2025年高考数学压轴训练一十.docx

2025 年高考数学压轴训练 10
一．选择题（共 13 小题）
1．（2024•闵行区校级模拟）已知函数 y = f(x) 的定义域为 (0, 2) ，则下列条件中，能推出 1 一定不是 y = f(x) 的极小值点的为 ( )
A ．存在无穷多个 x0 ∈ (0, 2) ，满足 f(x0 ) < f （1）
B ．对任意有理数x0 ∈ (0 ， 1) (1 ， 2) ，均有 f(x0 ) < f （1）
C ．函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格减函数，在区间 (1, 2) 上为严格增函数
D ．函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格增函数，在区间 (1, 2) 上为严格减函数
2．（2024•新县校级模拟）已知函数 f(x) = ex — e—x + sin x — x + 2 ，其中 e 是自然对数的底数．若
（3） > 4 ，则实数 t 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． (0, 8) D ． (8, +∞)
3 ．（ 2024 • 江 西 一 模 ） 已 知 函 数 f(x) 及 其 导 函 数 f’(x) 定 义 域 均 为 R ， 记 g(x) = f’(x +1) ， 且 f(2 + x) —f(2 — x) = 4x ， g (3 + x) 为偶函数，则 g’（7） +g (17) = ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
4 ．（2024•江西模拟） 已知函数 在 x = 0 处的切线斜率为 —① , 若 f(x) 在 (0, 兀) 上只有一个零点 x0 ，则 ① 的最大值为 ( )
A ． B ． C ．2 D ．
5 ．（2024•简阳市校级模拟）若对于任意正数 x ， y ，不等式 x(1 +lnx)开xlny— ay 恒成立，则实数 a 的取值
范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
6 ．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数 y = f(x) 及其导函数y = f’(x) 的图像如图所示，已 知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为 (0, 1) ，则 ( )

A ．函数 y = f(x) . ex 的最大值为 1 B ．函数 y = f(x) . ex 的最小值为 1

1
C ．函数 的最大值为 1 D ．函数 的最小值为 1
7 ．（2024•邢台模拟） 已知函数 在区间 (1, 2) 上单调递增，则 a 的最小值为 ( )
A ． e B ．1 C ． e—2 D ． e—1
8．（2024•梅江区校级模拟）已知 0 为函数 f(x) = (ax +1— a)ex — x — 3 的极小值点，则 a 的取值范围是 ( )
A ． (—1, +∞) B ． (—e, +∞) C ． D ． [0 ， +∞)
9 ．（2024•宜宾三模）定义在 (0, +∞) 上的单调函数 f(x) ，对任意的 x ∈(0, +∞) 都有 f[f(x) —lnx] = 1 ，若方 程 f(x) . f (x) = m 有两个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为 ( )
A ． (0, 1) B ． (0 ， 1] C ． (—∞, 1) D ． (—∞ , 1]
10 ．（2024•德阳模拟） 已知函数 f(x) 及其导函数 f (x) 在定义域均为 R 且 F(x) = ex+2f(x + 2) 是偶函数， (x — 2)[f (x) + f(x)] > 0 ，则不等式xf(lnx) < e3f （3）的解集为 ( )
A ． (0, e3 ) B ． (1, e3 ) C ． (e, e3 ) D ． (e3 ， +∞)
11 ．（2024•咸阳模拟）已知函数 ，若x = 0 是函数 f(x) 的唯一极小值点，则 a 的取值范围 为 ( )
A ． [1 ， +∞) B ． (—1, 1) C ． [—1 ， +∞) D ． (—∞ , 1]
12 ．（2024•青羊区校级模拟）设 a = tan 0.21 ， b = ln1.21 ， ，则下列大小关系正确的是 ( )
A ． a < b < c B ． a < c < b C ． c < b < a D ． c < a < b
13．（2024•博白县模拟）已知函数 ，当实数 a > 0 时，对于 x ∈ R 都有 f(x)开0 恒成立，则 a2b 的最大值为 ( )
A ． B ． C ． D ．
二．多选题（共 3 小题）
14．（2024•市中区校级二模）对于具有相同定义域D 的函数 f(x) 和 g(x) ，若存在函数 h(x) = kx +b(k ，b 为 常数）对任给的正数 m ，
存在相应 的 x0 ∈ D 使得当 x ∈ D 且 x > x0 时 ， 总有 则称直线 l : y = kx +b 为 曲线 y = f(x) 和 y = g(x) 的“分渐近线 ”．下列定义域均为D = {x | x > 1} 的四组函数中，曲线 y = f(x) 和y = g(x) 存在“分渐近线 ”的是 ( )

2

D ．
15．（2024•建阳区一模）已知函数 f(x) = x3 — 2ax2 + bx + c(a ，b ，c ∈ R) ，f’(x) 是f(x) 的导函数，则 ( )
A ．“a = c = 0 ”是“ f(x) 为奇函数 ”的充要条件
B ．“a = b = 0 ”是“ f(x) 为增函数 ”的充要条件
C ．若不等式f(x) < 0 的解集为{x | x < 1 且x ≠ —1} ，则 f(x) 的极小值为
D ．若 x1 ， x2 是方程 f’(x) = 0 的两个不同的根，且 则 a < 0 或 a > 3

16 ．（2024•扬州校级一模）若正数 a ， b 满足 a +b = 1 ，则 ( )
A ． log2 a + log2 b开— 2 B ．
C ． a + lnb < 0 D ．
三．填空题（共 4 小题）
17 ．（2024•淄博一模）设方程 ex + x + e = 0 ， lnx + x + e = 0 的根分别为 p ， q ，函数f(x) = ex + (p + q)x ， 令 ， ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ．
18．（2024•沧县校级模拟）已知直线 l : y = kx 是曲线 f(x) = ex+1 和 g (x) = lnx + a 的公切线，则实数 a = ．
19 ．（2024•回忆版）若曲线 y = ex + x 在点 (0, 1) 处的切线也是曲线 y = ln(x + 1) + a 的切线，则 a = ．
20．（2024•白云区校级模拟）已知函数 f(x) = a(x — x1 )(x — x2 )(x — x3 )(a > 0) ，设曲线 y = f(x) 在点 (xi ，f(xi )) 处切线的斜率为 ki (i = 1 ，2 ， 3) ，若 x1 ， x2 ， x3 均不相等，且 k2 = —2 ，则 k1 + 4k3 的最小值为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•沙河口区校级二模） 已知函数 f(x) = (x —1)ex + ax +1 ．
（1）若 a = —e ，求 f(x) 的极值；
（2）若 x开0 ， f(x)开2sin x ，求 a 的取值范围．
22 ．（2024•黄州区校级四模） 已知函数 f(x) = (x +1)lnx — ax + 2 ．
（1）当 a = 1时，求 f(x) 在 (1 ， f （1） ) 处的切线方程；
（2）若函数 f(x) 在 (1, +∞) 上单调递增，求实数 a 的取值范围．
23 ．（2024•天津）设函数 f(x) = xlnx ．

3
（1）求 f(x) 图像上点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程；
若 在 x ∈(0, +∞) 时恒成立，求 a 的值；
若 x1 ， x2 ∈ (0, 1) ，证明 | f 一 f | .| x1 一
24 ．（2024•贵州模拟） 已知函数 f(x) = xlnx ．
（1）若函数 g(x) = f(x) 一 a 有两个零点，求实数 a 的取值范围；
（2）已知 A(x1 ，y1 ) ，B(x2 ，y2 ) ，C(x3 ，y3 )（其中 x1 < x2 < x3 且 x1 ，x2 ，x3 成等比数列）是曲线 y = f(x) 上三个不同的点，判断直线 AC 与曲线y = f(x) 在点 B 处的切线能否平行？请说明理由．
25 ．（2024•平罗县校级三模）设函数 f(x) = 一x2 + ax + lnx(a ∈ R) ．
（1）若 a = 1 ，求函数 f(x) 的单调区间；
（2）设函数在 上有两个零点，求实数 a 的取值范围．（其中 e 是自然对数的底数）

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2025 年高考数学压轴训练 10
参考答案与试题解析
一．选择题（共 13 小题）
1．（2024•闵行区校级模拟）已知函数 y = f(x) 的定义域为 (0, 2) ，则下列条件中，能推出 1 一定不是 y = f(x) 的极小值点的为 ( )
A ．存在无穷多个 x0 ∈ (0, 2) ，满足 f(x0 ) < f （1）
B ．对任意有理数x0 ∈ (0 ， 1) (1 ， 2) ，均有 f(x0 ) < f （1）
C ．函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格减函数，在区间 (1, 2) 上为严格增函数
D ．函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格增函数，在区间 (1, 2) 上为严格减函数 【答案】 D
【考点】利用导数研究函数的极值
【专题】综合法；综合题；导数的综合应用；逻辑推理；函数思想 【分析】根据极值的定义，结合选项，即可得出结果．
【解答】解： 由极值的定义可知，当函数 y = f(x) 在 x =1 处取得极小值时， 在 x =1 左侧的函数图象存在点比x =1 处的函数值小，
在 x =1 右侧的函数图象存在点比x =1 处的函数值小，故排除 A ， B ； 对于 C ，函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格减函数，
在区间 (1, 2) 上为严格增函数，则x =1 是函数的极小值点； 对于 D ，函数 y = f(x) 在区间 (0, 1) 上为严格增函数，
在区间 (1, 2) 上为严格减函数，则x =1 不是函数的极小值点．
故选： D ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
2．（2024•新县校级模拟）已知函数 f(x) = ex — e—x + sin x — x + 2 ，其中 e 是自然对数的底数．若
（3） > 4 ，则实数 t 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． (0, 8) D ． (8, +∞)
【答案】 C
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】转化思想；导数的概念及应用；方程思想；综合法；数学运算；计算题
【分析】根据题意，求出函数 f(x) 的导数，分析可得 f(x) 在R 上递增，设 g(x) = f(x) — 2 ，分析可得 g (x)

5
为奇函数且在 R 上递增，原不等式变形可得 结合 g 的奇偶性、单调性可 得关于 t 的不等式，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 f(x) = ex — e—x + sin x — x + 2 ，其导数 f’(x) = ex + e—x + cos x —1 ， 易得 则 f 在 R 上递增，
设 g(x) = f(x) — 2 ， g(x) = ex — e—x + sin x — x ，其定义域为 R ， 有 g(—x) = —(ex — e—x + sin x — x) = —g(x) ，则 g(x) 为奇函数，
易得 g(x) 在 R 上递增，
若 f(log2(1) t) + f （3） > 4 ，即 则有 （3），
而 g(x) 为奇函数，
则有 必有log2(1) t > —3 ，解可得 0 < t < 8 ，则 t 的取值范围为 (0, 8) ．
故选： C ．
【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及不等式的解法，属于中档题．
3 ．（ 2024 • 江 西 一 模 ） 已 知 函 数 f(x) 及 其 导 函 数 f’(x) 定 义 域 均 为 R ， 记 g(x) = f’(x +1) ， 且 f(2 + x) —f(2 — x) = 4x ， g(3 + x) 为偶函数，则 g’（7） +g(17) = ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
【答案】 C
【考点】基本初等函数的导数
【专题】导数的概念及应用；数学运算；转化思想；转化法
【分析】对 f(2 + x) —f(2 — x) = 4x 两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可． 【解答】解：因为 g(3 + x) 为偶函数， g(x) = f’(x +1) ，
所以 f’(x + 4) = f’(—x + 4) ，
对 f(2 + x) —f(2 — x) = 4x 两边同时求导，得 f’(2 + x) + f’(2 — x) = 4 ，
所 以有 f’(4 + x) + f’(—x) = 4 → f’(4 — x) + f’(—x) = 4 → f’(4 + x) + f’(x) = 4 → f’(8 + x) = f’(x) ， 所 以 函数 f’(x) 的周期为 8，
在 f’(2 + x) + f’(2 — x) = 4 中，令x = 0 ，所以 f’（2） = 2 ，
因此 g(17) = f’(18) = f’（2） = 2 ， 因为 g(3 + x) 为偶函数，
所以有 g(3 + x) = g(3 — x) → g’(3 + x) = —g’(3 — x) → g’（7） = —g’(—1) （1），
f’(8 + x) = f’(x) → g(7 + x) = g(x —1) → g’(7 + x) = g’(x —1) → g’（7） = g’(—1) （2），

6
由（1），（2）可得： g’（7） = 0 ，
所以 g’（7） +g(17) = 2 ， 故选： C ．
【点评】本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题．
4 ．（2024•江西模拟） 已知函数 在 x = 0 处的切线斜率为 —① , 若 f(x) 在 (0, 兀) 上只有一个零点 x0 ，则 ① 的最大值为 ( )
A ． B ． C ．2 D ．
【答案】 C
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】综合法；数学运算；导数的概念及应用；函数思想
【分析】求出函数的导函数，由 f’(0) = —① 求出φ , 由x 的取值范围求出兀 的范围，再根据 f(x) 在 (0, 兀)
上只有一个零点 x0 得到兀 即可求出 ① 的取值范围，从而得解．
【解答】解： 由题意得， f’(x) = —2① sin(①x + φ) ，则 f’(0) = —2① sin φ = —① , 即 ， 又 解得兀 ，

由 ， : x ∈ (0, 兀) ， ① > 0 ，
兀 兀 兀

又 ， f(x) 在 (0, 兀) 上只有一个零点 x0 ，
兀 解得 ， :① 的最大值为 2．
故选： C ．
【点评】本题考查导数的几何意义以及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
5 ．（2024•简阳市校级模拟）若对于任意正数 x ， y ，不等式 x(1 +lnx)开xlny— ay 恒成立，则实数 a 的取值
范围是 ( )
A ． B ． C ． D ． 【答案】 C

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【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的最值
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解
【分析】对不等式分离参数得到 令 构造函数 则 通过导数研究 g(t) 单调性求出最大值即可．
【解答】解： 由不等式 x(1+lnx)开xlny — ay 恒成立，且x > 0 ， y > 0 ， 分离参数得 即 ，
设 得 设
则 a开g (t)max ．
= 0 得 t = e2 ，
当 t ∈(0, e2 ) 时， g’(t) > 0 ， g(t) 单调递增；当 t ∈(e2 ， +∞) 时， g’(t) < 0 ， g(t) 单调递减；
.
故选： C ．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题．
6 ．（2024•宿迁模拟）在同一平面直角坐标系内，函数 y = f(x) 及其导函数y = f’(x) 的图像如图所示，已 知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为 (0, 1) ，则 ( )

A ．函数 y = f(x) . ex 的最大值为 1 B ．函数 y = f(x) . ex 的最小值为 1
C ．函数 的最大值为 1 D ．函数 的最小值为 1 【答案】 C
【考点】基本初等函数的导数；利用导数研究函数的最值
【专题】数学运算；整体思想；综合题；函数思想；导数的综合应用

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【分析】根据函数的单调性确定虚线部分为 y = f’(x) ，再求函数 的单调性可求出最值．
【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在 x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递 增，判断可知，虚线部分为 y = f’(x) ，实线部分为 y = f(x) ，则 A ， B 显然错误，
对于 C ，D 而言 由图像可知 单调递增，x ∈ (0, +∞) ，
单调递减，所以函数在 x = 0 处取得最大值为 1．
故选： C ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
7 ．（2024•邢台模拟） 已知函数 在区间 (1, 2) 上单调递增，则 a 的最小值为 ( )
A ． e B ．1 C ． e—2 D ． e—1
【答案】 D
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】逻辑推理；导数的综合应用；综合题；构造法；转化思想；数学运算；综合法
【分析】求导，根据题意可得 f’(x) = aex — x开0 恒成立，x ∈ (1, 2) ，分离参数，可得 a开 ，构造函数 ， x ∈ (1, 2) ，求导，利用导数研究 g (x) 的单调性和最值，即可求出结果．
【解答】解：因为函数 在区间 (1, 2) 上单调递增， 所以 f’(x) = aex — x开0 恒成立， x ∈ (1, 2) ，
即 a开恒成立， x ∈ (1, 2) ， 令
所以 g (x) 在 (1, 2) 上单调递减， 所以 g(x) < g （1） = ，
所以 a开 ．
故选： D ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属中档题．
8．（2024•梅江区校级模拟）已知 0 为函数 f(x) = (ax +1— a)ex — x — 3 的极小值点，则 a 的取值范围是 ( )
A ． (—1, +∞) B ． (—e, +∞) C ． D ． [0 ， +∞)

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【答案】 A
【考点】 由函数的极值求解函数或参数
【专题】综合法；综合题；整体思想；导数的综合应用；数学运算 【分析】先求出导数，再利用导数的导数找出单调性可得结果．
【解答】解： 由题意得 f/(x) = ex (ax +1) —1 ， f /(x) 的导函数为f// (x) = ex (ax + a +1) ， 若 a开0 ， f// (x) > 0 ， f /(x) 在R 上单调递增，因为 f /(0) = 0 ，
所以当 x ∈(0, +∞) 时， f /(x) > 0 ， f(x) 单调递增，当 x ∈(—∞, 0) 时， f /(x) < 0 ， f(x) 单调递减，成立； 若 —1 < a < 0 ，当 时， f// > 0 ， f / 在 上单调递增，因为 ，
所以 f(x) 在 (—∞, 0) 上单调递减，在 上单调递增，成立；
若 a = —1 ，当 x ∈(—∞, 0) 时， f// (x) > 0 ，当 x ∈(0, +∞) 时， f// (x) < 0 ，因为 f /(0) = 0 ， 所以 f /(x) .0 ，不成立；
若 a < —1 ，当 时 ，
易得 在 递增，在 (0, +∞) 上单调递减，不成立；
综上， a 的取值范围是 (—1, +∞) ．
故选： A ．
【点评】本题主要考查导数的应用和逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
9 ．（2024•宜宾三模）定义在 (0, +∞) 上的单调函数 f(x) ，对任意的 x ∈(0, +∞) 都有 f[f(x) —lnx] = 1 ，若方 程 f(x) . f/(x) = m 有两个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为 ( )
A ． (0, 1) B ． (0 ， 1] C ． (—∞, 1) D ． (—∞ , 1]
【答案】 A
【考点】 由函数的单调性求解函数或参数
【专题】数形结合；导数的综合应用；数学运算；综合法
【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得 f(x) — log2 x 为定值，可以设 t = f (x) —lnx ，则f(x) = lnx + t ， 又由 f(t) = 1 ，即 lnt + t = 1 ，解可得 t 的值，可得f(x) 的解析式，对其求导可得 f/(x) ；将 f(x) 与 f/(x) 代 入 f(x) . f/(x) = m ，求出函数的最大值，即可得答案．
【解答】解： : f(x) 是定义在 (0, +∞) 上的单调函数， f[f(x) —lnx] = 1 ， :f(x) —lnx 为大于 0 的常数，
设 t = f (x) — lnx ，则 f(x) = lnx + t(t > 0) ，

10
又由 f(t) = 1 ，即 lnt + t = 1 ，解得 t = 1 ， ,

设 则 ，
易得函数 g(x) 在 (0, 1) 上单调递增， (1, +∞) 上单调递增，
: x = 1 时，函数 g(x) 取得最大值 1 ，其大致图象如图所示， : 方程 f(x) . f’(x) = m 有两个不同的实数根，
: 0 < m < 1 ．
故选： A ．

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系的应用，考查导数知识的运用，关键点和难点是求出 f(x) 的解 析式．
10 ．（2024•德阳模拟） 已知函数 f(x) 及其导函数 f’(x) 在定义域均为 R 且 F(x) = ex+2f(x + 2) 是偶函数， (x — 2)[f’(x) + f(x)] > 0 ，则不等式xf(lnx) < e3f （3）的解集为 ( )
A ． (0, e3 ) B ． (1, e3 ) C ． (e, e3 ) D ． (e3 ， +∞) 【答案】 C
【考点】抽象函数的奇偶性；利用导数求解函数的单调性和单调区间 【专题】综合法；导数的综合应用；函数思想；数学运算
【分析】依题意得函数 F (x) 在 (0, +∞) 上单调递增，因为 xf(lnx) < e3f （3），所以 F (lnx — 2) < F （1），得 | lnx — 2 |< 1 ，求解即可．
【解答】解： 由 (x — 2)[f’(x) + f(x)] > 0 ，得 x[f’(x + 2) + f(x + 2)] > 0 ， 则当 x > 0 时，得f’(x + 2) + f(x + 2) > 0 ，

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F’(x) = ex+2f(x + 2) + ex+2f’(x + 2) = ex+2 [f(x + 2) + f’(x + 2)] ， 则当 x > 0 时， F’(x) > 0 ，得函数 F (x) 在 (0, +∞) 上单调递增， 因为 xf(lnx) < e3f （3），所以 F (lnx — 2) < F （1），
由于 F(x) = ex+2f(x + 2) 是偶函数，则 F(| lnx — 2 |) < F （1）， 而函数 F (x) 在 (0, +∞) 上单调递增，得 | lnx — 2 |< 1 ，
得 —1 < lnx — 2 < 1 ， 得 e < x < e3 ．
故选： C ．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11 ．（2024•咸阳模拟）已知函数 ，若x = 0 是函数 f(x) 的唯一极小值点，则 a 的取值范围 为 ( )
A ． [1 ， +∞) B ． (—1, 1) C ． [—1 ， +∞) D ． (—∞ , 1]
【答案】 A
【考点】 由函数的极值求解函数或参数
【专题】导数的综合应用；数学运算；转化思想；综合法
【分析】求导分析 f’(x) 的符号， f(x) 单调性，进而可得极值点，判断是否符合题意，即可得出答案．
解
f’(x) = — sin x + ax ，且 f’(0) = 0 ，
令 g (x) = f’(x) ，则 g’(x) = — cos x + a ， 当 a开1 时， g’(x)开0 ， g (x) 单调递增，
当 x > 0 时， g (x) = f’(x) > g (0) = 0 ， f(x) 单调递增，
当 x < 0 时， g (x) = f’(x) < g (0) = 0 ， f(x) 单调递减， 所以 x =0 是函数f(x) 唯一的极小值点，
当 a < 1 时， g’(0) = —1+ a < 0 ，
所以存在 δ > 0 使得 x ∈(0, δ) ， g (x) = f’(x) 在 (0, δ) 单调递减， 所以当 x ∈(0, δ) 时， f’(x) < f’(0) = 0 ，
所以 f(x) 在 (0, δ) 上单调递减，与 0 是函数f(x) 的极小值点矛盾， 综上所述， a开1 ，
所以 a 的取值范围为[1 ， +∞) ．

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故选： A ．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
12 ．（2024•青羊区校级模拟）设 a = tan 0.21 ， b = ln1.21 ， ，则下列大小关系正确的是 ( )
A ． a < b < c B ． a < c < b C ． c < b < a D ． c < a < b 【答案】 C
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】转化法；转化思想；数学运算；函数的性质及应用
【分析】首先通过构造函数得到当 时，tan x > x ，再通过构造函数进 一步得到 由此即可比较 a ， b ，通过构造函数 即可比 较 c ， b ，由此即可得解．
解：设 所以 = tan x — x 在上单调递增，
所以 = tan x — x > g = 0 ，即 ，

所以 f(x) = x —ln(1 + x) 在 上单调递增，
从而 f(x) = x —ln(1 + x) > f(0) = 0 ，即 x > ln(1 + x) ， ， 所以 tan x > x > ln(1 + x) ， ，
从而当 x = 0.21 时， a = tan 0.21 > b = ln1.21 ，

所以 在 (0, +∞) 上单调递增，
所以 即 综上所述
故选： C ．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于中档题．
13．（2024•博白县模拟）已知函数 ，当实数 a > 0 时，对于 x ∈ R 都有 f(x)开0 恒成立，则 a2b 的最大值为 ( )

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A ． B ． D ． 【答案】 A
【考点】利用导数研究函数的单调性
【专题】数学运算；综合法；导数的综合应用；转化思想
【分析】 通过求导分析 f(x) 的单调性得到 f(x) 的最小值 ， 由 f(x)开0 恒成立得到 f(x)min 开0 ，得到 a2b .a + alna ，构造函数 g （a） = a + alna ，由 g （a）的最小值得到 a2b 的最大值．
解 得 当 时， f’ > 0 ，当 时， f’ 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，

所以 ，则 a2b.a + alna 恒成立，则 a2b.(a + alna)min ， a a
令 g （a） = a + alna ， g’（a） = 2 + lna ，
令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以
故 a2b 的最大值为 ．
故选： A ．
【点评】本题考查导数在函数恒成立问题中的应用，属于中档题．
二．多选题（共 3 小题）
14．（2024•市中区校级二模）对于具有相同定义域D 的函数 f(x) 和 g(x) ，若存在函数 h(x) = kx +b(k ，b 为 常数）对任给的正数 m ，
存在相应 的 x0 ∈ D 使得当 x ∈ D 且 x > x0 时 ， 总有 则称直线 l : y = kx +b 为 曲线 y = f(x) 和 y = g(x) 的“分渐近线 ”．下列定义域均为D = {x | x > 1} 的四组函数中，曲线 y = f(x) 和y = g(x) 存在“分渐近线 ”的是 ( )

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D ． 【考点】 6F ：极限及其运算
【分析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数， 目的是考查学生分析问题、解 决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是 x → ∞ 时， f(x) 一g(x) → 0 进行作答，是 一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．
【解答】解： f(x) 和 g (x) 存在分渐近线的充要条件是 x → ∞ 时， f(x) 一g(x) → 0 ．
当 x > 1 时便不符合，所以 A 不存在；
对于 = 10一 肯定存在分渐近线，因为当时， f(x) 一g(x) → 0 ；
对于 一 设 且 lnx < x ，
所以当 x → ∞ 时x 一 lnx 越来愈大，从而 f(x) 一g (x) 会越来越小，不会趋近于 0， 所以不存在分渐近线；
对于 故选： BD ．
【点评】本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目
15．（2024•建阳区一模）已知函数 f(x) = x3 一 2ax2 + bx + c(a ，b ，c ∈ R) ，f’(x) 是f(x) 的导函数，则 ( )
A ．“a = c = 0 ”是“ f(x) 为奇函数 ”的充要条件
B ．“a = b = 0 ”是“ f(x) 为增函数 ”的充要条件
C ．若不等式f(x) < 0 的解集为{x | x < 1 且x ≠ 一1} ，则 f(x) 的