球的内切和外接问题PPT文档.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,球与多面体的内切、外接,球的半径,r,和正方体,的棱长,a,有什么关系？,.,r,a,1,二、球与多面体的接、切,定义,1,：若一个多面体的,各顶点,都在一个球的球面上,，则称这个多面体是这个球的,内接多面体,，这个球是这个 。,定义,2,：若一个多面体的,各面,都与一个球的球面相切,，则称这个多面体是这个球的,外切多面体,，这个球是这个 。,一、,球体的体积与表面积,多面体的,外接球,多面体的,内切球,2,正方体的内切球直径,正方体的外接球直径,与正方体所有棱相切的球直径,若正方体的棱长为,a,，则,a,3,图,3,图,4,图,5,4,长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半,设长方体的长、宽、高分别为,a,、,b,、,c,则对角线长为,a,2,+b,2,+c,2,5,设为,1,例,1,甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为,(A )A.1:2:3 B.C.D.,甲球为内切球直径,=,正方体棱长,图,3,图,4,图,5,6,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,中截面,正方,形,的对角线等于球的直径,=,.,球内切于正方体的棱,7,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,对角面,设为,1,球的内接正方体的对角线等于球直径。,球外接于正方体,8,有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比,_.,9,1,例,2,、正三棱锥的高为,1,，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,过侧棱,AB,与球心,O,作截面,(,如图,),在正三棱锥中，,BE,是正,BCD,的高，,O,1,是正,BCD,的中心，且,AE,为斜高,解法,1,：,O,1,A,B,E,O,C,D,作,OF AE,于,F,F,设内切球半径为,r,，则,OA=1,r,Rt AFO Rt AO,1,E,10,O,A,B,C,D,设球的半径为,r,，则,V,A-BCD,=,V,O-ABC,+V,O-ABD,+V,O-ACD,+V,O-BCD,解法,2,：,例,2,、正三棱锥的高为,1,，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,注意：割补法，,P,A,O,1,D,E,O,例,3,求棱长为,a,的正四面体,P ABC,的外接球的表面积,过侧棱,PA,和球心,O,作截面,则,截球得大圆，截正四面体得,PAD,，如图所示,G,连,AO,延长交,PD,于,G,则,OG PD,，且,OO,1,=OG,Rt PGO Rt PO,1,D,解法,1,：,A,B,C,D,O,求正多面体外接球的半径,求正方体外接球的半径,解法,2,：,13,球的内切、外接问题,5,、体积分割是求内切球半径的通用做法。,1,、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。,2,、正多面体的内切球和外接球的球心重合。,3,、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。,4,、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。,14,正四面体的三个球,一个正四面体有一个外接球，一个内切球和一个与各棱都相切的球。那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢？为了研究这些关系，我们利用正四面体的外接正方体较为方便。,正四面体的外接球即为正方体的外接球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心，在正四面体的高的一个靠近面的四等分点上，,15,16,