2025年高考数学压轴训练二十一.docx

2025 年高考数学压轴训练 21
一．选择题（共 10 小题）
---→ -- ---→
1 ．（2024•安徽模拟）已知 A(2, 0) ， P 为圆 C : x2 + y2 = 1 上的动点，且动点 Q 满足： OP = OA + OQ ，记 Q
点的轨迹为 E ，则 ( )
A ． E 为一条直线 B ． E 为椭圆
C ． E 为与圆 C 相交的圆 D ． E 为与圆 C 相切的圆
2 ．（2024•皇姑区四模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，已知M ，N ，P 分别是棱 C1D1 ， AA1 ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线 QB1 与直线DB1 的夹角为 30O ，则点 Q 的轨迹长度为 ( )

A ． 2(兀) B ． 兀 C ． 2兀 D ． 3兀
3 ．（2024•大武口区校级一模）相距1400m 的 A ， B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ，已知声速 是 340m / s ，炮弹爆炸点一定在曲线 ( ) 的方程上．
A ．
B ．
C ． y = 0(x.— 700 或 x开700)
D ．
4．（2024•海淀区校级三模）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 C 的方程为： O 为坐标原点，点 A(1, 0) ，点 P 为卵圆上任意一点，有下列四种说法：
①卵圆 C 关于 x 轴对称；
②卵圆上不存在两点关于直线对称；
③线段 PO 长度的取值范围是[1 ， 2] ；
④ ΔOAP 的面积最大值为 1；
其中正确说法的序号是 ( )

1
A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④
5 ．（2024•淄博模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(2, 0) ，B(0, 6) ，动点 P 满足 且 | λ | + | μ |= 1 ，则下列说法正确的是 ( )
A ．点 P 的轨迹为圆
B ．点 P 到原点最短距离为 2
C ．点 P 的轨迹是一个正方形
D ．点 P 的轨迹所围成的图形面积为 24
6．（2024•天河区校级模拟）已知在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的右焦点为 F ， 点D 为双曲线右支上一点，直线 OD 交双曲线于另一点 G ，且 GF 丄 DF ，| OD |= 2 | DF | ，直线 GF 经过椭 圆 的下顶点，记E1 的离心率为 e1 ， E2 的离心率为 e2 ，则 ( )
A ． B ．
C ． D ．
---→
7．（2024•德州模拟）已知点 Q 为圆 C : x2 + y2 = 4 上一动点，点 P 满足 QP = (1, —2) ，记点P 的轨迹为 E ．直
线 l : x —y + 3 = 0 上有一动点M ，直线MP 与E 相切于点P ，则 | PM | 的最小值为 ( )
A ．2 B ． C ． D ．

8 ．（2024•闵行区校级三模）已知 OA 是圆柱 OO1 下底面的一条半径， OA = 1 ， OO1 = 10 ， P 为该圆柱侧面 上一动点， PB 垂直下底面于点 B ，若 上OPB = 上AOB ，则对于下述结论：①动点P 的轨迹为椭圆；②动
点 P 的轨迹长度为兀 ；以下说法正确的为 ( )
A ．①②都正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确 D ．①②都错误
9 ．（2024•石景山区一模）对于曲线 C : x—2 + y—2 = 1 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线 C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 C 与曲线| x | + | y |= 3 有四个交点． 其中正确的命题个数是 ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
10 ．（2024•济宁二模）已知 O 是坐标原点，A(3, 0) ，动点 P(x, y) 满足 | PO |= 2 | PA | ，则 的最大值 为 ( )

2
A ． B ． C ．1 D ．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•李沧区校级二模）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲
线 C 是到两定点 ， 的距离之积为常数 2 的点的轨迹，设P(m, n) 是曲线 C 上的点，给出 下列结论，其中正确的是 ( )
A ．曲线 C 关于原点 O 成中心对称 B ． —1 .n .1
C ． S△PF1F1 ≤ 1 D ．△ PF1F2 周长的最小值为 4 ·

12．（2024•衡阳县校级模拟）已知 F1 (—c, 0) ，F2 (c, 0) 为平面直角坐标系内两定点，动点M (x, y) 与点 F2 (c, 0)
的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，其中 a ， b ， c 为△ ABC 的三边长，且 C(-)-A . C(-)-B = 0 ，
设点 P 为动点M 的轨迹上一点，且点 P 不在坐标轴上，则下列结论中正确的是 ( )
时

B ．若点P 在y 轴右侧时，则△ PF1F2 内切圆的圆心在定直线 x = a 上

C ．使得△ PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 4 个
D ． △ PF1F2 的面积为
13 ．（2024•李沧区校级一模）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数 学形象美、对称美、和谐美的结合产物．关于曲线 C : x2 + y2 =| x | + | y | ，则下列结论正确的是 ( )
A ．曲线 C 关于原点成中心对称图形
B ．曲线 C 关于 x 轴， y 轴成轴对称图形
C ．曲线 C 上任意两点之间的距离都不超过 2
D ．曲线 C 所围成的“花瓣 ”形状区域的面积大于 兀
14 ．（2024•潞州区校级一模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等， 心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为 图形如图所示．当 a = 1 时，点 P1 (x1 ， y1 ) ， P2 (x2 ， y2 ) 在这条心形线 C 上，且 x1x2 ≠ 0 ，则下列说法正确 的是 ( )

3

---→ ---

---→ ---
A ．若 OP1 / /OP2 ，则 | P1P2 |= 2

B ．若 OP1 / /OP2 ，则 | OP1 | . | OP2 |= 1

C ． | OP1 | + | OP2 |< 4
D ． C 上有 4 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
15 ．（2024•遵义二模） 已知平面内曲线 C : 2(x2 + y2 ) =| x | + | y |+1 ，下列结论正确的是 ( )
A ．曲线 C 关于原点对称
B ．曲线 C 所围成图形的面积为 兀
C ．曲线 C 上任意两点同距离的最大值为
D ．若直线与曲线 C 交于不同的四点，则
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•长春模拟） 已知菱形 ABCD 的各边长为 2 ， 上D = 60O ．如图所示，将 ΔACD 沿 AC 折起，使得
点D 到达点S 的位置，连接 SB ，得到三棱锥 S — ABC ，此时 SB = 3 ．若 E 是线段 SA 的中点，点 F 在三棱 锥 S — ABC 的外接球上运动，且始终保持EF 丄 AC 则点F 的轨迹的面积为 ．

17．（2024•南昌二模）如图，有一张较大的矩形纸片 ABCD ，O ，O1 分别为 AB ，CD 的中点，点P 在 OO1 上，| OP |= 2 ．将矩形按图示方式折叠，使直线 AB （被折起的部分）经过 P 点，记 AB 上与 P 点重合的点 为M ，折痕为l ．过点M 再折一条与 BC 平行的折痕 m ，并与折痕l 交于点 Q ，按上述方法多次折叠， Q 点的轨迹形成曲线 E ．曲线 E 在 Q 点处的切线与 AB 交于点N ，则 ΔPQN 的面积的最小值为 ．

4

18．（2024•阳江模拟）已知曲线 C 是平面内到定点F (0, —2) 与到定直线 l : y = 2 的距离之和等于 6 的点的轨 迹，若点 P 在 C 上，对给定的点 T(—2, t) ，用 m(t) 表示 | PF | + | PT | 的最小值，则 m(t) 的最小值为 ．
19 ．（2024•岳麓区校级一模）如果直线 l : kx — y — 2k = 0 和曲线 Γ : x2 — 4y | y |= 1 恰有一个交点，那么实数 k 的取值范围是 ．
20 ．（2024•靖远县校级模拟）如图，对于曲线 G 所在平面内的点O ，若存在以 O 为顶点的角 α , 使得对于 曲线 G 上的任意两个不同的点 A ， B 恒有 上AOB.α成立，则称角 α 为曲线 G 的相对于点 O 的“界角 ”， 并称其中最小的“界角 ”为曲线 G 的相对于点 O 的“确界角 ”．已知曲线其中 e 是 自然对数的底数），点 O 为坐标原点， 曲线 C 的相对于点 O 的“确界角 ”为 β , 则 sin β = ．

四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•梅江区校级模拟） 已知 C 为圆 (x +1)2 + y2 = 12 的圆心， P 是圆 C 上的动点，点M (1, 0) ，若线 段MP 的中垂线与 CP 相交于 Q 点．
（1）当点P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹 N的方程；
（2）过点 (1, 0) 的直线l 与点 Q 的轨迹 N 分别相交于 A ，B 两点，且与圆 O : x2 + y2 = 2 相交于E ，F 两点，
求| AB | . | EF |2 的取值范围．
22 ．（2024•江西模拟）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它
们互为“姊妹 ”圆锥曲线．已知椭圆 双曲线 C2 是椭圆 C1 的“姊妹 ”圆锥曲线，

5
e1 ， e2 分别为 C1 ， C2 的离心率，且 ，点M ， N 分别为椭圆 C1 的左、右顶点．
（1）求双曲线 C2 的方程；

（2）设过点 G(4, 0) 的动直线l 交双曲线 C2 右支于 A ，B 两点，若直线 AM ，BN 的斜率分别为 kAM ，kBN ．
(i) 试探究 kAM 与 kBN 的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求 的取值范围．
23 ．（2024•青原区校级模拟）如图， D 为圆 O : x2 + y2 = 1 上一动点，过点 D 分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂 足分别为 A ， B ，连接 BA 并延长至点W ，使得 | WA |= 1 ，点 W 的轨迹记为曲线 C ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）若过点 K (一2, 0) 的两条直线l1 ， l2 分别交曲线 C 于M ， N 两点，且 l1 丄 l2 ，求证：直线MN 过定点；

（3）若曲线 C 交y 轴正半轴于点S ，直线 x = x0 与曲线 C 交于不同的两点 G ，H ，直线 SH ，SG 分别交 x 轴于 P ， Q 两点．请探究： y 轴上是否存在点R ，使得 上ORP + 上 若存在，求出点 R 坐标；若 不存在，请说明理由．

24 ．（2024•红谷滩区校级模拟）已知 a > b > 0 ，我们称双曲线 一 与椭圆互为“伴 随曲线 ”，点 A 为双曲线 C 和椭圆 τ 的下顶点．
( Ⅰ ) 若 B 为椭圆 τ 的上顶点，直线 y = t(0 < t < a) 与 τ 交于 P ， Q 两点，证明：直线 AP ， BQ 的交点在 双曲线 C 上；
( Ⅱ ) 过椭圆 τ 的一个焦点且与长轴垂直的弦长为 ，双曲线 C 的一条渐近线方程为 若 F 为 双曲线 C 的上焦点，直线l 经过 F 且与双曲线 C 上支交于M ，N 两点，记 ΔMON 的面积为 S ，上MON = θ(O
为坐标原点）， ΔAMN 的面积为 ．
(i) 求双曲线 C 的方程；
(ii) 证明： 2S cosθ = 17 sinθ .
25 ．（2024•赤峰模拟） 已知点 P 为圆 C : (x 一 2)2 + y2 = 4 上任意一点， A(一2, 0) ，线段 PA 的垂直平分线交 直线 PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H ．

6
（1）求曲线H 的方程；
（2）若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于 S ， T 两点，且M 为线段 ST 的中点．
(i) 证明：直线 l 与曲线H 有且仅有一个交点；
求 的取值范围．

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2025 年高考数学压轴训练 21
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
2 2 ---→ -- ---→
1 ．（2024•安徽模拟）已知 A(2, 0) ， P 为圆 C : x + y = 1 上的动点，且动点 Q 满足： OP = OA + OQ ，记 Q
点的轨迹为 E ，则 ( )
A ． E 为一条直线 B ． E 为椭圆
C ． E 为与圆 C 相交的圆 D ． E 为与圆 C 相切的圆 【答案】 D
【考点】轨迹方程
【专题】定义法；直线与圆；函数思想；逻辑推理
设P ，由 得到 Q 点坐标，设 Q 点坐标为 (x, y) ，用 Q 点坐标表示 P 点坐 标，并代入圆 C ，得到 Q 点的轨迹方程 E ，再利用圆心距与半径的关系判 Q 点的轨迹 E 与圆 C 的位置关 系．
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【解答】解：设 P(x0 ， y0 ) ，由 OP = OA + OQ ，可得 OQ = OP — OA ， 所以 Q 点坐标为 (x0 — 2 ， y0 ) ，
设 Q 点坐标为 (x, y) ，则 即 ，

把 P(x + 2, y) 代入圆 C ，则 Q 点的轨迹 E 的方程为： (x + 2)2 + y2 = 1 ，
即 E 是圆心为 (—2, 0) ，半径为 1 的圆，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切， 即 E 为与圆 C 相切的圆．
故选： D ．
【点评】本题考查圆的轨迹方程，属于中档题．
2 ．（2024•皇姑区四模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，已知M ，N ，P 分别是棱 C1D1 ， AA1 ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线 QB1 与直线DB1 的夹角为 30O ，则点 Q 的轨迹长度为 ( )

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A ． 2(兀) B ． 兀 C ． 2兀 D ． 3兀
【答案】 C
【考点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；轨迹方程 【专题】空间位置关系与距离；转化思想；数学运算；综合法
【分析】可得 DB1 丄 平面 PMN ，可得点 Q 的轨迹为圆， 由此即可得．

【解答】解： 以D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴， 建立空间直角坐标系， P(1 ，2 ， 0) ， M (0 ，1 ， 2) ，
N(2 ，0 ， 1) ， D(0 ，0 ， 0) ， B1 (2 ，2 ， 2) ， 故
P-- = (1, —2, 1) ，设平面 PMN 的法向量为 = (x, y, z) ，

令 z = 1 得， x = y = 1 ，故 = (1, 1, 1) ， 因为D--B- = 2 ，故 DB1 丄 平面 PMN ，
Q 为平面 PMN 上的动点，直线QB1 与直线DB1 的夹角为 30O ，
DB1 丄 平面 PMN ，设垂足为 S ，以 S 为圆心， 为半径作圆，
即 为 点 Q 的 轨 迹 ， 其 中 由 对 称 性 可 知 故 半 径
故点 Q 的轨迹长度为 2兀 ．
故选： C ．

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【点评】本题考查立体中的轨迹问题，属于中档题．
3 ．（2024•大武口区校级一模）相距1400m 的 A ， B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ，已知声速 是 340m / s ，炮弹爆炸点一定在曲线 ( ) 的方程上．

B ．
C ． y = 0(x.- 700 或 x开700)
D ． 【答案】 D
【考点】 曲线与方程
【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可．
【解答】解：设炮弹爆炸点为 P ，
由题意可知： || PA | - | PB ||= 3 × 340 = 1020 < 1400 ，
显然点P 的轨迹是以 A ， B 的焦点的双曲线，因此有 2a = 1020 ， 2c = 1400 ， 可得： a = 510 ， c = 700 ，于是有 根据四个选项可知，只有选项D 符合．
故选： D ．
【点评】本题考查了曲线与方程的应用，属于中档题．

10
4．（2024•海淀区校级三模）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 C 的方程为： O 为坐标原点，点 A(1, 0) ，点 P 为卵圆上任意一点，有下列四种说法：
①卵圆 C 关于 x 轴对称；
②卵圆上不存在两点关于直线对称；
③线段 PO 长度的取值范围是[1 ， 2] ；
④ ΔOAP 的面积最大值为 1；
其中正确说法的序号是 ( )
A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④ 【答案】 B
【考点】 曲线与方程
【专题】综合法；数学运算；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想
【分析】 由 (x, y) 与 (x, -y) 均满足方程即可判断①；点P(m ， n)(-1.m.2) 和 Q(1 - m, n) 都在卵圆 C 上，列 方程，解方程即可判断②；对于 可借助导数求最值， 即可判断③；对于 可求最大值，即可判断④ .
【解答】解：对于①：设 (x, y) 是卵圆 C 上的任意一个点，
因为 所以点 (x, -y) 也在卵圆 C 上，
又点 (x, y) 和点 (x, -y) 关于 x 轴对称，所以卵圆 C 关于 x 轴对称，故①正确； 对于②：设点P(m ， n)(-1.m.2) ，则 （1），
若存在卵圆 C 上点 Q 与 P(m, n) 关于 对称，
则 Q(1 - m, n) 在卵圆 C 上，满足方程 （2）， （1）（2）联立可得或 ，
所以卵圆 C 上存在 (-1, 0) 、 (2, 0) 两点恰好关于 对称，故②错误， 对于 得 ，
所以 ，又 x > -2 ，所以-1 .x .2 ， 设点 P(x, y) ， x ∈ [-1 ， 2] ，

11

令 f (x) = 0 ，则 x = 0 或 ，
当 —1 < x < 0 或 时， f > 0 ，当 时， f
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，

又 且 ， 所以 f(x)min = 1 ， f(x)max = 4 ，即| OP |2 ∈ [1 ， 4] ，所以| OP |∈ [1 ， 2] ，故③正确； 对于④ , 点 P(x, y) ， x ∈ [—1 ， 2] ，

当 —1 < x < 0 时， g (x) < 0 ，当 0 < x < 2 时， g (x) > 0 ， 所以 g(x) 在 (—1, 0) 上单调递减，在 (0, 2) 上单调递增，
所以 g(x)min = g(0) = 0 ，此时 ΔOAP 的面积取得最大值 1 ，故④正确．
故选： B ．
【点评】本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的 概念、法则、运 算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答．
5 ．（2024•淄博模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(2, 0) ，B(0, 6) ，动点 P 满足 且 | λ | + | μ |= 1 ，则下列说法正确的是 ( )
A ．点 P 的轨迹为圆
B ．点 P 到原点最短距离为 2
C ．点 P 的轨迹是一个正方形
D ．点 P 的轨迹所围成的图形面积为 24 【答案】 D
【考点】轨迹方程
【专题】数形结合；直线与圆；平面向量及应用；计算题；转化思想；综合法；数学运算

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【分析】设 P 点坐标为 (x, y) ，由已知条件 ，结合向量的坐标表示可用x ，y 表示 λ , μ , 结合 | λ | + | μ |= 1 可得 x ， y 的关系，进而可求点P 的轨迹方程，再由平行四边形面积公式检验选项D ．
【解答】解：设 P 点坐标为 (x, y) ，由已知条件O(-)- = λO(-)-A + μO(-)- ，可得 ，
又因为 | λ | + | μ |= 1 ，所以 P 点坐标对应轨迹方程为 ， x开0 ，且 y开0 时，方程为3x + y = 6 ；
x开0 ，且 y < 0 时，方程为y = 3x — 6 ；
x < 0 ，且 y开0 时，方程为 y = 3x + 6 ；
x < 0 ，且 y < 0 时，方程为 3x + y = —6 ．
P 点对应的轨迹如图所示： kAB = kCD = —3 ， 所以 P 点的轨迹为菱形， A ， C 错误；
原点到直线的距离为 所以B 不正确．
轨迹图形是平行四边形，面积为 正确．
故选： D ．

【点评】本题主要考查了点的轨迹的求解，考查了综合解决问题的能力，属于难题
6．（2024•天河区校级模拟）已知在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的右焦点为 F ， 点D 为双曲线右支上一点，直线 OD 交双曲线于另一点 G ，且 GF 丄 DF ，| OD |= 2 | DF | ，直线 GF 经过椭

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圆 的下顶点，记E1 的离心率为 e1 ， E2 的离心率为 e2 ，则 ( )
A ． B ．
C ． D ． 【答案】 B
【考点】双曲线的几何特征；圆锥曲线的综合
【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】设 | DF |= x ， | OD |= 2x ，求解相关的长度，通过 ΔOMN ~ ΔFMO ，求解椭圆与双曲线的离心率， 然后推出选项．
【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的右焦点为F ，点 D 为双曲线右 支上一点，直线 OD 交双曲线于另一点 G ，
得D ， G 关于原点对称， GF 丄 DF ， | OD |= 2 | DF | ，
设 | DF |= x ， | OD |= 2x ，则由勾股定理得 的中点为M 则 OM 为三角形 GDF 对应DF 边的 中位线，
则 且 OM 丄 MF ，
GF 丄 DF ，得 | OF |= 2x ，椭圆 的下顶点为 N ， 则易得 ΔOMN ~ ΔFMO ，解得 ，
则 的焦距 c2 满足
则 同时 因此 ．
故选： B ．
【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，三角形相似的判断，是中档题．
→
7．（2024•德州模拟）已知点 Q 为圆 C : x2 + y2 = 4 上一动点，点 P 满足Q(-)-P- = (1, -2) ，记点P 的轨迹为 E ．直
线 l : x -y + 3 = 0 上有一动点M ，直线MP 与E 相切于点P ，则 | PM | 的最小值为 ( )
A ．2 B ． C ． D ．
【答案】 C
【考点】轨迹方程
【专题】综合法；数学运算；直线与圆；方程思想
【分析】设 Q(m, n) ， P(x, y) ， 由 Q 在圆 C 上，结合向量数量积的坐标表示，可得 P 的轨迹方程，再由圆

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的切线的性质和勾股定理，结合点到直线的距离公式，可得所求值． 【解答】解：设 Q(m, n) ， P(x, y) ，
---→
由点 P 满足 QP = (1, -2) ，可得 x - m = 1 ， y - n = -2 ，
即有 m = x -1 ， n = y + 2 ，
由 Q 在圆 C : x2 + y2 = 4 上，可得 m2 + n2 = 4 ，

即 (x -1)2 + (y + 2)2 = 4 ，圆心 T(1, -2) ，半径 r = 2 ，

由直角三角形的勾股定理，可得 | MT |2 =| TP |2 + | MP |2 ，

即| MT |2 = 4+ | MP |2 ，
要求 | PM | 的最小值，只需求 |MT | 的最小值．
由点到直线的距离公式，可得
则| PM | 的最小值为 ．
故选： C ．
【点评】本题考查圆的方程和性质， 以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
8 ．（2024•闵行区校级三模）已知 OA 是圆柱 OO1 下底面的一条半径， OA = 1 ， OO1 = 10 ， P 为该圆柱侧面 上一动点， PB 垂直下底面于点 B ，若 上OPB = 上AOB ，则对于下述结论：①动点P 的轨迹为椭圆；②动
点 P 的轨迹长度为 以下说法正确的为 ( )

A ．①②都正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确 D ．①②都错误 【答案】 C
【考点】轨迹方程
【专题】逻辑推理；计算题；分析法；数学抽象；证明题；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想 【分析】将圆柱的侧面展开得，可知点P 的轨迹为两条互相垂直的线段，进而可以得到轨迹．
【解答】解： 以 A 为原点将圆柱侧面和底面展开如下图，

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设 P(x, y) ，所以 | AB |=| x | ， | PB |= y ，
一
由题意， PB = 上AOB = AB =| x | ，
所以当 x > 0 时 x = y ，同理 x < 0 时 一x = y ，
所以点P 的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆，
两条线段的长度均为 ·兀 ，故轨迹长为兀 ．
故选： C ．
【点评】本题考查立体几何中的动点轨迹问题，属于中档题．
9 ．（2024•石景山区一模）对于曲线 C : x一2 + y一2 = 1 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线 C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 C 与曲线| x | + | y |= 3 有四个交点． 其中正确的命题个数是 ( )
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
【答案】 C
【考点】 曲线与方程
【专题】数学运算；方程思想；综合法；直线与圆
【分析】将x 换为 一x ， y 换为 一y ，方程 x一2 + y一2 = 1不变，可判断①；方程变为 x2 + y2 = x2y2 ，由基本不 等式可判断②；由对称性可考虑第一象限的交点个数，结合函数零点存在定理和函数的单调性，可判断③ . 【解答】解：将 x 换为 一x ， y 换为 一y ，方程 x一2 + y一2 = 1不变，则曲线 C 关于原点对称，故①正确；
由 x一2 + y一2 = 1 ，可得 解得 即有 故②正确；
由曲线 C 和曲线| x | + | y |= 3 都关于原点对称，都关于 x ， y 轴对称，可考虑第一象限的交点个数．

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由 y = 3 — x 和 可得 x4 — 6x3 + 7x2 + 6x — 9 = 0 ，

设 f(x) = x4 — 6x3 + 7x2 + 6x — 9 ，由 f （1） = —1 < 0 ， f(1.5) = 0.5625 > 0 ， f （2） = —1 < 0 ， 可得 f(x) 在 (1, 1.5) 和 (1.5, 2) 各有一个零点，又 y = 3 — x 和 在 (1, 3) 递减，
则第一象限的交点个数为 2，
可得曲线 C 与曲线 | x | + | y |= 3 有 8 个交点，故③错误．
故选： C ．
【点评】本题考查曲线的方程和性质，以及直线和曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力， 属于中档题．
10 ．（2024•济宁二模）已知 O 是坐标原点，A(3, 0) ，动点 P(x, y) 满足 | PO |= 2 | PA | ，则 的最大值 为 ( )
A ． B ． C ．1 D ．
【答案】 D
【考点】两点间的距离公式；轨迹方程
【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；综合法
【分析】设 P(x, y) ，可求点的轨迹方程，利用 的几何意义，结合向量的数量积，转化求解即可． 【解答】解：设P(x, y) ，由题意 | PO |= 2 | PA | ，可得 整理可得 x2 + y2 — 8x +12 = 0 ， 即： (x — 4)2 + y2 = 4 ，
且圆心的坐标 (4, 0) ，半径 表示 与 的夹角的余弦值的 2 倍，
要使得 取得最大值 ，有 O(-)- 与圆 (x — 4)2 + y2 = 4 相切 ，切点在第一象限 ，此时 上 ，
兀
上 ，
可得 的最大值为 2 cos 上 故选： D ．
【点评】本题考查点的轨迹的求法，考查向量的数量积的计算，是难题．

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二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•李沧区校级二模）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲
线 C 是到两定点 ， 的距离之积为常数 2 的点的轨迹，设P(m, n) 是曲线 C 上的点，给出 下列结论，其中正确的是 ( )
A ．曲线 C 关于原点 O 成中心对称 B ． —1 .n .1
C ． S△PF1F1 ≤ 1 D ．△ PF1F2 周长的最小值为 【答案】 AC
【考点】轨迹方程
【专题】计算题；新定义；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学抽象；逻辑思维；运算求解 【分析】根据题目所给定义，根据两点间距离公式得到曲线方程，结合选项判断即可．
【 解 答 】 解 ： 对 于 A ： 根 据 题 意 有 . (m — )2 + n2 = 2 ， 两 边 平 方 整 理 可 得 (m2 + n2 + 2)2 — 8m2 = 4 ，将 m 换成 —m 方程不变，故曲线关于 y 轴对称，将 n 换成 —n 方程也不变，故曲线 关于 x 轴对称，故曲线 C 关于原点 O 成中心对称；
对于 B ：整理 2 — 8m2 = 4 可得 令 则 整理得
故当 t = 4 时 故 故 B 错误；
对于 C ：由 B 可知，当 时 故 C 正确；
对于 若△ 周长的最小值为 则 时等号成立，此时 P(0, 0) ，不能构成三角形，故D 错误．
故选： AC ．
【点评】本题考查曲线方程的处理与轨迹方程的求解，属于中档题．
12．（2024•衡阳县校级模拟）已知 F1 (—c, 0) ，F2 (c, 0) 为平面直角坐标系内两定点，动点M (x, y) 与点 F2 (c, 0)
的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，其中 a ， b ， c 为△ ABC 的三边长，且 C(-)-A . C(-)-B = 0 ，
设点 P 为动点M 的轨迹上一点，且点 P 不在坐标轴上，则下列结论中正确的是 ( )
时

B ．若点P 在y 轴右侧时，则△ PF1F2 内切圆的圆心在定直线 x = a 上

C ．使得△ PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 4 个

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D ． △ PF1F2 的面积为 【答案】 ABD
【考点】圆锥曲线的轨迹问题；双曲线与平面向量；双曲线的定义
【专题】数学运算；综合法；直观想象；逻辑推理；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；对应思想 【分析】根据题意可得动点M 的轨迹是以 F1 (—c, 0) ， F2 (c, 0) 为焦点的双曲线，
结合双曲线的定义及勾股定理判断 A ；
结合双曲线的定义及三角形内切圆的性质判断 B ；
由题意可得则 F1F2 必为腰，分象限讨论 P 点个数即可判断 C