2025年高考数学压轴训练二十二.docx

2025 年高考数学压轴训练 22
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•江西一模）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于 2004 年被国际足联正式确认为世界足球运动 的起源．蹴鞠在 2022 年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统 非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“ 甲队 ”“乙队 ”“丙队 ”“丁 队 ” ) 进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积 分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得 3 分，平场得 1 分，负一场得 0 分．若 每场比赛中两队胜、平、负的概率均为 ，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球 队的积分的概率为 ( )

A ． B ． C ． D ．
2 ．（2024•织金县校级模拟） 已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共 10 个，设红球的个数为 n ，从中 随机取出 3 个球，取出 2 红 1 黑的概率记为 Pn ，当 Pn 最大时，红球个数为 ( )
A ．6 B ．7 C ． 8 D ．9
3．（2024•荆州模拟）已知随机变量 ξ ~ N(1, σ 2 ) ，且 P(ξ.0) = P(ξ开a) ，则 的最小值为 ( )
A ．9 B ． C ．4 D ．6
4 ．（2024•苏州三模）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆 柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的 过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号 分别为 0 ，1 ，2 ， … , 10 ，用 X 表示小球最后落入格子的号码，若P(X = k).P(X = k0 ) ，则 k0 = ( )

1

A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5 ．（2024•菏泽二模）下列结论正确的是 ( )
A．已知一组样本数据 x1 ，x2 ，…xn (x1 < x2 < … < xn ) ，现有一组新的数据 ， , 则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B ．已知具有线性相关关系的变量 x ， y ，其线性回归方程为 = 0.3x — m ，若样本点的中心为 (m, 2.8) ， 则实数 m 的值是 4
C ．50 名学生在一模考试中的数学成绩 X ~ N(120, σ 2 ) ，已知 P(X >140) = 0.2 ，则 X ∈ [100 ， 140] 的人
数为 20 人
D ．已知随机变量 ，若 E(3X +1) = 6 ，则 n = 5
6 ．（2024•南开区一模） 已知随机变量 X ~ N(μ,σ 2 ) ， Y ~ B(6, p) ，且 则 p = ( )
A ． B ． C ． D ．
7．（2024•罗湖区校级模拟）设 x1 、x2 、x3 为互不相等的正实数，随机变量 X 和 Y 的分布列如表，若记DX ， DY 分别为X ， Y 的方差，则下列说法正确的是 ( )
X

x1

x2

x3
Y

P

A ． D(X) < D(Y)
B ． D(X) = D(Y)
C ． D(X) > D(Y)

2
D ． D(X) 与D(Y) 的大小关系与 x1 ， x2 ， x3 的取值有关
8 ．（2024•辽宁一模）猜灯谜是中国元宵节特色活动之一． 已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放
入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他 们每人必能猜对自己写的灯谜，并有 的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为 ( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．（2024•格尔木市模拟）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛 2n(n ∈ N* ) 局，且每局小王获胜的概率和 小张获胜的概率均为 ，如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记小王赢得比赛的概率为P(n) ， 则下列结论错误的是 ( )
A ． B ． P （2） = 2P （1）
C ． D ． P(n) 随着 n 的增大而增大
10 ．（2024•益阳模拟）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区 居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.97% ，但统计分析结果显示患病率为1% ．医学研究表明化验结 果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为 0.01 ，则该地区患有该疾病的居 民化验结果呈阳性的概率为 ( )
A ．0.96 B ．0.97 C ．0.98 D ．0.99
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•香坊区校级模拟）一个袋子中有 4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2 个 球．事件 A = “两次取到的球颜色相同 ”；事件B = “第二次取到红球 ”；事件 C = “第一次取到红球 ”．下 列说法正确的是 ( )
A ． A 二 B B ．事件 B 与事件 C 是互斥事件
C ． D ．
12 ．（2024 •佛 山一模 ） 有一组样本数据 0 ， 1 ，2 ， 3 ，4 ， 添加一个数 X 形成一组新 的数据 ， 且 则新的样本数据 ( )
A ．极差不变的概率是
B ．第 25 百分位数不变的概率是
C ．平均值变大的概率是
D ．方差变大的概率是

3
13 ．（2024•越秀区校级一模）下列说法正确的是 ( )
A ．数据 2 ，1 ，3 ，4 ，2 ，5 ，4 ，1 的第 45 百分位数是 4
B ．若数据 x1 ， x2 ， x3 ， … , xn 的标准差为s ，则数据 2x1 ， 2x2 ， 2x3 ， … , 2xn 的标准差为 2s
C ．随机变量X 服从正态分布 N(1, 2) ，若 则
D ．随机变量 X 服从二项分布 B(4, p) ，若方差 则
14 ．（2024•新郑市校级一模）关于下列命题中，说法正确的是 ( )
A ．已知X ~ B(n, p) ，若 E(X) = 30 ， D(X) = 20 ，则
B ．数据 91 ，72 ，75 ，85 ，64 ，92 ，76 ，78 ，86 ，79 的 45% 分位数为 78
C ．已知 ξ ~ N(0, 1) ，若 P = p ，则 P 一 p
D ．某校三个年级，高一有 400 人，高二有 360 人．现用分层抽样的方法从全校抽取 57 人，已知从高 一抽取了20 人，则应从高三抽取 19 人
15 ．（2024•袁州区校级三模）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件 A ：甲骰子点数为奇数，事件 B ：乙骰子点数为偶数，事件 C ： 甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有 ( )
A ．事件 A 与事件 B 对立 B ．事件 A 与事件 B 相互独立
C ．事件 A 与事件 C 相互独立 D ． P （C） = P(AB)
三．填空题（共 5 小题）
16 ．（2024•江西一模）斐波那契数列 (Fibonaccisequence) ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 . 斐波那 契 (LeonardoFibonacci) 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列 ”，指的是这样一个数列：1 、1、2、 3 、5 、 8 、 13 、21 、34 、 … ，在数学上 ，斐波那契数列以如下递推的方式定义 ： a0 = 1 ， a1 = 1 ，

an = an一1 + an一2 (n开2, n ∈ N* ) ， A = {a1 ， a2 ， … , a2024 } ， B 二 A 且 B ≠ ⑦ 中，则 B 中所有元素之和为奇数 的概率为 ．
17 ．（2024•厦门模拟）在 n 维空间中 (n开2, n ∈ N) ，以单位长度为边长的“立方体 ”的顶点坐标可表示为 n 维坐标 (a1 ，a2 ，… , an ) ，其中 ai ∈ {0 ，1}ai ∈ {0 ，1}(1 .i.n, i ∈ N) ．则 5 维“立方体 ”的顶点个数是 ； 定 义 ： 在 n 维 空 间 中 两 点 (a1 ， a2 ， … , an ) 与 (b1 ， b2 ， … , bn ) 的 曼 哈 顿 距 离 为 | a1 一 b1 | + | a2 一 b2 | + … + | an 一 bn | ．在 5 维“立方体 ”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 X 为所取 两点间的曼哈顿距离，则 E(X) = ．
18．（2024•和平区二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在 最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已

4
知甲回答正确的概率为 ，甲、丙两人都回答正确的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 ．若规 定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有 1 人回答正确的概率为 ；若规定三名 同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 ， ， ，则这个问题回答正确的概率 为 ．
19 ．（2024•魏都区校级三模）抛掷一枚不均匀的硬币，正面向上的概率为 ，反面向上的概率为 ，记 n 次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为 an ，则数列{an } 的通项公式 an = ．
20．（2024•浙江模拟）甲、乙两人玩游戏，规则如下：第 2n 一1(n ∈ N* ) 局，甲赢的概率为 ；第 2n(n ∈ N* ) 局，乙赢的概率为 ．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则 游戏结束时， 甲、乙两人玩的局数的数学期望为 ．
四．解答题（共 5 小题）
21 ．（2024•香河县校级模拟）人工智能（英语： Artificialintelligence ，缩写为 AI) 亦称智械、机器智能， 指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技 术．人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、 使用工具和操控机械的能力等．当前有大共的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推 演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来源于大 脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库．某中学 计划在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工筸能是否感兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取 了 400 人进行调查，整理得到如下列联表：

感兴趣
不感兴趣
合计
男生
180
40
220
女生
120
60
180
合计
300
100
400
（1）依据小概率值 α = 0.001 的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取 10 人，再从这 10 人中随机抽取 3
人进行采访，记随机变量 X表示抽到的 3 人中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望．
附： 其中 n = a + b + c + d ．

σ
0. 1
0.05
0.01
0.005
0 ，001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

5
22 ．（2024•江西一模）设 (X, Y) 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为 (ai ， bj ) ，其中i ， j ∈ N * ，令 pij = P(X = ai ， Y = bj ) ，称 pij (i, j ∈ N*) 是二维离散型随机变量 (X, Y) 的联合分布列．与一维 的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
Y / X
b1
b2
b3
…

a1
p1,1
p1,2
p1,3
…

a2
p2,1
p2,2
p2,3
…

a3
p3,1
p3,2
p3,3
…
…
…
…
…
…
现有 n(n ∈ N*) 个相同的球等可能的放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，记落下第 1 号盒子中的球的个数为 X ，落入第 2 号盒子中的球的个数为Y ．
（1）当 n = 2 时，求 (X, Y) 的联合分布列；
设 且 k .n ，计算 ．
23 ．（2024•黄山模拟）某校高三年级 1000 名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示， 其中成绩分组区间是[30 ， 50) ， [50 ， 70) ， [70 ， 90) ， [90 ， 110) ， [110 ， 130) ， [130 ， 150] ．
（1）求图中 a 的值，并根据频率分布直方图，估计这 1000 名学生的这次考试数学成绩的第 85 百分位数；
（2）从这次数学成绩位于[50 ，70) ，[70 ，90) 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方．法抽取 9 人， 再从这 9 人中随机抽取 3 人，该 3 人中成绩在区间[70 ， 90) 的人数记为X ，求 X 的分布列及数学期望．

24．（2024•河南模拟）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有 n 个 形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取 m 个球 (m.n) ，摸完后全部放回袋中， 球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
（1）若 n = 4 ， m = 2 ，当袋中的球中有 2 个所标面值为 40 元，1 个为 50 元，1 个为 60 元时，在员工所 获得的红包数额不低于 90 元的条件下，求取到面值为 60 元的球的概率；

6
（2）若 n = 5 ， m = 4 ，当袋中的球中有 1 个所标面值为 10 元，2 个为 20 元，1 个为 30 元，1 个为 40 元 时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
25 ．（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机 抽取 1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数
0
1
2
3
4
保单份数
800
100
60
30
10
假设：一份保单的保费为 0.4 万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿 0.8 万元；第四次索赔时，保险公 司赔偿 0.6 万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
（1）估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(i) 记 X为一份保单的毛利润，估计 X 的数学期望 EX ；
(ii) 如果无索赔的保单的保费减少4% ，有索赔的保单的保费增加20% ，试比较这种情况下一份保单毛利 润的数学期望估计值与 (i) 中 EX 估计值的大小，（结论不要求证明）

7
2025 年高考数学压轴训练 22
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．（2024•江西一模）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于 2004 年被国际足联正式确认为世界足球运动 的起源．蹴鞠在 2022 年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统 非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“ 甲队 ”“乙队 ”“丙队 ”“丁 队 ” ) 进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积 分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得 3 分，平场得 1 分，负一场得 0 分．若 每场比赛中两队胜、平、负的概率均为 ，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球 队的积分的概率为 ( )

A ． B ． C ． D ． 【答案】 D
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计；对应思想；定义法；数学运算
【分析】根据丙是最高分可得丙余下两场比赛全赢，再就甲乙、甲丁的输赢（丙的第一场对手若为甲）分 类讨论后可得正确的选项．
【解答】解：三队中选一队与丙比赛，丙输， 例如是丙甲， 若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得 4 分，
这时， 甲乙、 甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于 4 分，不合题意， 在甲输的情况下，乙、丁已有 3 分，
那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于 4 分，不合题意． 若丙全赢（概率是时，丙得 6 分，其他 3 人分数最高为 5 分，
这时甲乙， 甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于 6 分，
（1）若甲乙， 甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是 ， 如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是 ，

8
（2）若甲乙， 甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是 ， 乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，
（3）若甲乙， 甲丁两场比赛中甲都输，概率是 ，
乙丁这场比赛只能平，概率是 ．
综上，概率为 正确．
故选： D ．
【点评】本题考查相互独立事件的应用，属于中档题．
2 ．（2024•织金县校级模拟） 已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共 10 个，设红球的个数为 n ，从中 随机取出 3 个球，取出 2 红 1 黑的概率记为 Pn ，当 Pn 最大时，红球个数为 ( )
A ．6 B ．7 C ． 8 D ．9
【答案】 B
【考点】概率的应用；排列组合的综合应用；古典概型及其概率计算公式 【专题】综合法；概率与统计；计算题；数学运算；转化思想；方程思想
【分析】根据题意，由古典概型公式可得 根据求出 ，根据 n 只能取正整数，
得出关系，即可求解．
【解答】解：根据题意，10 个球中，红球个数为 n ，从中随机取出 3 个球，取出 2 红 1 黑的概率记为 Pn ，

故 ，
若 即 解可得 ， 又由 2 .n .9 且 n ∈ Z ，则有 且 故 (Pn )max = P7 ．
故选： B ．
【点评】本题考查概率与不等式的综合应用，涉及古典概型的计算，属于中档题．
3．（2024•荆州模拟）已知随机变量 ξ ~ N(1, σ 2 ) ，且 P(ξ.0) = P(ξ开a) ，则 的最小值为 (

9
)
A ．9 B ． C ．4 D ．6
【答案】 B
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【专题】数学运算；转化法；概率与统计；方程思想；导数的综合应用
【分析】 由已知结合正态分布曲线的对称性求得 a ，代入 再由导数求最值．
【解答】解： ξ ~ N(1, σ 2 ) ，可得正态分布曲线的对称轴为 x = 1 ，
又 P(ξ.0) = P(ξ开a) ， : 即 a = 2 ．

当 时， f’(x) < 0 ， f(x) 单调递减， 当 ， 2) 时， f’(x) > 0 ， f(x) 单调递增，
则 f(x) 的最小值为 ．
故选： B ．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力， 是中档题．
4 ．（2024•苏州三模）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆 柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的 过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号 分别为 0 ，1 ，2 ， … , 10 ，用 X 表示小球最后落入格子的号码，若P(X = k).P(X = k0 ) ，则 k0 = ( )

A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】 B

10
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）
【专题】综合法；数学运算；对应思想；概率与统计
【分析】小球在下落过程中，共 10 次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码 X服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即 则 然后由二项 式系数对称性即可得解．
【解答】解：小球在下落过程中，共 10 次等可能向左或向右落下， 则小球落入格子的号码 X服从二项分布，
且落入格子的号码即向右次数，即 ，
所以 一
由二项式系数对称性知，当 k = 5 时， C10(k)最大，故 k0 = 5 ．
故选： B ．
【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．
5 ．（2024•菏泽二模）下列结论正确的是 ( )
A．已知一组样本数据 x1 ，x2 ，…xn (x1 < x2 < … < xn ) ，现有一组新的数据 ， , 则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B ．已知具有线性相关关系的变量 x ， y ，其线性回归方程为 = 0.3x 一 m ，若样本点的中心为 (m, 2.8) ， 则实数 m 的值是 4
C ．50 名学生在一模考试中的数学成绩 X ~ N(120, σ 2 ) ，已知 P(X > 140) = 0.2 ，则 X ∈ [100 ， 140] 的人
数为 20 人
D ．已知随机变量 ，若 E(3X +1) = 6 ，则 n = 5
【答案】 D
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）； n 重伯努利试验与二项分布；正态分布曲线的特点及曲线所 表示的意义；用样本估计总体的离散程度参数；经验回归方程与经验回归直线
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算
【分析】根据数据的数字特征即可判断 A ；根据线性回归方程为 = 0.3x 一 m 过样本点的中心 (m, 2.8) 即可 判断 B ；根据正态分布的性质即可判断 C ；根据二项分布的性质即可判断D ．
【解答】解：对于 A ，新数据的和为 故平均数不变， 又 x1 < x2 < … < xn ，

11
故原数据的极差为 xn 一 x1 ，新数据极差为 xn一12+ xn 一 ，
所以 一 一 所以极差变小了， 由于平均数没变，说明新数据相对于原数据更集中于平均数附近，
故数据更稳定，所以方差应该变小，故 A 错误；
对于 B ，因为线性回归方程为 = 0.3x 一 m 过样本点的中心 (m, 2.8) ， 所以 2.8 = 0.3m 一 m ，解得 m = 一4 ，故 B 错误；
对于 C ，因为 X ~ N(120, σ 2 ) ，已知 P(X > 140) = 0.2 ，
所以 = 0.6 ，所以人数为 50× 0.6 = 30 人，故 C 错误．
对于 D ，因为 ，
所以 ， E(3X +1) = 3E(X) +1 = n +1 = 6 ，解得n = 5 ，故 D 正确．
故选： D ．
【点评】本题考查了概率统计的综合应用，属于中档题．
6 ．（2024•南开区一模） 已知随机变量 X ~ N(μ,σ 2 ) ， Y ~ B(6, p) ，且 则 p = ( )
A ． B ． C ． D ．
【答案】 D
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的均值（数学期望） 【专题】数学运算；概率与统计；定义法；对应思想
【分析】根据正态分布以及二项分布相关知识可解．
【解答】解：因为随机变量 X ~ N(μ,σ 2 ) ， Y ~ B(6, p) ，且 则 E(Y) = 6p ， μ = 4 ，
根据正态分布性质可知 E(X) = μ , 则 6p = 4 ，
则 ．
故选： D ．
【点评】本题考查正态分布以及二项分布相关知识，属于中档题．
7．（2024•罗湖区校级模拟）设 x1 、x2 、x3 为互不相等的正实数，随机变量 X 和 Y 的分布列如表，若记DX ，

12
DY 分别为X ， Y 的方差，则下列说法正确的是 ( )

X

x1

x2

x3
Y

x3 + x1
2
P

A ． D(X) < D(Y)
B ． D(X) = D(Y)
C ． D(X) > D(Y)

D ． D(X) 与D(Y) 的大小关系与 x1 ， x2 ， x3 的取值有关
【答案】 C
【考点】离散型随机变量的方差与标准差
【专题】综合法；数学运算；概率与统计；对应思想
【分析】根据离散型随机变量的期望和方差的公式结合题中所给随机变量 X和 Y 的分布列即可求解． 解： 由题

即 也即D 故选： C ．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差的有关计算，属于中档题．
8 ．（2024•辽宁一模）猜灯谜是中国元宵节特色活动之一． 已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放
入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他 们每人必能猜对自己写的灯谜，并有 的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为 ( )
A ． B ． C ． D ．

13
【答案】 C
【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的应用
【专题】综合法；转化思想；计算题；方程思想；概率与统计；数学运算
【分析】根据题意，分 2 种情况讨论甲获胜的情况，由相互独立事件的概率性质求出各自的概率，由互斥 事件的概率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若甲独自获胜，分 2 种情况讨论：
①甲抽到自己的灯谜，而乙、丙都没有抽到自己的灯谜，
甲乙丙三人每人随机选一个球，有 A3(3) = 6 种抽取方法，
若只有甲抽到自己的灯谜，有 1 种抽取方法，
故只有甲抽到自己的灯谜的概率为 ，
则此时甲独自获胜的概率 ②甲乙丙都没有抽到自己的灯谜，
甲乙丙都没有抽到自己的灯谜， 甲有 2 种可能，乙、丙只有 1 种可能，则有 2× 1 = 2 种可能， 故甲乙丙都没有抽到自己的灯谜的概率为 ，
则此时甲独自获胜的概率
故甲独自获胜的概率 故选： C ．
【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意“ 甲独自获胜 ”的情形，属于中档题．
9 ．（2024•格尔木市模拟）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛 2n(n ∈ N* ) 局，且每局小王获胜的概率和 小张获胜的概率均为 ，如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记小王赢得比赛的概率为P(n) ， 则下列结论错误的是 ( )
A ． B ． P （2） = 2P （1）
C ． D ． P(n) 随着 n 的增大而增大 【答案】 B
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【专题】转化思想；数学运算；逻辑推理；概率与统计；综合法
【分析】要使小王赢得比赛，则小王至少赢 n + 1 局，进而表达出 P(n) ，结合组合数公式求解得到 P(n) ， 由此能求出结果．

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【解答】解： 由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢 n + 1 局，

,
故 A 正确；
故 B 错误；
故 C 正确；

: P(n + 1) > P(n) ， : P(n) 随着 n 的增大而增大，故D 正确， 故选： B ．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10 ．（2024•益阳模拟）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区 居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.97% ，但统计分析结果显示患病率为1% ．医学研究表明化验结 果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为 0.01 ，则该地区患有该疾病的居 民化验结果呈阳性的概率为 ( )
A ．0.96 B ．0.97 C ．0.98 D ．0.99
【答案】 C
【考点】条件概率
【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；概率与统计
【分析】利用全概率公式和条件概率公式即可求得所求事件的概率． 【解答】解：设 A = “患有该疾病 ”， B = “化验结果呈阳性 ”，

由题意可知 P （A） = 0.01 ， P （B ） = 0.0197 ， P(A) = 0.99 ． : P （B） = P （A） P(B | A) + P(A)P(B | A) ，
:0.0197 = 0.01× P(B | A) + 0.99× 0.01 ，解得 P(B | A) = 0.98 ．
: 患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为 0.98．

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故选： C ．
【点评】本题考查全概率公式的应用，考查运算求解能力，属中档题．
二．多选题（共 5 小题）
11 ．（2024•香坊区校级模拟）一个袋子中有 4 个红球，6 个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2 个 球．事件 A = “两次取到的球颜色相同 ”；事件B = “第二次取到红球 ”；事件 C = “第一次取到红球 ”．下 列说法正确的是 ( )
A ． A 二 B B ．事件 B 与事件 C 是互斥事件
C ． D ． 【答案】 CD
【考点】随机事件；互斥事件与对立事件
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解
【分析】由已知先列举出事件 A ，B ，C 包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检验 各选项即可判断．
【解答】解：由题意可得，A = {（红，红），（绿，绿）} ，B = {（红，红），（绿，红）} ，C = {（红，红）， （红，绿） }，
则 A B ，选项 A 错误； B∩ C ≠ ⑦ , 选项B 错误；
选项 C 正确；
选项D 正确．
故选： CD ．
【点评】本题主要考查了事件基本关系的判断，还考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
12 ．（2024 •佛 山一模 ） 有一组样本数据 0 ， 1 ，2 ， 3 ，4 ， 添加一个数 X 形成一组新 的数据 ， 且 P(X = k) = (k ∈ {0 ，1 ，2 ，3 ，4 ， 5}) ，则新的样本数据 ( )
A ．极差不变的概率是
B ．第 25 百分位数不变的概率是
C ．平均值变大的概率是
D ．方差变大的概率是
【答案】 ACD

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【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；用样本估计总体的离散程度参数 【专题】对应思想；概率与统计；计算题；综合法；数学运算
【分析】根据题意得到X 取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐一 判断即可．
【解答】解： 由题意得 ，
对于 A ，若极差不变，则 X = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，概率为1 一 故 A 正确；
对于 B ，由于 5× 25% = 1.25 ， 6 × 25% = 1.5 ，所以原数据和新数据的第 25 百分位数均为第二个数，
所以 X = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，第 25 百分位数不变的概率是1 一 故 B 错误；
对于 C ，原样本平均值为 平均值变大，则 X = 3 ，4 ，5 ，概率为 故 C 正确；
对于 D ，原样本的方差为
显然，当 X = 2 时，新数据方差变小，当 X = 0 ，4 ，5 时，新数据方差变大， 当 X = 1 时，新数据的平均数为
方差为 同理，当 X = 3 时，新数据的方差为 ，
所以方差变大的概率为 故D 正确．
故选： ACD ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
13 ．（2024•越秀区校级一