新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题.docx

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S 4 ab C
2
方法三：S梯形
2ab c2 大正方形面积为S (a b)2
2ab b2
因此a2 b2 c2
1 b) (a b)，S 梯形 d S ABE 2
(a
2
ab
1 2,化简得证
c
2
3勾股定理的合用范围

新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题
基础知识点：
1.勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b,斜边为c,那么a2 b 2 c2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边
称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周代数学家商高就提出了 “勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，以后人们进一步发现并证了然直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
2勾股定理的证明
勾股定理的证明方法好多，常有的是拼图的方法用拼图的方法考证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面积不会改变②依据同一种图形的面积不一样的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常有方法以下：
1
方法一：4S S正方形efgHS正方形ABCD， 4- ab (b a)2C2,化简可证.
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
1

能形状，在运用这必定理时，可用两小边的平方和
三边的三角形是直角三角形；若 a2 b 2 c2，时,
a , b, c为三边的三角形是锐角三角形；
② 定理中a, b , c及a 2 b 2 c2
不过一种表现形式，
那么以a, b, c为三边的三角形是直角三角形，可是
③ 勾股定理的逆定理在用问题描绘时，不可以说成:
a 2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以
以a, b, c为三边的三角形是钝角三角形；若 a 2 b 2
a，
c2
a c
不行以为是独一的，如若三角形三边长 ，b,知足
b为斜边
当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角
b, c为
，时，以
c2 b 2
，

勾股定理揭露了直角三角形三条边之间所存在的数目关系，它只合用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不拥有这一特点，因此在应用勾股定理时，一定了然所观察的对象是直角三角形
4勾股定理的应用①已知直角三角形的随意两边长，求第三边在 ABC中，C 90 ,则c.衣F- , b . 6—7 ,
a c2 b②知道直角三角形一边，可得此外两边之间的数目关系③可运用勾股定理解决一些实质问题5勾股定理的逆定理
假如三角形三边长 a b , c知足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，此中 c为斜边
“数转变为形”来确立三角形的可
① 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法，它经过

角形
6勾股数
①能够组成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a, b, c为正整数时，称a, b, c为
一组勾股数
②记着常有的勾股数能够提升解题速度，如
3,4,5； 6,8,10 5,12,13； 7,24,25等

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7. 勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，一定掌握直角三角形的前提条件，认识直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应想法增添协助线（往常作垂线），结构直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.
8 .勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们经过三角形三边之间的数目关系判断一个三角形是不是直角三角形，在详细计算过程中，边的平方和与最长边的平方进行比较，切不行不加思虑的用两边的平方和与第三边的平方比较而获取错误的
结论.
9 .勾股定理及其逆定理的应用
应用两短
勾股定理及其逆定理在解决一些实质问题或详细的几何问题中，是密不行分的一个整体.往常既要经过逆定理判断一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，两者相辅相成，达成对问题的解决.常有图形：
10、互抗命题的观点
假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互抗命题。假如把此中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的抗命题。
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题型一：直接观察勾股定理
例1在ABC中， C 90 .
⑵已知AB 17, AC 15 ,求BC的长
⑴已知AC 6 , BC 8.求AB的长
题型二：利用勾股定理丈量长度
例题1假如梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子能够抵达建筑物的高度是多少米?
例题2如图（8）,水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰巧落到D点，并求水池的深度 AC.
w

题型三：勾股定理和逆定理并用
例题3 如图3,正方形ABCD 中，E是BC边上的中点，
吗？为何？
F是AB上一点，且 FB
1 AB
- 那么△ DEF是直角三角形
4

注：此题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四：利用勾股定理求线段长度
例题4如图4已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm, 在边CD上取一点£,将左ADE折叠使点D恰巧落在BC边上的点F,求CE的长.

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题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直
例题5有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5米的墙上，任何东西只需移至
一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯恰巧翻开？
题型六：旋转问题：
例题6如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB= 2 .3 , PC=4,求^ ABC的边长.
5米之内，灯就自动翻开，
变式如图，△ ABC为等腰直角三角形，匕BAC=90 °
究BE 2、CF 2、EF 2间的关系，并说明原因.
E、F是BC上的点，且匕EAF=45。，尝试
题型七：对于翻折问题
例题7如图，矩形纸片
ABCD 的边 AB=10cm , BC=6cm , E为BC上一点，将矩形纸片沿
AE折叠，点B恰巧落在

CD边上的点G处，求BE的长.

变式如图，

AD是^ ABC的中线，匕ADC=45。，把△ ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的地点，BC=4,求BC’的长.
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题型八：对于勾股定理在实质中的应用：
例1、如图，公路 MN和公路PQ在P点处交汇，点 A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为 80米，倘若拖沓机行驶时，四周1米之内会遇到噪音影响，那么拖沓机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校能否会遇到
影响，请说明原因；假如遇到影响，已知拖沓机的速度是18千米/小时，那么学校遇到影响的时间为多少？

题型九：对于最短性问题
例5、如右图1- 19,壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发此刻自己的正上方油罐上面沿的B处有一只害虫，便决定捕获这只害虫，为了不惹起害虫的注意，它成心不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行忽然侵袭.结果，壁虎的袭击获取成功，获取了一顿美餐.请问壁虎起码要爬行多少行程才能捕到害虫？（n取3.14结果保存1位小数，能够用计算器计算）
变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把全部面都分为9个小正方形，其边长都是1cm,假定一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右边面的B点，最少要花几秒钟？
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三、课后训练:
一、填空题
1.如图（1）,在高2米，坡角为
3°的楼梯表面铺地毯
地毯的长起码需
C
米.
2.种盛饮料的圆柱形杯（如图）
，问吸管要做 。
已知：如图，^ABC中，匕C
3.
测得内部底面半径为
=90,° 点 O 为^ ABC
2.5
，高为12 ，吸管放进杯里
的三条角均分线的交点， OD1 BC ,
E、F分别是垂足，且 -BC— CA = 6 cm，则点O到三边 AB, AC和BC的距离分别等于
杯外面起码要露出 4.6
OE 1 AC , OF 1AB ,点 D、
cm
4.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶 D后直接跃
到A处，距离以直线计算，假如两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米
5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为
20dm、 3dm、2dm, A和B是这个台阶两个相对的端点， A点
有一只蚂蚁，想到 B点去吃爽的食品，则蚂蚁沿着台阶面爬到
B点最短行程是
二、选择题
1. 已知一个Rt△的两边长分别为 3和4,则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7 或 25
2. Rt△向来角边的长为11,另两边为自然数，则 Rt△的周长为（ ）
A、 121 B、120 C、 132 D、不可以确立
3. 假如R△两直角边的比为 5 : 12,则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A、 60： 13 B、 5： 12 C、 12： 13 D、 60 ： 169
A 20
2 3
4.已知
R^ ABC 中，匕 C=90 °,若
a+b=14cm ,
c=10cm，则RS ABC的面积是（
A 、 24cm2
B、36cm2 C、48cm2
D 、 60cm2
5.等腰三角形底边上的高为
8,周长为32,则三角形的面积为（
A、56
B、48
C、40 D、32

6.
元
某市在旧城改造中，计划在市内一块以下图的三角形空地上栽种草皮以美化环境,
则购置这类草皮起码需要（
已知这类草皮每平方米售价

20m
450a 元
B、225a 元
C、150a 元
D、 3a 元
30m
7.
的面积为
已知,
如图长方形 ABCD
（
中,
,使点
B与点D重合，折痕为 £「，则左ABE
A 、 6cm2
B 、 8cm2
10cm2
12cm2

8. 在△ ABC 中，AB=15 , AC=13 ，高 AD=12，则△ ABC
的周长为

A. 42
B. 32
C. 42 或 32 D. 37 或 33
9.如图，正方形网格中的^
ABC ,若小方格边长为
1,则左ABC是（
（A ）直角三角形 （B锐角三角形（（钝角三角形
（D）以上答案都不对

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3m和5m，两乡村之间的距离为

三、计算
1、如图，A、B是笔挺公路l同侧的两个乡村，且两个乡村到直路的距离分别是d（已知d2=40m2），现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？
2、如图1-3-11有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶
点P落在AD边上（不与 A、D重合），在AD上适合挪动三角板极点P：
① 可否使你的三角板两直角边分别经过点B与点C？若能，请你求出这时 AP的长；若不可以，请说明原因.
② 再次挪动三角板地点，使三角板极点P在AD上挪动，直角边PH 一直经过点B，另向来角边PF与DC的延伸线交于点Q，与BC交于点E，可否使CE=2cm ？若能，请你求出这时AP的长；若不可以，请你说明原因.
四、思想训练:
1、葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了抢夺雨露阳光，经常饶着树干回旋而上，它还有一手绝招，就是
它绕树盘升的路线，老是沿着短路线一回旋行进的。莫非植物也懂得数学吗？
假如阅读以上信息，你能设计一种方法解决以下问题吗？
假如树的周长为3 cm，绕一圈高升4cm，则它爬行行程是多少厘米？
假如树的周长为8 cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈高升多少厘米？假如爬行10圈抵达树顶，则树干高多少厘米?

1
1
1
2、在，△ ABC 中，Z ACB=90 °，
CD 1 AB 于 D,求证：2
2
2。

BC
AC
CD

D