线面垂直与面面垂直(学生版).docx

第3讲线面垂直与面面垂直
考试要求1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，B级要求；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题，B级要求.
知识梳理
1. 直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与一个平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面a互相垂直.
(2)判定定理与性质定理

文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平
面内的两条相交直
线都垂直，则该直线
与此平面垂直

Ub
anb = O "lu a
a"a
b"a
性质定理
两直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行

aU a
"a II bbUa
2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直三面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理

文字语言
图形表示
符号表示
判定
定理
一个平面经过另一个平面的一
条垂线，则这两个平面互相垂直

l! a
「"a!。
1。
性质
定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

山
aD|3=a
「"1! a
1!a
墅
诊断自测

1. 判断正误在括号内打“/或“》
（1）直线l与平面a内的无数条直线都垂直，则U a （）
（2）垂直于同一个平面的两平面平行.（）
（3假设两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（）
（4假设平面a内的一条直线垂直于平面。内的无数条直线，则a!。（）
2. 给出以下命题：
① 如果平面a!平面。则平面a内一定存在直线平行于平面。
② 如果平面a不垂直于平面。则平面a内一定不存在直线垂直于平面。
③ 如果平面a!平面Y平面。！平面y aH0=L则U平面Y
④ 如果平面a!平面。则平面a内所有直线都垂直于平面。
其中错误的命题是填序号）.
3. （2021 **卷改编）互相垂直的平面a。交于直线l假设直线m, n满足m II an!。给出以下结论：
① m II l ②m In；③n!l ④m !n.

其中正确的选项是填序号）.
4. （2021 **模拟）设0 ft Y为互不重合的三个平面，1为直线，给出以下命题:
① 假设all ft olL v则|31 Y
② 假设 olL v 0_L y 且 cxfl [3= 1,则 11 y
③ 假设直线1与平面OC内的无数条直线垂直，则直线1与平面OC垂直;
④ 假设OC内存在不共线的三点到|3的距离相等，则平面OC平行于平面。
其中真命题的序号为鸟出所有真命题的序号）.
5. 必修2P42习题16）在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点0,
（1暇设PA=PB = PC,则点0是aABC的一心.
（2 暇设 PA1PB, PB1PC, PC1PA,则点 0 是 aABC 的一心.
考点一线面垂直的判定与性质P
【例1】如图，在四棱锥P - ABCD中，PA1底面 朴
ABCD ,/i\\
:
AB 1AD , AC 1CD ,——
ZABC =60。，PA =AB =BC, E 是 PC 的中点.证明：
（1）CD 1AE；B（2FD _L平面 ABE.
规律方法（1）证明直线和平面垂直的常用方法有:①判定定理；②垂直于平面的传递性& II b, al d'bl ③面面平行的性质0
1 a all P'al [J；④面面垂直的性质（olL ft aD [3= a, 11 a, 1" P'll c^.
（2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性
质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的根本思想.
【训练1】（2021 **期末）如下列图，AB为圆0的直径，点D为线段AB ±一点,且 AD=：DB,点 C为圆 O 上一点，且 BC=，..."AC, PD 1 平面 ABC, PD=DB.
n
求证：PA1CD.
考点二 面面垂直的判定与性质
【例2】（2021 **卷）如图，三棱台DEF - ABC中，AB2DE, G, H分别为AC, BC的中点.
（1求证：BD II平面FGH ；
（2暇设CF1BC,AB1BC,求证：平面BCD 1平面EGH .
规律方法（1）证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.
（2）两平面垂直时，一般要用性质定理进展转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
【训练2】如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB 1平面ABC , PA1PB, M , N分别为AB, PA的中点.
（1）求证：PBI平面MNC ;
（2暇设AC=BC，求证：PA1平面MNC .
考点三平行与垂直的综合问题侈维探究）
命题角度一平行与垂直关系的证明

【例3-1】 （2021 **卷）如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，D,E分别为AB, BC的中点，点F在侧棱B1B 上,
JLBD1A F, A C 1A B.求证:1 1 1 1 1 1
⑴直线DE /平面A CF；(2呼面BDE1平面A C F.
规律方法 ⑴三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进展线线、线面、面面垂直间的转化.
(2庵直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
命题角度二平行垂直中探索性问题
为矩形，BC =CE,
'.VI
【例3-2】如下列图，平面ABCD _L平面BCE,四边形ABCD
点F为CE的中点.
(1)证明：AE II平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P,使
得PM 1BE假设存在，确定点P的位置，并加以证明；假
设不存在，请说明理由.
规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.
(2涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中*一个，也可以根据相似知识建点.
【训练3] (2021 *澜研)在如下列图的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD(3线段AC上是否存在点M,使EA II平面FDM假设存在，请说明其位置，并加以证明；假设不存在，请说明理由.
为等腰梯形，AB II CD , AC =«
,AB =2BC=2, AC 1FB.
(1)求证：AC 1平面FBC;
(2)求四面体FBCD的体积;
A
B

思想方法］
1. 证明线面垂直的方法：
(1线面垂直的定义：a与a内任何直线都垂直"al a
m , n"a m Dn = A
(2判定定理1：「「"l a
llm , lln
(3判定定理 2： a I b, al ab l a
(4)面面垂直的性质：al ft aD|3=l, a"a al l"al f；
2. 证明面面垂直的方法
(1利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2判定定理：a"a al伊alft
3. 转化思想：垂直关系的转化
［易错防范］
1. 证明线面垂直时，易无视面内两条线为相交线这一条件.
2. 面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易无视.
3. 面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.
4. 在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.
根底稳固题组
建议用时：40分钟)

一、填空题
1. （2021 *斓研）对于直线L m ,平面0 m "a则hLm 是EL oc成立的
条件从“充分不必要“必要不充分“充要“既不充分也不必要中选填一个
2. （2021 **四校联考）假设平面a |3满足od_ ft cxH |3= 1, P 6 a P"l,给出以下命题：
① 过点P垂直于平面oc的直线平行于平面0
② 过点P垂直于直线1的直线在平面0C内；
③ 过点P垂直于平面13的直线在平面0C内；
④ 过点P且在平面a内垂直于1的直线必垂直于平面|3
其中假命题为填序号）.
3. 如图，PA_L平面ABC, BC1AC,则图中直角三角形的/
个数为
4. 在正三棱锥底面为正三角形且侧棱相等）P - ABC中，
D, E分别是AB, BC的中点，有以下三个论断：①AC_L C
PB;②AC//平面PDE；③AB _L平面PDE.其中正确论断的序号为
5. （2021苏北四市联考）0 |3是两个不同的平面，L ni是两条不同的直线，U am " |3给出以下命题：
① all P'llm ;② olL P'l// m ;③m II d'U 0 ④ 1_L P'm II a
其中正确的命题是填序号）.
6. 如下列图，在四棱锥P - ABCD中，PA_L底面ABCD ,且底面各边都相等，M
是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD _L平面PCD （R要填写一
个你认为正确的条件即可）.p
7. （2021 **检测）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把^ABD和^ACD折成互相垂直的两个平面后，*学生得出以下四个结论：
① BD 1AC;
② ABAC是等边三角形；
③ 三棱锥D - ABC是正三棱锥；
④ 平面ADC _L平面ABC.
其中正确的选项是填序号）.
8. （2021全国II卷改编）0 |3是两个平面，m , n是两条直线，有以下四个命题:
① 如果 m In, m 1 a n // ft jziij olL 6
② 如果m 1 a n // a则m In；
③ 如果all ft m "a则m II 0
④ 如果m II n, all ft则m与oc所成的角和n与|3所成的角相等.
其中正确的命题有填序号）.
二、解答题
9. （2021 *斓研）如图，aABC和aBCD所在平面互相垂直，且AB = BC = BD =2,ZABC = ZDBC =120°, E, F, G 分别为 ACDC, AD的中点.
⑴求证：EF_L平面BCG；
（2）求三棱锥D -BCG的体积.
10. （2021 **模拟）如图，四棱锥P - ABCD中
底面ABCD是矩形，AB=2AD,PD_L底面ABCD
E, F分别为棱AB, PC的中点.
⑴求证:EF//平面PAD；
（2）求证：平面PDE 1平面PEC.
能力提升题组
健议用时：20分钟）
11. （2021苏、锡、常、镇四市调研）设m, n是两条不同的直线，a 0是两个不同的平面：
① 假设m In, n // a则m 1 q
② 假设m // ft fl a则m 1 q
③ 假设m 1 ft nl ft nl a则m 1 q
④ 假设 m In, nl ft gl a 则 m 1 a
上述命题中为真命题的是填序号）.
12. （2021 **师大模拟）如图，在正方形ABCD中，E, F分别是BC, CD的中点,
沿AE, AF, EF把正方形折成一个四面体，使B, C, D三点重合，重合后的点记
为P, P点在^AEF内的射影为0,给出以下结论:
①0是aAEF的垂心；②0是aAEF的内心；
③0是aAEF的外心；④0是aAEF的重心.
其中结论正确的选项是填序号）.
13. 如图，六棱锥P - ABCDEF的底面是正六边形，PA_L平面ABC, PA=2AB,则以下结论中：①PB1AE；②平面ABC 1平面PBC;③直线BC //平面PAE；

④ ZPDA =45°.
其中正确的有填序号）.
14. （2021 **卷）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA1CD , AD //BC , ZADC = ZPAB
1,
= 90。，BC =CD =2AD.尸
（1在平面PAD内找一点M,使得直线CM //平面 ]
PAB，并说明理由.1 '添
（2证明：平面PAB 1平面PBD.\昌