人教版数学八年级下册第十七章培优提高-勾股定理-单元培优练习试题.doc

人教版数学八年级下册第十七章培优提高 勾股定理 单元培优练习试题

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八下数学第十七章培优提升勾股定理单元培优测试
一．选择题〔共10小题〕
1．以以下各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是〔　　〕
A．2，3，4B．4，6，5C．14，13，12D．7，25，24
2．如图，是我校的长方形水泥操场，如果一同学要从A角走到C角，至少走〔　　〕
A．80米B．90米C．100米D．110米
3．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为〔　　〕
A．9B．8C．27D．45
4．以下命题中的假命题是〔　　〕
A．在△ABC中，假设∠A＝∠C﹣∠B，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，假设a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中假设∠A、∠B、∠C的度数比是5：2：3，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，假设三边长a：b：c＝2：2：3，则△ABC是直角三角形
5．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，假设以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为〔　　〕
A．2.5B．C．D．﹣1
6．如图，小强为测量某建筑物AB的高度，在平地上D处测得建筑物顶楼A的仰角为30°，沿DB方向前进16米到达C处，在C处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度大约是〔　　〕
A．16米B．22米C．32米D．42米
7．如图中，边长k等于5的直角三角形有〔　　〕
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有〔　　〕
A．4个B．6个C．8个D．10个
9．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于〔　　〕
A．B．C．D．无法确定
10．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．假设△DEB′为直角三角形，则BD的长是〔　　〕
A．2B．3C．5D．2或5
二．填空题〔共9小题〕
11．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，假设AB＝5，BC＝3，则CA＝　　．
12．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．〞写出它的逆命题：　　，该逆命题是　　命题〔填“真〞或“假〞〕．
13．如图，一根电线杆高8m．为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线．拉线工人发现所用线长为10.3m〔不计捆缚部分〕，则电线杆与地面　　〔填“垂直〞或“不垂直〞〕．
14．假设在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADC的度数是　　度．
15．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长均为1的正方形网络的格点上，BD⊥AC于D，则BD的长＝　　．
16．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在互相平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是　　．
17．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少必须要　　元钱．
18．△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则BC的长为　　．
19．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，依据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此持续，得OP2018＝　　，OPn＝　　〔n为自然数，且n＞0〕
三．解答题〔共6小题〕
20．如图，∠ABD＝∠C＝90°，AC＝BC，∠DAB＝30°，AD＝6，求BC的长．
21．一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
22．如图，这是水上乐园的一座滑梯，把滑道AD平放到地面上恰好和AB重合，假设BC＝4米，CD＝2米，求滑道AD的长．
23．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点．
〔1〕求证：DF＝GF；
〔2〕假设CF＝1，FD＝2，求BC的长．
24．如图，四边形ABCD的三边〔AB、BC、CD〕和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发〔A→B→D〕到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发〔D→C→B→A〕到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．
25．定义：假设三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．
〔1〕依据上述定义，“直角三角形是勾股三角形〞是真命题还是假命题；
〔2〕已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy＝2160，求x+y的值；
〔3〕如图，△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝1+，求证：△ABC是勾股三角形．

八下数学第十七章培优提升勾股定理单元培优测试
参照答案与试题解析
一．选择题〔共10小题〕
1．以以下各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是〔　　〕
A．2，3，4B．4，6，5C．14，13，12D．7，25，24
【解答】解：∵72+242＝49+576＝625＝252．
∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．
应选：D．
2．如图，是我校的长方形水泥操场，如果一同学要从A角走到C角，至少走〔　　〕
A．80米B．90米C．100米D．110米
【解答】解：因为两点之间线段最短，所以AC为从A到B的最短距离，
依据矩形的对边相等，得，BC＝AD＝80米，再依据勾股定理，得，AC＝＝100米．
应选：C．
3．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为〔　　〕
A．9B．8C．27D．45
【解答】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴依据图形得：2+4＝x﹣3，
解得：x＝9，
应选：A．
4．以下命题中的假命题是〔　　〕
A．在△ABC中，假设∠A＝∠C﹣∠B，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，假设a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中假设∠A、∠B、∠C的度数比是5：2：3，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，假设三边长a：b：c＝2：2：3，则△ABC是直角三角形
【解答】解：A、可得∠C为直角，故正确；
B、利用勾股定理逆定理可以得到该选项正确；
C、可得∠A＝90°，故正确，
D、可得等腰三角形，但得不到直角三角形，故错误，
应选：D．
5．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，假设以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为〔　　〕
A．2.5B．C．D．﹣1
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3，AD＝BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∵AM＝AC＝，OA＝1，
∴OM＝﹣1，
∴点M表示点数为﹣1．
应选：D．
6．如图，小强为测量某建筑物AB的高度，在平地上D处测得建筑物顶楼A的仰角为30°，沿DB方向前进16米到达C处，在C处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度大约是〔　　〕
A．16米B．22米C．32米D．42米
【解答】解：设AB＝x，
∵∠ADB＝45°，∠ACB＝30°，
∴BD＝AB＝x，BC＝AB＝x，
故可得BC﹣BD＝CD＝16，即x﹣x＝16，
解得：x＝8〔+1〕≈22，即建筑物AB的高度大约为22米．
应选：B．
7．如图中，边长k等于5的直角三角形有〔　　〕
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：如图1，k＝＝5；
如图2，k＝＝5；
如图3，k＝＝＝8；
如图4，k＝＝＝7．
应选：B．
8．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有〔　　〕
A．4个B．6个C．8个D．10个
【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，
即，有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，
即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4＝10个．
应选：D．
9．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于〔　　〕
A．B．C．D．无法确定
【解答】解：连接AP、BP、CP，设等边三角形的高为h
∵正三角形ABC边长为2
∴h＝
∵S△BPC＝
S△APC＝
S△APB＝
∴S△ABC＝
∵AB＝BC＝AC
∴S△ABC＝＝
∴PD+PF+PE＝h＝
应选：A．
10．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．假设△DEB′为直角三角形，则BD的长是〔　　〕
A．2B．3C．5D．2或5
【解答】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD＝DB′，AB′＝AB＝10．
如图1所示：当∠B′DE＝90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．
设BD＝DB′＝x，则AF＝6+x，FB′＝8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2＝AF2+FB′2，即〔6+x〕2+〔8﹣x〕2＝102．
解得：x1＝2，x2＝0〔舍去〕．
∴BD＝2．
如图2所示：当∠B′ED＝90°时，C与点E重合．
∵AB′＝10，AC＝6，
∴B′E＝4．
设BD＝DB′＝x，则CD＝8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2＝DE2+B′E2，即x2＝〔8﹣x〕2+42．
解得：x＝5．
∴BD＝5．
综上所述，BD的长为2或5．
应选：D．
二．填空题〔共9小题〕
11．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，假设AB＝5，BC＝3，则CA＝　4　．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB为斜边，三边满足BC2+CA2＝AB2，
又AB＝5，BC＝3，
则解得CA＝4．
故答案为4．
12．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．〞写出它的逆命题：　如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等　，该逆命题是　假　命题〔填“真〞或“假〞〕．
【解答】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．〞写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．
13．如图，一根电线杆高8m．为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线．拉线工人发现所用线长为10.3m〔不计捆缚部分〕，则电线杆与地面　不垂直　〔填“垂直〞或“不垂直〞〕．
【解答】解：∵62+82≠10.32，
∴电线杆，地面水平距离，拉线，不能构成直角三角形．
∴电线杆与地面不垂直．
故答案为：不垂直．
14．假设在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADC的度数是　90　度．
【解答】解：∵AB＝5cm，BC＝6cm，AD＝4cm，
又∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝6×＝3，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC的度数是90度．
15．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长均为1的正方形网络的格点上，BD⊥AC于D，则BD的长＝　　．
【解答】解：△ABC的面积＝×BC×AE＝2，
由勾股定理得，AC＝＝，
则××BD＝2，
解得BD＝．
故答案为：．
16．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在互相平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是　2　．
【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，
又∵∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE〔AAS〕，
∴BE＝AD＝3，CE＝2+3＝5，
在Rt△BCE中，依据勾股定理，得BC＝，
在Rt△ABC中，依据勾股定理，得AC＝＝2，
故答案为：2
17．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少必须要　612　元钱．
【解答】解：由勾股定理，AC＝＝＝12〔m〕．
则地毯总长为12+5＝17〔m〕，
则地毯的总面积为17×2＝34〔平方米〕，
所以铺完这个楼道至少必须要34×18＝612元．
故答案为：612．
18．△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则BC的长为　14或4　．
【解答】解：〔1〕如图，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得：
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
〔2〕钝角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得：
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得：
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
∴BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
故答案为14或4．
19．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，依据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此持续，得OP2018＝　　，OPn＝　　〔n为自然数，且n＞0〕
【解答】解：由题意得，OP1＝；
OP2＝；
OP3＝，
…
则OP2018＝，OPn＝，
故答案为：；．
三．解答题〔共6小题〕
20．如图，∠ABD＝∠C＝90°，AC＝BC，∠DAB＝30°，AD＝6，求BC的长．
【解答】解：在直角△ABD中cos∠DAB＝＝cos30°＝
∴AB＝×6＝3．
在直角△ABC中sin∠CAB＝＝sin45°＝
∴BC＝AB＝．
21．一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
【解答】解：∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15，
∴AB2+AD2＝BD2，
BD2+BC2＝DC2．
∴△ABD、△BDC是直角三角形．
∴∠A＝90°，∠DBC＝90°．
故这个零件符合要求．
22．如图，这是水上乐园的一座滑梯，把滑道AD平放到地面上恰好和AB重合，假设BC＝4米，CD＝2米，求滑道AD的长．
【解答】解：设AD＝x，
∵AD＝AB，CD＝EB＝2米，
∴AE＝x﹣2，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，即x2＝〔x﹣2〕2+42，
解得：x＝5，
即滑道AD的长度为5米．
23．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点．
〔1〕求证：DF＝GF；
〔2〕假设CF＝1，FD＝2，求BC的长．
【解答】〔1〕证实：如图连接EF．
∵AE＝ED，AE＝EG，
∴ED＝EG，
在Rt△EFD和Rt△EFG中，
，
∴△EFD≌△EFG，
∴FD＝FG．
〔2〕∵DF＝2，CF＝1，
∴CD＝AB＝3，
∵AB＝BG，FG＝DF，
∴BF＝BG+GF＝AB+DF＝3+2＝5，
在Rt△BFC中，∵∠C＝90°，BF＝5，CF＝1，
∴BC＝＝＝2．
24．如图，四边形ABCD的三边〔AB、BC、CD〕和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发〔A→B→D〕到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发〔D→C→B→A〕到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．
【解答】解：∵AB＝BD＝5厘米，动点P从A出发〔A→B→D〕到D，速度为2厘米/秒，
∴5秒时P点运动路程为2×5＝10〔厘米〕，
而AB+BD＝10厘米，
∴此时P与D重合．
∵AB＝BC＝CD＝5厘米，动点Q从点D出发〔D→C→B→A〕到A，速度为2.8厘米/秒，
∴5秒时Q点运动路程为2.8×5＝14〔厘米〕，
而DC+CB+BA＝15厘米，
∴Q在AB边上，且BQ＝4厘米，如图．
在△BPQ中，∵BQ＝4厘米，PQ＝3厘米，BP＝5厘米，
∴BQ2+PQ2＝BP2，
∴△BPQ为直角三角形，∠BQP＝90°，
∴∠AQP＝180°﹣∠BQP＝90°，
∴△APQ为直角三角形．
25．定义：假设三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．
〔1〕依据上述定义，“直角三角形是勾股三角形〞是真命题还是假命题；
〔2〕已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy＝2160，求x+y的值；
〔3〕如图，△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝1+，求证：△ABC是勾股三角形．
【解答】〔1〕解：“直角三角形是勾股三角形〞是假命题；理由如下：
∵关于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，
假设满足x2+y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形，
∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；
〔2〕解：由题意可得：，
解得：x+y＝102；
〔3〕证实：过B作BH⊥AC于H，如图所示：
设AH＝x
Rt△ABH中，BH＝，
Rt△CBH中，〔〕2+〔1+﹣x〕2＝4，
解得：x＝，
∴AH＝BH＝，HC＝1，
∴∠A＝∠ABH＝45°，
∴tan∠HBC＝＝＝，
∴∠HBC＝30°，
∴∠BCH＝60°，∠B＝75°，
∴452+602＝752
∴△ABC是勾股三角形．