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2025 年高考数学压轴训练 21一选择题（共 10 小题）- - -1 （2024安徽模拟）已知 A(2, 0) ， P 为圆 C : x2 + y2 = 1 上的动点，且动点 Q 满足： OP = OA + OQ ，记 Q点的轨迹为 E ，则 ( )A E 为一条直线 B E 为椭圆C E 为与圆 C 相交的圆 D E 为与圆 C 相切的圆2 （2024皇姑区四模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知M ，N ，P 分别是棱 C1D1 ， AA1 ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线 QB1 与直线DB1 的夹角为 30O ，则点 Q 的轨迹长度为 ( )A 2(兀) B 兀 C 2兀 D 3兀3 （2024大武口区校级一模）相距1400m 的 A ， B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ，已知声速 是 340m / s ，炮弹爆炸点一定在曲线 ( ) 的方程上A B C y = 0(x. 700 或 x开700)D 4（2024海淀区校级三模）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 C 的方程为： O 为坐标原点，点 A(1, 0) ，点 P 为卵圆上任意一点，有下列四种说法：卵圆 C 关于 x 轴对称；卵圆上不存在两点关于直线对称；线段 PO 长度的取值范围是1 ， 2 ； OAP 的面积最大值为 1；其中正确说法的序号是 )1A B C D 5 （2024淄博模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(2, 0) ，B(0, 6) ，动点 P 满足 且 | | + | |= 1 ，则下列说法正确的是 ( )A 点 P 的轨迹为圆B 点 P 到原点最短距离为 2C 点 P 的轨迹是一个正方形D 点 P 的轨迹所围成的图形面积为 246（2024天河区校级模拟）已知在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的右焦点为 F ， 点D 为双曲线右支上一点，直线 OD 交双曲线于另一点 G ，且 GF 丄 DF ，| OD |= 2 | DF | ，直线 GF 经过椭 圆 的下顶点，记E1 的离心率为 e1 ， E2 的离心率为 e2 ，则 ( )A B C D -7（2024德州模拟）已知点 Q 为圆 C : x2 + y2 = 4 上一动点，点 P 满足 QP = (1, 2) ，记点P 的轨迹为 E 直线 l : x y + 3 = 0 上有一动点M ，直线MP 与E 相切于点P ，则 | PM | 的最小值为 ( )A 2 B C D 8 （2024闵行区校级三模）已知 OA 是圆柱 OO1 下底面的一条半径， OA = 1 ， OO1 = 10 ， P 为该圆柱侧面 上一动点， PB 垂直下底面于点 B ，若 上OPB = 上AOB ，则对于下述结论：动点P 的轨迹为椭圆；动点 P 的轨迹长度为兀 ；以下说法正确的为 ( )A 都正确 B 正确，错误 C 错误，正确 D 都错误9 （2024石景山区一模）对于曲线 C : x2 + y2 = 1 ，给出下列三个命题：关于坐标原点对称；曲线 C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；曲线 C 与曲线| x | + | y |= 3 有四个交点 其中正确的命题个数是 ( )A 0 B 1 C 2 D 310 （2024济宁二模）已知 O 是坐标原点，A(3, 0) ，动点 P(x, y) 满足 | PO |= 2 | PA | ，则 的最大值 为 ( )2A B C 1 D 二多选题（共 5 小题）11 （2024李沧区校级二模）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线已知曲线 C 是到两定点 ， 的距离之积为常数 2 的点的轨迹，设P(m, n) 是曲线 C 上的点，给出 下列结论，其中正确的是 ( )A 曲线 C 关于原点 O 成中心对称 B 1 .n .1C SPF1F1 1 D PF1F2 周长的最小值为 4 12（2024衡阳县校级模拟）已知 F1 (c, 0) ，F2 (c, 0) 为平面直角坐标系内两定点，动点M (x, y) 与点 F2 (c, 0)的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，其中 a ， b ， c 为 ABC 的三边长，且 C(-)-A . C(-)-B = 0 ，设点 P 为动点M 的轨迹上一点，且点 P 不在坐标轴上，则下列结论中正确的是 ( ) 时 B 若点P 在y 轴右侧时，则 PF1F2 内切圆的圆心在定直线 x = a 上C 使得 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 4 个D PF1F2 的面积为13 （2024李沧区校级一模）数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面一些优美的曲线是数 学形象美、对称美、和谐美的结合产物关于曲线 C : x2 + y2 =| x | + | y | ，则下列结论正确的是 ( )A 曲线 C 关于原点成中心对称图形B 曲线 C 关于 x 轴， y 轴成轴对称图形C 曲线 C 上任意两点之间的距离都不超过 2D 曲线 C 所围成的“花瓣 ”形状区域的面积大于 兀14 （2024潞州区校级一模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等， 心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为 图形如图所示当 a = 1 时，点 P1 (x1 ， y1 ) ， P2 (x2 ， y2 ) 在这条心形线 C 上，且 x1x2 0 ，则下列说法正确 的是 ( )3- - -A 若 OP1 / /OP2 ，则 | P1P2 |= 2B 若 OP1 / /OP2 ，则 | OP1 | . | OP2 |= 1C | OP1 | + | OP2 | b 0 ，我们称双曲线 一 与椭圆互为“伴 随曲线 ”，点 A 为双曲线 C 和椭圆 的下顶点( ) 若 B 为椭圆 的上顶点，直线 y = t(0 t a) 与 交于 P ， Q 两点，证明：直线 AP ， BQ 的交点在 双曲线 C 上；( ) 过椭圆 的一个焦点且与长轴垂直的弦长为 ，双曲线 C 的一条渐近线方程为 若 F 为 双曲线 C 的上焦点，直线l 经过 F 且与双曲线 C 上支交于M ，N 两点，记 MON 的面积为 S ，上MON = (O为坐标原点）， AMN 的面积为 (i) 求双曲线 C 的方程；(ii) 证明： 2S cos = 17 sin .25 （2024赤峰模拟） 已知点 P 为圆 C : (x 一 2)2 + y2 = 4 上任意一点， A(一2, 0) ，线段 PA 的垂直平分线交 直线 PC 于点M ，设点M 的轨迹为曲线H 6（1）求曲线H 的方程；（2）若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于 S ， T 两点，且M 为线段 ST 的中点(i) 证明：直线 l 与曲线H 有且仅有一个交点； 求 的取值范围72025 年高考数学压轴训练 21参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）2 2 - - -1 （2024安徽模拟）已知 A(2, 0) ， P 为圆 C : x + y = 1 上的动点，且动点 Q 满足： OP = OA + OQ ，记 Q点的轨迹为 E ，则 ( )A E 为一条直线 B E 为椭圆C E 为与圆 C 相交的圆 D E 为与圆 C 相切的圆 【答案】 D【考点】轨迹方程【专题】定义法；直线与圆；函数思想；逻辑推理 设P ，由 得到 Q 点坐标，设 Q 点坐标为 (x, y) ，用 Q 点坐标表示 P 点坐 标，并代入圆 C ，得到 Q 点的轨迹方程 E ，再利用圆心距与半径的关系判 Q 点的轨迹 E 与圆 C 的位置关 系- - - - - -【解答】解：设 P(x0 ， y0 ) ，由 OP = OA + OQ ，可得 OQ = OP OA ， 所以 Q 点坐标为 (x0 2 ， y0 ) ，设 Q 点坐标为 (x, y) ，则 即 ，把 P(x + 2, y) 代入圆 C ，则 Q 点的轨迹 E 的方程为： (x + 2)2 + y2 = 1 ，即 E 是圆心为 (2, 0) ，半径为 1 的圆，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切， 即 E 为与圆 C 相切的圆故选： D 【点评】本题考查圆的轨迹方程，属于中档题2 （2024皇姑区四模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知M ，N ，P 分别是棱 C1D1 ， AA1 ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线 QB1 与直线DB1 的夹角为 30O ，则点 Q 的轨迹长度为 ( )8A 2(兀) B 兀 C 2兀 D 3兀【答案】 C【考点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；轨迹方程 【专题】空间位置关系与距离；转化思想；数学运算；综合法【分析】可得 DB1 丄 平面 PMN ，可得点 Q 的轨迹为圆， 由此即可得【解答】解： 以D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴， 建立空间直角坐标系， P(1 ，2 ， 0) ， M (0 ，1 ， 2) ，N(2 ，0 ， 1) ， D(0 ，0 ， 0) ， B1 (2 ，2 ， 2) ， 故 P- = (1, 2, 1) ，设平面 PMN 的法向量为 = (x, y, z) ，令 z = 1 得， x = y = 1 ，故 = (1, 1, 1) ， 因为D-B- = 2 ，故 DB1 丄 平面 PMN ，Q 为平面 PMN 上的动点，直线QB1 与直线DB1 的夹角为 30O ，DB1 丄 平面 PMN ，设垂足为 S ，以 S 为圆心， 为半径作圆，即 为 点 Q 的 轨 迹 ， 其 中 由 对 称 性 可 知 故 半 径 故点 Q 的轨迹长度为 2兀 故选： C 9【点评】本题考查立体中的轨迹问题，属于中档题3 （2024大武口区校级一模）相距1400m 的 A ， B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ，已知声速 是 340m / s ，炮弹爆炸点一定在曲线 ( ) 的方程上B C y = 0(x.- 700 或 x开700)D 【答案】 D【考点】 曲线与方程【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可【解答】解：设炮弹爆炸点为 P ，由题意可知： | PA | - | PB |= 3 340 = 1020 -2 ，所以-1 .x .2 ， 设点 P(x, y) ， x -1 ， 2 ，11令 f (x) = 0 ，则 x = 0 或 ，当 1 x 0 ，当 时， f 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，又 且 ， 所以 f(x)min = 1 ， f(x)max = 4 ，即| OP |2 1 ， 4 ，所以| OP | 1 ， 2 ，故正确； 对于 , 点 P(x, y) ， x 1 ， 2 ，当 1 x 0 时， g (x) 0 ，当 0 x 0 ， 所以 g(x) 在 (1, 0) 上单调递减，在 (0, 2) 上单调递增，所以 g(x)min = g(0) = 0 ，此时 OAP 的面积取得最大值 1 ，故正确故选： B 【点评】本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的 概念、法则、运 算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答5 （2024淄博模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(2, 0) ，B(0, 6) ，动点 P 满足 且 | | + | |= 1 ，则下列说法正确的是 ( )A 点 P 的轨迹为圆B 点 P 到原点最短距离为 2C 点 P 的轨迹是一个正方形D 点 P 的轨迹所围成的图形面积为 24 【答案】 D【考点】轨迹方程【专题】数形结合；直线与圆；平面向量及应用；计算题；转化思想；综合法；数学运算12【分析】设 P 点坐标为 (x, y) ，由已知条件 ，结合向量的坐标表示可用x ，y 表示 , , 结合 | | + | |= 1 可得 x ， y 的关系，进而可求点P 的轨迹方程，再由平行四边形面积公式检验选项D 【解答】解：设 P 点坐标为 (x, y) ，由已知条件O(-)- = O(-)-A + O(-)- ，可得 ，又因为 | | + | |= 1 ，所以 P 点坐标对应轨迹方程为 ， x开0 ，且 y开0 时，方程为3x + y = 6 ；x开0 ，且 y 0 时，方程为y = 3x 6 ；x 0 ，且 y开0 时，方程为 y = 3x + 6 ；x 0 ，且 y 0 时 x = y ，同理 x 0 时 一x = y ，所以点P 的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆，两条线段的长度均为 兀 ，故轨迹长为兀 故选： C 【点评】本题考查立体几何中的动点轨迹问题，属于中档题9 （2024石景山区一模）对于曲线 C : x一2 + y一2 = 1 ，给出下列三个命题：关于坐标原点对称；曲线 C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；曲线 C 与曲线| x | + | y |= 3 有四个交点 其中正确的命题个数是 ( )A 0 B 1 C 2 D 3【答案】 C【考点】 曲线与方程【专题】数学运算；方程思想；综合法；直线与圆【分析】将x 换为 一x ， y 换为 一y ，方程 x一2 + y一2 = 1不变，可判断；方程变为 x2 + y2 = x2y2 ，由基本不 等式可判断；由对称性可考虑第一象限的交点个数，结合函数零点存在定理和函数的单调性，可判断 . 【解答】解：将 x 换为 一x ， y 换为 一y ，方程 x一2 + y一2 = 1不变，则曲线 C 关于原点对称，故正确；由 x一2 + y一2 = 1 ，可得 解得 即有 故正确；由曲线 C 和曲线| x | + | y |= 3 都关于原点对称，都关于 x ， y 轴对称，可考虑第一象限的交点个数16由 y = 3 x 和 可得 x4 6x3 + 7x2 + 6x 9 = 0 ，设 f(x) = x4 6x3 + 7x2 + 6x 9 ，由 f （1） = 1 0 ， f （2） = 1 0 ， 可得 f(x) 在 (1, 1.5) 和 (1.5, 2) 各有一个零点，又 y = 3 x 和 在 (1, 3) 递减，则第一象限的交点个数为 2，可得曲线 C 与曲线 | x | + | y |= 3 有 8 个交点，故错误故选： C 【点评】本题考查曲线的方程和性质，以及直线和曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力， 属于中档题10 （2024济宁二模）已知 O 是坐标原点，A(3, 0) ，动点 P(x, y) 满足 | PO |= 2 | PA | ，则 的最大值 为 ( )A B C 1 D 【答案】 D【考点】两点间的距离公式；轨迹方程【专题】计算题；转化思想；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算；综合法【分析】设 P(x, y) ，可求点的轨迹方程，利用 的几何意义，结合向量的数量积，转化求解即可 【解答】解：设P(x, y) ，由题意 | PO |= 2 | PA | ，可得 整理可得 x2 + y2 8x +12 = 0 ， 即： (x 4)2 + y2 = 4 ，且圆心的坐标 (4, 0) ，半径 表示 与 的夹角的余弦值的 2 倍，要使得 取得最大值 ，有 O(-)- 与圆 (x 4)2 + y2 = 4 相切 ，切点在第一象限 ，此时 上 ，兀上 ，可得 的最大值为 2 cos 上 故选： D 【点评】本题考查点的轨迹的求法，考查向量的数量积的计算，是难题17二多选题（共 5 小题）11 （2024李沧区校级二模）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线已知曲线 C 是到两定点 ， 的距离之积为常数 2 的点的轨迹，设P(m, n) 是曲线 C 上的点，给出 下列结论，其中正确的是 ( )A 曲线 C 关于原点 O 成中心对称 B 1 .n .1C SPF1F1 1 D PF1F2 周长的最小值为 【答案】 AC【考点】轨迹方程【专题】计算题；新定义；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学抽象；逻辑思维；运算求解 【分析】根据题目所给定义，根据两点间距离公式得到曲线方程，结合选项判断即可【 解 答 】 解 ： 对 于 A ： 根 据 题 意 有 . (m )2 + n2 = 2 ， 两 边 平 方 整 理 可 得 (m2 + n2 + 2)2 8m2 = 4 ，将 m 换成 m 方程不变，故曲线关于 y 轴对称，将 n 换成 n 方程也不变，故曲线 关于 x 轴对称，故曲线 C 关于原点 O 成中心对称；对于 B ：整理 2 8m2 = 4 可得 令 则 整理得 故当 t = 4 时 故 故 B 错误；对于 C ：由 B 可知，当 时 故 C 正确；对于 若 周长的最小值为 则 时等号成立，此时 P(0, 0) ，不能构成三角形，故D 错误故选： AC 【点评】本题考查曲线方程的处理与轨迹方程的求解，属于中档题12（2024衡阳县校级模拟）已知 F1 (c, 0) ，F2 (c, 0) 为平面直角坐标系内两定点，动点M (x, y) 与点 F2 (c, 0)的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，其中 a ， b ， c 为 ABC 的三边长，且 C(-)-A . C(-)-B = 0 ，设点 P 为动点M 的轨迹上一点，且点 P 不在坐标轴上，则下列结论中正确的是 ( ) 时 B 若点P 在y 轴右侧时，则 PF1F2 内切圆的圆心在定直线 x = a 上C 使得 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 4 个18D PF1F2 的面积为 【答案】 ABD【考点】圆锥曲线的轨迹问题；双曲线与平面向量；双曲线的定义【专题】数学运算；综合法；直观想象；逻辑推理；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；对应思想 【分析】根据题意可得动点M 的轨迹是以 F1 (c, 0) ， F2 (c, 0) 为焦点的双曲线，结合双曲线的定义及勾股定理判断 A ；结合双曲线的定义及三角形内切圆的性质判断 B ；由题意可得则 F1F2 必为腰，分象限讨论 P 点个数即可判断 C