2025届吉林省长春市高三11月质量监测（一）-数学试题（含答案）.docx

吉林省长春市 2024-2025 学年高三上学期质量监测（一）数学试卷
本试卷共 4 页．考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考
生信息条形码粘贴区．
2
3
.答题时请按要求用笔．
.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效．
4
5
.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
.
保
持
卡
面
清
洁
，
不
要
折
叠
，
不
要
弄
破
、
弄
皱
，
不
准
使
用
涂
改
液
、
修
正
带
、
刮
纸
刀
．
一
、
选
择
题
：
本
题
共
8
小
题
，
每
小
题
5
分
，
共
4
0
分
.
在
每
小
题
给
出
的
四
个
选
项
中
，
只
有
一
项
是符合题目要求的．
1
.一组数据 1，1，3，4，5，5，6，7 的第 25 百分位数是
A.1 B.2 C.3
D.6
2
.已知向量 a = (3,m),b = (m -5, 2) ，若 a ^ b ，则 m =
A.2
B.3
C.6
D.15
1
3
tana
tan b
3
.已知sin(a + b) = , sin(a - b) = ，则
的值为
5
5
A.-2
B.2
C.-3
D.3
4
.某学校科技创新小组准备模拟东风 31 弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单
位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数 y = alog3 x + b 来表示.已知飞行器发射后经
过 2 秒时的高度为 10 米，经过 6 秒时的高度为 30 米，欲达到 50 米的高度，需要（
A.15 B.16 C.18 D.20
）秒
u
uur 1 uuur uuur 2 uuur
5
.正四面体 ABCD 中， AP = AD, BQ = BC ，则异面直线 PQ 与 BD 所成角的正弦值为
3
3
3
6
5
2 5
5
A.
B.
C.
D.
3
3
5
6
.直线 x + 2y - 4 = 0 与直线3x + y -9 = 0 所成角是
A.30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
7
.为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，
采用样本量按比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生 40 人，
其平均数和方差分别为 2.5 和 1.65，抽取了四年级及以上学生 60 人，其平均数和方差分别为 1.5 和 3.5，
则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为
A.5
B.4
C.3
D.2

.已知定义在 (0,+¥)上的函数 f (x), f (x) 是 f (x) 的导函数，满足 xf (x) 2 f (x) 0 ，且 f (2) 4 ，则
¢
¢
-
<
=
8
不等式 (2 ) 4 0 的解集是
f
x
-
x
>
A. (0,1) B. (0, 2)
C. (1,+¥)
D. (-¥,1)
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
æ
è
π ö
.函数 f (x) = sinçwx - ÷(w > 0)的最小正周期为 π ，则
3 ø
9
π
æ
è
π ö
B. f (x) 与函数 y = cosçwx + ÷相等
6 ø
A. x = - 是 f (x) 的一条对称轴
1
2
æ
3 ù
æ
è
π ö
C. f (x) 在区间ç0, ÷上单调递减
4 ø
æ
è
π ö
D. f (x) 在区间ç0, ÷上的取值范围是ç-
2 ø
,1ú
2
è
û
0.已知等比数列{a }的公比为 q ，且 a =1，设该等比数列的前 n 项和为 S ，前 n 项积为T ，下列选项
1
n
5
n
n
正确的是
A. a + a … 2
B.当 q >1时，{an}为递增数列
3
7
C. Sn 单调递增的充要条件为 q > 0
D.当 q >1时，满足Tn >1的 n 的最小值为 9
1
1.2022 年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布 伯努
利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系 xOy 中，把到定点 F (-c, 0), F (c,0) 距离之积等于定
1
2
值
是
c
2
(c > 0)
的点的轨迹称为双纽线，已知点
P(x , y )是双纽线C
上一点，下列关于双纽线的说法正确的
0
0
c
c
A. PO 的最大值为 3c B.双纽线是中心对称图形 C. - „ y „
D. P 到 F , F 距离之和的最小值为 2c
0
1
2
2
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
2.已知公差不为 0 的等差数列{a }的前 n 项和为 S ，若 S = 3(a + a + a )，则 m = ______.
1
n
n
9
2
4
m

-

x
2
2
y
2
2
+
=1(a > b > 0) 的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，B 关于点 F 的对称点为
1
3.已知椭圆C :
a
b
B¢ .若过 A, B¢, F 三点的圆的半径为 a ，则C 的离心率为______.
1
4.若
( 3 + i)99 = x + yi
，则
x + 2y =
______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1
1
5.（13 分）已知函数
f (x) =
x
2
- ax + bln x 在 x =1处的切线平行于
轴.
x
2
（
（
1）求 a 与b 的关系；
2）若函数 f (x) 在[2,+¥) 上单调递增，求 a 的取值范围.
1
6.（15 分）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a,b,c,VABC 的面积记为 S ，已知
S
3csinC =
, sin B = 3sinC .
acos A
（
（
1）求 A ：
2）若 BC 边上的中线长为 1，AD 为角 A 的平分线，求 CD 的长.
1
7.（15 分）如图，在平行六面体 ABCD - A B C D 中，
1
1
1
1
AB = AD = AA = 2,ÐA AB = ÐA AD = ÐBAD = 60° .
1
1
1
（
（
1）求证：直线 AC ^ 平面 BDD B ；
1
1
1
2）求平面 A BD 与平面 BDD B 夹角的余弦值.
1
1
1
1
8.（17 分）某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指
标制定一个检测标准，需要确定临界值 c ，将该指标大于 c 的人判定为阳性（患病），小于或等于 c 的人判
定为阴性（未患病）．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率．
（
1）随机抽取男女各 500 人进行检验，采用临界值 c = 97.5 进行判定时，误判共 10 人（漏诊与误诊之

和），其中 2 男 8 女，写出 2´2列联表，依据小概率值a = 0.050 的独立性检验，能否认为误判与性别有
关？
（
2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：
指标
[95,100]
（100,105] （105,110] （110,115]
（115,120]
（120,125] （125,130]
患病者
频率
0
.01
0.06
0.17
0.18
0.2
0.2
0.18
(75,80]
(80,85]
(85,90]
(90,95]
(95,100]
(100,105]
指标
[70,75]
未患病
者频率
0
.19
0.2
0.2
0.18
0.17
0.05
0.01
假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
若漏诊率和误诊率同时控制在 2.5% 以内（小于等于 2.5% ），求临界值 c 的范围.
（
3）在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值 c 及 c 对应的误诊率和漏诊
0
0
率．
n(ad -bc)2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
附：
c
2
=
a
0
2
.100
.706
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
x0
10.828
19.（17 分）已知 F 为抛物线C : y
2
= 2px(p > 0) 的焦点，O
为坐标原点，过焦点
F
作一条直线l0 交C
于 A，B 两点，点 M 在C 的准线l 上，且直线 MF 的斜率为 -1,VOFM 的面积为 1.
（
（
1）求抛物线C 的方程；
2）试问在l 上是否存在定点 N ，使得直线 NA 与 NB 的斜率之和等于直线 NF 斜率的平方？若存在，求
出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；
（
3）过焦点 F 且与 x 轴垂直的直线l1 与抛物线C 交于 P，Q 两点，求证：直线 AP 与 BQ 的交点在一条定
直线上.

{
#{QQABDYaUggAoAAJAAAgCEQUQCkEQkgGAAQgGxBAAMAIBCANABAA=}#}

-

{
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