合的角为欧拉角的第 二角5）使/绕/转至与9重合的角为欧拉角的第 三角（P O图5.4几何法确定欧拉角例5.4-1坐标系b和r的相对姿态如图5.4-2 a)所示，已知幺仍外yb yxr 0 0 1、(5.4-1)7 0-101 0 0试用分别用几何法和计算法确定b相对r的欧拉角。解：几何法确定欧拉角的过程如图5.2-2b)所示，计算过程如下0=6/cos(6Z33)=a cos(0)=90.(5.4-2)i/=a tan 2(a13-a23)=a tan 2(1,0)=90(5.4-3)(P=tz tan2(6z31,i32)=a tan 2(1,0)=90.(5.4-4)这里采用了 matlab中的函数acos和atan2o.图5.4-2坐标系b和r例5.4-2坐标系b开始时与坐标系r重合，然后绕r的Y轴 转。角，试用几何法确定此时b相对r的欧拉角。解：如图5.4-3所示，相应的欧拉角为(90,%-900)。习题五1.已知前悬架左侧车轮BCS相对GCS的欧拉角为(359.9,89,0)(deg),车轮 BCS 原点在 GCS 内的坐标为(0,-800,300)(mm),试画出两个坐 标系的相对位置和姿态。车轮BCS的单位矢量2 沿车轮自转轴线方向，试画出车轮相对地面的姿 态。2.已知转向盘BCS的原点在GCS内的坐标为(900,-300,700)(mm),转向盘BCS相对GCS的欧拉 角为(270,106,90)(deg),试画出两个坐标系 的相对位置和姿态。转向盘BCS的单位矢量2沿 转向盘对称轴线，试画出转向盘相对地面的姿图5.4-3绕Y轴转动后对应的欧拉角o3.已知某坐标系从与GCS重合的位置绕GCS的单位欠量文转过30度角，试用几何法确定该坐 标系相对GCS的欧拉角。4.已知GCS的三个单位矢量分别为文、户和2,矢量2=戈-P,b=X+Y,某坐标系s的 单位矢量2s沿5向，门沿B向，试求坐标系s相对GCS的欧拉角。5.若坐标系b相对r的欧拉角为（匕4）,则r相对b的欧拉角为（-0-3-）。试分别用几何法 和利用方向余弦矩阵的计算法验证这个结论。6矢量在某参照物内对时间的导数图6-1空间矢量方和参照物R一个标量对时间的导数用来描述标量变化的快慢。标量变化的快慢与观察者所在的参照物无关。为描述矢量随时间的变化，下面将定义矢量在某参照物内对时间的导数。矢量的变化包括其大小以 及方向的变化。参照物不同，观察到的同一矢量的大小（标量）变化是相同的，但方向变化不一定 相同，例如墙上的时钟，分针相对地面在作顺时针方向转动，而相对秒针却作逆时针方向转动。因 此总的来说，所观察到的矢量的变化随观察者所在参照物不同而不同。所以，讨论标量的变化不必 涉及参照物，但讨论矢量的变化，必须明确参照物。如图6-1所示，空间任意矢量力在固定于参照物R上的坐标系r内可以表示为亓=讶+心 r.（6-1）通过上式，在参照物R内观察到的矢量亓的大小和方向的变化，就表现为三个标量么及的 变化。在4时间内矢量力在参照物R内的变化量为八万=十A么九+，从而颉=AZ +9殳9+效I勺，两边取极限则有矢量7在参照物R内对时间的导数定义为 MMMM*=如也,+仁,.（6-2）dt dt dt dt3 d方这个导数仍然是一个矢量，用于描述在参照物R上看到的矢量方的变化。符号上中左上角标 dt“（r）”的括号内为固定于参照物R上的坐标系r的符号，用于代表参照物R,在Adams/Car中习惯 采用这种标记方式，也可以表示为一丝。dt对矢量求导不指明参照物是没有意义的，求导符号必须有左上角标，除非参照物是不言自明的。符号上加一点常用来表示标量对时间的导数，如果用到矢量上，须指明参照物。若对矢量一在参照物R内进一步对时间求导，可表示为 dt丁 F-丁-.63)设m为一标量，:为另一矢量，则容易证明，在某参照物R内对矢量的求导满足以下运算规则(r)d(m4)dm 一)d万-.=+m.dt dt dt火力士不)西,d(J)-二-土.dt dt dt八万，)西广 石d dt dt dtdt dt dt若用表示矢量力的大小，用单位矢量力表示矢量方的方向，则dt dt dt dt(6-4)(6-5)(6-6)(6-7)(6-8)其中女为标量对时间的导数，用来描述矢量大小变化的快慢，与参照物无关。可见，与参照物 dt例6-1刚体B为一杆件，长为/,相对参照物R(大地)做定轴转动，则固定于刚体上的矢量力在刚体 这个参照物内对时间的导数为零，而在大地内对时间的导数不为零。假设固定于大地上的坐标系r的原点为0,如图6-2所示，三个单位矢量分别为白、工和容，其中2沿旋转较轴线方向，固定于刚体B上的坐标系b的原点也取为0,三个单位矢量分别为焉、%和器，其中部也沿旋转较轴线方向，则当刚体转动时，b相对r做定轴转动，设耳与您之间的 转角为9。从。点向刚体的另一端点尸引矢量Q,则Q为固定于刚体B上的矢量。矢量p可在刚体B上的坐标系b内表示为p=lxb.(6-9)Q在刚体B内对时间的导数为匹dl-八-=xb=0.dt dt即在刚体B上看，矢量。是不变化的，或者说，P点相对刚体的速度为零。矢量。可在大地上的坐标系r内表示为p=I cos Gxr+/sin6r.万在大地内对时间的导数为防 d d=(/cos。)月+(Zsin)yr=+/6cos 份 dt dt r dt r r r=01(-sin 电+cos 0yr).(6-10)(6-12)(6-11)=皈即点尸相对大地的速度为不为零，其方向垂直于杆件轴线即沿方向，大小为角速度少与杆长/的 积。习题六1.从时钟的中心向分针的端点引一个矢量，试画出方。和八两个时刻下该矢量在表盘上的位置；想 象将一张纸固定在秒针上，试画出两时刻下该矢量在这张纸上的位置。比较表盘上和这张纸上 两个矢量的差矢量。2.试证明式(6-4)(6-7)03.试证明式(6-8)式右端两项所代表的矢量是相互垂直的。4.参见图6-1,方为空间任意矢量，R为一参照物，r代表R上的一个固定坐标系，单位矢量分别 为您、口和2。方在r内的坐标阵为二 令s为另外一个任意选定的固定于参照物R上的坐 标系，单位矢量分别为幻、只和2厂方在s内的坐标阵为二按矢量在参照物内对时间导数 的定义有，子=代R 2小 学=低R初八 试证明 f=手，即ut dt dt dt二者为同一矢量，都是矢量方在参照物R内对时间的导数矢量。7角速度图7-1刚体B和参照物R在刚体B上固定坐标系b,如图8-1所示，则刚体B相对参照物R的角速度定义为人（f）人人心人人为人at at at其中的三个标量可用符号表示为它们分别是由在坐标系b各轴向的分量，从而也有困=CDxXb+CDyyb+COzZb.(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)刚体B相对参照物R的角速度也可以用符号氏5B或R石匕表示，固定于刚体或参照物上 的坐标系可以用来代表刚体或参照物，总之，左上角标代表参照物，右上角标代表拥有该角速度的 对象。当刚体相对参照物做定轴转动或平面运动时，刚体相对参照物的角速度可简单地表示为ra）b=0k.（7-6）其中单位矢量力沿定轴转动的轴线方向或垂直于平面运动所在平面方向，8为转动角度，如图7-2 所示。这样的角速度称为简单角速度。式（7-6）可以由角速度的一般定义推导出来。如图7-2所示，在参照物R上固定坐标系r,在 刚体B上固定坐标系b,使菰=（，令耳和您的夹角为。，则xb=cos6xr+sin%.(7-7)yb=-sin65cr+cos0yr.(7-8)部.(7-9)将它们在参照物R中对时间求导有图7-2刚体B相对参照物R作定轴转动 或平面运动-=0(-sin优,+cosOyr=0yb.dt江=沃-cos 阪-sin 6yr)=-65cb dt工司.dt代入定义式r 二CO豆鲁2b2b哈工即有厂苏=6b=0k(7-10)(7-11)(7-12)(7-13)(7-14)习题七1.在参照物R上固定一坐标系r,其单位矢量分别为三、V和2在刚体B上固定一坐标系b,ai3a rb a23，-/a。33 _其单位矢量分别为V、俨和y。已知b相对r的方向余弦矩阵为A仍 rh对时间的导数阵为A4ia2112132223alla21“31ai2a 22a 32,试求.、2及上 dt dt dtd dd d2.试求上题中刚体B相对参照物R的角速度在坐标系b内的坐标阵。3.试求1题中参照物R相对刚体B的角速度在坐标系r内的坐标阵。8刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数如图8-1所示，矢量力固定在刚体B上，刚体B相对参照物R的角速度为J则矢量Q在参图8-1刚体B上的固定矢量p和参照物R照物R内对时间的导数可通过由匕与p的叉积获得一一/、-co x p.(8-1)dt这与先将。在固定于参照物R上的坐标系内分解，然后再按矢量导数的定义求，相比，显然简 捷得多。对于定轴转动和平面运动刚体上的固定矢量，这个结论是我们早已熟知的，下面证明这个 结论适用于在空间做任意运动的刚体。证明：由于九.片二1.上式两边在参照物R内对时间求导有矢量点积与顺序无关，从而又由于部片=。.上式两边在参照物R内对时间求导有dt移项有由刚体角速度的定义有-4M+工哙蕊Ym.从而义瘾=（月V.孰+%dtdt人 人f+Zb丁九）X/人人此入人=xbxxb-zb+ybxxb-dtd?加=T22品+,at dtdtyb$+部:人蝎人5一.dt.(8-9)考虑（8-4）和（8-7）有丫 b 人 人 八万 人 人3 xxb=xb r，xb+yb atdt工+2厂4人-%-dt dt.(8-10)同理可证加 ra)b xyb=.b dt.(8-11)r TtZ?a a4b-3.at.(8-12)将矢量。表达为p=pA+pyyb+p2b.(8-13)将其在参照物R内对时间求导有匹一加,工dt Px dt Py dt+Pz.dt.(8-14)考虑(8-10)、(8-11)和(8-12)有力5T=p君义月+P:9 dtx%+r f b2刃xZb=ra)b x(pxxb+pyyb+pzzb)=ra)bxp.(8-15)证毕。例8-1考虑b相对r的角速度的定义（r）z/v 泊苏=蒋学菰+%等瘾+蕊手生.（8-16）at at at由于(r)dxb dtr f b 人CO XXb.以一人刃 x%.dt於“4b r f b 人二 XZb.at所以T 蕊=（，X%）七（%X 获）=加 J 月.at1.耳=（3隈菰）=出Jx耳）=/.%.at加；工=，/xG$b=rd,J义工）社 2b.at从而可以理解角速度定义式中，以上三项确为角速度矢量在各轴上分量。(8-17)(8-18)(8-19)(8-20)(8-21)(8-22)例8-2设(为时钟转轴方向的单位矢量，垂直表盘向里，则秒针相对表盘的角速度为盘B秒二盘幻秒A.(8-23)其中盘G秒=2(弧度/分).(8-24)设秒针方向的单位矢量为2秒，贝U,:秒二盘办秒 义3秒=盘0秒*3秒.(8-25)习题八1.在参照物R上固定一坐标系r,其单位矢量分别为V、旷和2在刚体B上固定一坐标系b,其单位矢量分别为俨和尹。在刚体B上有一固定矢量Q,它在b内的坐标阵为4。已知 b相对r的方向余弦矩阵为幺仍，A仍对时间的导数阵为A仍，试求矢量万在参照物R内对时间 的导数矢量在r内的坐标阵。2.接上题，设刚体B相对参照物R的角速度为苏，试利用加“求矢量Q在参照物R内对时间的 导数矢量在r内的坐标阵。3.利用以上二题的结果，试证明刚体B相对参照物R的角速度苏在b内的坐标方阵为9矢量在两参照物内对时间导数的关系图9-1空间矢量行和两个参照物如图9-1所示，方为空间任意矢量，R和S为两个参照物，则矢量方在两个参照物内对时间的 导数一般是不相等的，存在如下关系=21+/x/dt dt(9-1)其中h为S相对R的角速度。证明：在S上固定坐标系s,则矢量方可在s内表示为亓+2+/短.将其在参照物R内对时间求导有(9-2)(dr/、人-L=-xs+/dt s x淮+也小工+娱*dt dt s y dt dt s 屋 dtdt人d入人如、（此 收成dt-)宁+a x久+y方xa+z历x Q-CD X dt西一-l-Y co x dtSR+/九 十九%)7(9-3)证毕。例9-1在（9-1）式中，若石、义）=0,则有dt。即当S相对R平动（加s为零）或$dt与矢量力平行时，力在两个参照物内对时间的导数相等，例如，与定轴转动刚体的转轴平行的矢量。特别地，当力就是办时，小与自身不但平行而且相等，恒有dtdt即应在参照物R和S内对时间的导数相等。习题九1.2.3.设空间刚体A相对刚体B的角速度为b由a,B相对A的角速度为人石矢 试利用（9-1）式证明 Ba）A=-Aa）B o参见图9-1,空间矢量力在s坐标系内的坐标阵为从s到r的坐标变换矩