线性代数考试题库及答案(一).docx

线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练习
第一章行列式
一、单项选择题
1. 下列排列是5阶偶排列的是().
(A) 24315(B) 14325(C) 41523(D) 24351
2. 如果n阶排列jj j的逆序数是k,则排列jjj的逆序数是().
12 nn 2 1
n!n(n 1)
(A)k(B)n k (C)丁 k (D)-(V) k
2 2
3. n阶行列式的展开式中含a a的项共有（）项.

11
12

(A) 0

(B)n 2

(C) (n 2) !
(D)
(n 1) !
0 0 0
1

0 0 1
0
().

4.

0 1 0
0

1 0 0
0

(A) 0

(B) 1

(C) 1
(D)
2
0 0 1
0

0 1 0
0
().

5.

0 0 0
1

1 0 0
0

(A) 0

(B) 1

(C) 1
(D)
2

2x x1
1

6.在函数f
(x)
1 x 1
2
中x3项的系数是（
).

32x
3

0
1

(A) 0

(B) 1

(C) 1
(D)
2

a
a
a
2a a
a
2a
11
12
131
1113
11
12
7.若 D a
a
a —,则D
2a a
a
2a().
21
22
2321
2123
21
22
a
a
a
2a a
a
2a
31
32
33
3133
31
32
(A) 4

(B)4
(C) 2

(D)2
,,a a

a ka

8.若 1112
a ,
则 1222
().

a a

a ka

2122

1121

(A) ka

(B) ka
(C)k2a

(D)k2a

9. 已知4阶行列式中第1行元依次是4,0,1,3,第3行元的余子式依次为
(A) 0

(B)
3 (C) 3 (D) 2

8
7
4
3
10.若 D
6
2
1
3
1
：,则D中第一行元的代数余子式的和为(

4
3
7
5
(A) 1

(B)
2 (C) 3 (D) 0

3
0
4 0

11.若 D
1
0
1
1
1 1
0 0
，则D中第四行元的余子式的和为( ).

5
3
2 2

2,5,1,x,则 x ( ).
).

(C) 3
(D)0
0
x
1
x kx
23
齐次线性万程组
x
1
kx x
23
0有非零解.

kx
1
x x
23
0

(C) 3 (D)0

(A) 1(B) 2
12. k等于下列选项中哪个值时，
()
(A) 1(B) 2
、填空题
1. 2n阶排列24 (2n)13 (2n 1)的逆序数是.
2. 在六阶行列式中项a a a a a a所带的符号是 .
32 54 41 65 13 26
3. 四阶行列式中包含a22a4 3且带正号的项是^
4. 若一个n阶行列式中至少有n2 n 1个元素等于0 ,则这个行列式的值等于

1110

0 10 1
行列式

0 111

0 0 10

5.
6.
7.
8.
9.
01
20
行列式
0 n 1
n 0
行列式
a
11
a
21
a
1(n 1)
a
2 (n 1)
a
1n
0
.

a
0
0

n1

a
a a

a
a
3a
3a

11
12 13

11
13
12
12
如果D
a
a a
M
，则D
a
a
3a
3a
21
22 23

1
21
23
22
22

a
a a

a
a
3a
3a

31
32 33

31
33
32
32

已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所
有元素，则所得的新行列式的值为
10.
行列式
11.
n阶行列式
12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1
则该行列式的值为
13.设行列式D
1
5
4
8
2
6
3
7
3
7
2
6
4
8
1
5
%(j…3,4)为。中第四行元的代数余子式，
则 4A 3A
4142
2A
43
A
44
14.
已知D
D中第四列元的代数余子式的和为
15.设行列式D
A
41
A
42
12 3 4
3 3 4 4
15 6 7
112 2
A
43
A
44
6,七为气疽槌,3'4)的代数余子式，则

1
3
5
2n 1

1
2
0
0

16.已知行列式D
1
0
3
0
,D中第一行元的代数余子式的和为

1
0
0
n

x 0
3
0仅有零解的充要条件是
x 0
3
0
0有非零解，贝业=
0

x 2xx
123
18.若齐次线性方程组 2x5x
23
3x 2x kx
123

二
-_-、
计算题
a
b
a2
b2
1.

a3
b3
b c
da c d

c
d
c2
d2
c3
d3；
a b d
a b c

x y x y
2. y x y x
x y x y

3.

…0 0kx 2x
1 2
17.齐次线性方程组2x kx
12
x
12
x 解方程11 n 0；
x 1 1 01x10

x
a
a
a
1

1
2
n 2

a
x
a
a
1

1

2
n 2

a
a
x
a
1

4.
1
2

n 2

;

a
a
a
x
1

1
2
3

a
a
a
a
1

1
2
3
n 1

all 0
1 a 1
i
5. 1 1 a
2
111

1
1
1 (a 1, j 0,1, ,n); j
a
n
1111
3 1b11
6. 112 b1
111 (n 1) b

1
1
1

1

X
a
a
a

1
2
n

b
a
a

a

a
X
a
a

1
1
1

1

1

2
n

7.
b
b
a

a
；

8.
a
a
X
a
;

1
2
2

2

1
2

n

b
b
b

a

a
a
a
X

1
2
3

n

1
2
3

2
1
0
0
0

1
x2
xx

X X

1
2
1
0
0

1
12

1 n

x
x
1 X2

X X

0
1
2
0
0
9.
2
1
2

2 n
；

10.

x
x
xx

1 X2

0
0
0
2
1
n
1
n2

n

0
0
0
1
2

1
a
a

0
0
0

1 1
a

a
0
0

11.
D

0
1
1 a
a
0
.

0
0

1
1 a
a

0
0

0
1
1 a

四、证明题

1

1

a2
—
a
——
1

a2

a

L

1

b2

b

1

1.设 abcd
1,证明：

b2
1

b
1

0.

c2
—
c
—
1

c2

c

1

1

d2

d

1

商

d

a
1
b x
1
ax
1
b
1
c
1
a
1
b
1
c
1
a
bx
ax
b
c 1 X2)
a
b
c .
2
2
2
2
2
2
2
2
a
bx
ax
b
c
a
b
c
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1

a
b
c
d

(b a) c a)
(d
a)
c b)
a2
b2
c2
d2

a4
b4
c4
d4

2.
3.
d b) d c) a b
c d).

1
1
1

4.
a
1
a2
1
a
2
a2
2
a
n
a2
n
n a(a a).

an 2
1
an
1
an 2
2
an
2
an 2 n an
n
ij i
i 11 i j n

1 i i
0的充要条件是a
0.
5. 设a,b,c两两不等，证明a b c a3 b3 c3
参考答案
一. 单项选择题
ADACCDAB
二. 填空题
C D B
B
1. n ;2. “ " ；3. a
aaa ;
4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1)n 1n!;
14
22 31 43

n (n 1)

7.( 1) 2 a aa ; 8.
3M ; 9.
160; 10. x4; 11. ( n) n 1; 12. 2;
1n 2 (n 1)n1

13.0; 14.0; 15.12, 9; 16.n!l n 1); 17.k 2,3; 18.k 7
k
k 1
三.计算题
1. (a b c d) b a) C a) d a) C b) d b) d c); 2.2(x3y3)；
3. x 2,0,1;4. n 1(x a )
k
k 1
5.
n /
(a
k
k 0
1)1 n，)； a 1
k 0 k
6.(2
b)1
b)
(n 2)
b);
7.
(1)n n
k 1
(bk ak);
8. (x
n a )
k
k 1
n
k 1
(x a );
k

9.
n
1x
k
;
10. n
1;

k 1

11. 1 a) 1 a2 a4).
四.证明题略)
第二章 矩阵
一、单项选择题
1. A B为n阶方阵，则下列各式中成立的是 )
(a) A2 |A|2(b) A2 B2 (A B)A B)(c) (A B)A A2 AB
(d) (AB )t AtBt
2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时，
|A| 0 (c)方程组AX= 0有非零解
(a) AB =BA (b)
3.若A为n阶方阵
k为非零常数，
则 |kA|
B=C。
()。
(d) B、C可逆
(a)k|A|
(b)kllAl
(c)kn|A|
(d)|k|n|A|
4.设A为n阶方阵
且A 0,则(
)。
(a) A中两行(列)对应元素成比例
(c) A中至少有一行元素全为零 5.设 A ,
A中任意一行为其它行的线性组合
A中必有一行为其它行的线性组合
B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是(
(b)
(d)
)。
(a) (A
B) 1
(b) |(AB)t
(c) (A
1 B)t
lBl
(d) (A B)
6.设A为n阶方阵，A
为A的伴随矩阵，则(
)。
(a) (a) A*
(b) A*|A|
(c) A*
|A|n
(d) A* |A|n 1
7.设A为
3阶方阵，行列式|A|
1 , A*
的伴随矩阵，则行列式
(2A) 1 2A
)。
27
(a)—
8
(b)
8
27
27
(c) 27
8
(d)
8
27

8. 设A, B为n阶方矩阵，A2B2，则下列各式成立的是()。
(a) A B (b) A B (c) |A| |B|(d) |A|2 |B|2
9. 设A, B均为n阶方矩阵，则必有()。
(a) |A B| |A| |B| (b
)AB BA (c) |AB|
|BA|
(d) |A|2
|B|2
10. 设A为n阶可逆矩阵，
(a) |2A| 2 At
(c) [(A 1) i]t[(At )t ]
aaa
111213
11. 如果 A aaa
则下面各式恒正确的是()。
(b) (2A) 1 2A 1
1(d) [(At )t ] 1[(A 1)t ]t
a 3a a 3a a 3a
1131123213
aaa
33
,
则A
(
)。
212223
a a a
313233
(a) 0 0 0 (b)
2122
aa
3132
0 0 03 (c) 0 0
23
a
33
3
0，
(d)
1
0
0
1
0
0，
3 0 10 0 11 0
1 3 1
12. 已知 A 2 2 0，则()。
3 1 1
(a) At A(b) A 1
1 1 131
(c) A 0 0 12 0 2(d) 0 0 1
0 103 11010
13. 设A,B,C,I为同阶方阵，I为单位矩阵，若ABC
(a) ACB I (b) CAB I (c) CBA I
1
A *
1
A 2
3
I,则
(d)
0
1 3
0 2，
1 1
()。
BAC
3
I
1
14.设A为n阶方阵，且|A | 0,则()。

(a) A经列初等变换可变为单位阵I
(b) 由 AX BA ,可得 X B
(c) 当(A |I)经有限次初等变换变为(I IB)时，有A 1
(d) 以上(a)、(b)、(c )都不对
15. 设A为m n阶矩阵，秩(A) r m n ,则()。
(a ) A中r阶子式不全为零(b) A中阶数小于r的子式全为零
(c) A经行初等变换可化为Ir 0(d) A为满秩矩阵
0 0
16. 设A为m n矩阵，C为n阶可逆矩阵，B AC ,则()。
(a)秩(A)> 秩(B)(b)秩(A)=秩(B)
(c)秩(A)<秩(B)(d)秩(A )与秩(B )的关系依C而定
17. A , B为n阶非零矩阵，且AB 0,则秩(A)和秩(B)()。
(a)有一个等于零 (b)都为n(c)都小于n(d) 一个小于n, 一个等于n
18. n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。
(a) r (A) r n(b) A 的列秩为 n
(c) A的每一个行向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在
19. n阶矩阵A可逆的充要条件是()。
(a) A的每个行向量都是非零向量
(b) A中任意两个行向量都不成比例
(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
(d) 对任何n维非零向量X ,均有AX 0
二、填空题
1. 设A为n阶方阵,I为n阶单位阵且A2 I,则行列式叫
2. 行列式a 0 c
b c 0
101
(A 31) i (A2 91)
的值为
3. 设2A020,则行列式
1
1 史
4. 设A2 ,且已知A6 I,则行列式Au
方 1 "T 2
5. 设A为5阶方阵，A•是其伴随矩阵，且|A| 3,则A*
6•设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A•的秩为
a ba ba b
1 11 21 n
「』—乙 a ba ba b“ 八，
7.非零矩阵2 12 22 n的秩为
a b a b a b n 1 n 2n n
8. 设A为1阶矩阵，且对任何1维非零列向量X ,均有AX
为
9. 若A(a)为15阶矩阵，则AtA的第4行第8列的元素是
10. 若"方 阵 a 与 41 相 似, 则 A
1 2K
11. lim 2k K 1
K _
r ir
12. lim 0 11
n 3
三、计算题
1.解下列矩阵方程X为未知矩陶.
1)
2
2
3
2
2
0
1
0
2
0
1
3
1
1
1
2
0 X
1
3
0
2
2
；
2)
1
0
0
0
0..X
1
1
1
2
1
1
0
3
1
0
1
0
1
3)
X (I
B iC)tBt
I,其中B

101
4) AX A2 X I,其中 A020
101
；
4 2 3
5) AX A 2X ,其中 A 1 1 0
12 3.;
2.设A为n阶对称阵，且A2 0,求A.

1
1
0
3.已知A
0
2
1 ，求(A21) (A2 41) 1

1
0
1

1 2

3 40 01 2, A A
4.设A

.A
,A, A，求 a12
1
0 1
2
2 330 040 1A A

34 .

1 1
2

5.设A
2 2
4 .

求一秩为2的方阵B,使AB 0.

3 3
6

2 1 1
0 1
1
6.设 A 1 0 1 ,B
1 2
1 ,求非奇异矩阵C,使A CtBC .
1 1 0
1 1
0
7.求非奇异矩阵P,使P 1AP为对角阵.
1) A
2) A 13 1
2 01
8. 已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为 (0,0,b), (1,1,0), (2,1,1T)，求矩阵 A.
2
4，求 A1.
5
5 3
9. 设 A 64
44
四、证明题
1. 设A、B均为n阶非奇异阵求证AB可逆.
2. 设Ak 0 (k为整数)，求证I A可逆.
3. 设a.a ,...,a为实数，且如果a 0,如果方阵A满足
12kk
Ak a Ak 1 ... a A a I 0,求证A是非奇异阵. 1k 1 k
4. 设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA .
5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.
7. 证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.
8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴
随矩阵.
9. 证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.
10. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。
一:
13.
1.
b；
a； 14.a
2. b; 3. c; 4. d; 5.b;
6.d；7.a； 18.b; 19.d.
8.d；9.c；10.d；
11.b;
12.c;
;15
.a;
16.b; 17.c;
二.
1.
1 或-1；
2. 0
；3 —4 ；
；j.；
4. 1
；5
.81;
6.
0； 7. 1;
8. 1;
9.
15
a
a ；

i4
i8

i 1

0 2

10.
I;
12.
0;
11.
.

0 0

1

10
0

2
1

14
3

2
0
1
二
-_-、
1.1
）、
13
2
；
；2）、
2
3
；
;
3)、
15
；
3 ； 4
）、
0
3
；
0 ；

16
0

1
—
0

1 6
4

1
0
2

2

12

1
0

3
8
6

0
3
1

；
0 1

2
1

5 )
、
2
9
6
. 2
0；

1
3
1 ；

.
；3
.

;
0 0

1
2

2
12
9
；

0
1
04.
»

;

0 0

0
1

3
1
1

01
0

11

1
1

3
5.
1
1
1
不唯一；6.
10
0
；；7.
1 )、
1 1
.
11
2)、
2 1

1 ；

1
0
0

1

1 1

1
2

2

3
2
0

312( 21
1)
2
210(
)31
31 1

8.
1
0
0 ；
9.
2(21
31)
4
4
21
2( 31)
2(311).

1
1
1

2(31。。1)

2(1
31)
2( 31 ) 1