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数学教学活动设计

　 课时划分和确定课的类型、选择数学教学模式、设计课堂教学过程，这些对于数学课堂教学设计来说，是整体的设计。在完成整堂课的总体设计以后，还必须对数学教学过程中的每一个阶段、每一项具体教学活动进行设计。如导入设计、情境设计、提问设计、例题设计、练习设计、讨论设计和小结设计等。下面我们分别加以说明.
一、导入设计
　1。导入概述
　导入是在新的教学内容或教学活动开始前，引导学生进入学习状态的教学行为方式．它是课堂教学的序幕,也是课堂教学的重要环节。常言道：“良好的开端是成功的一半。"精彩的导入可以为整堂课的教学奠定良好的基础。
导入的功能主要表现在以下几个方面:
①引起学生注意，使学生进入学习情境。
　 ②激发学习兴趣和学习动机。
　　 ③明确学习目的,调动学生学习的积极性。
　 ④建立知识之间相互联系，为学习新的内容作好准备。
导入新课一般应遵循以下几个原则:
①明确目的。导入新课一定要围绕教学目标和教学内容,从学生实际出发。
　 ②短小精悍。导入新课要简洁明快、直截了当，达到目的即进入正题。切忌拖拉,影响新课的讲授．
③别致新颖。导入新课要有新意，才能引起学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲望。
案例 在讲“合并同类项”时,用考一考老师的活动引入．“请你任意说出一个一至两位整数考一考老师是否能很快地说出代数式-８1x2+6x+２x2-3x＋79ｘ2的值”,一改过去只有教师考学生的方式,充分调动了学生的参与积极性,激发了他们的求知欲,让学生在愉快的氛围中感悟知识的生成、发展和变化。
　　④因课制宜。导入新课要根据不同的教学内容采用不同的方法,具体情况具体分析.
2.导入的方法
数学课的导入方法多种多样,在进行课堂教学设计时,要根据教学的目标和内容灵活运用，常用的导入方法有以下几种:
　 　(1）实例导入.由于数学在生产和生活实际中有广泛的应用，很多数学概念、定理、公式和法则都来自于实践,与日常生产和生活有密切的联系，因此可以选取一些生动形象的实际例子来引入数学知识,既可以激发学生学习兴趣和学习动机，又符合学生从实践到理论、从感性知识到理性知识的认识规律。
　 例如,学习方差的概念,可以这样设计导入的：
　首先提出以下实际问题让学生思考：
　 某市农科所培育了“一品红ｌ号”和“一品红2号”两个柑桔新品种,对试种的两种桔树各抽10株进行统计,结果如下（单位:千克/株):
一品红l号
50
47
5l
5３
4７
50
53
47
53
49
一品红2号
5０
50
４９
50
４9
5２
50
５0
5０
49
①试求这两个新品种每株桔树的平均产量.
②从高产、稳产考虑,上述两个品种哪个优良？
学生无法比较，引导学生观察下列图形:

为了更清楚地进行观察,将以上两个图形改进为以下两个图形：

通过观察，发现两个品种产量的稳定性是不一样的,说明只用平均产量不能判定哪种品种好,还需了解产量的稳定性，有必要引入方差的概念。
（２)直观导入。在学习新课题之前,先让学生观察实物、标本、模型、图表；幻灯、投影或电影录像等,引起学生的兴趣,学生通过直观形象演示操作,感知数学知识，从而导入新课．
案例2-6　 数学课上通过纸板三角形三个角的剪贴让学生自己去发现结论—－三角形三内角之和等于1８０。,然后,教师对此结论进行研究,这就导入了新课；再如，在学习“二面角”时，让学生把书打开,使学生看到书两部分所成的角，对“二面角”有一个直接的感性认识，使这节课研究“二面角＂很方便。
例如,轴对称的概念的导入可以这样来进行设计：　
　 　教师出示如下图的三组教具,让学生观察并回答下列问题:
①每组中的两个三角形的形状、大小有什么关系？
　 ②每组中一个三角形通过怎样的运动,可以得到另一个三角形?
让学生进行具体操作,从一个三角形运动到另一个三角形.指
到.对称有两种：轴对称和中心对称,图4—7(b)是轴对称，从而引入
轴对称的概念。
(3)实验导入。教师设计一些带有启发性、趣味性的实验，通过
演示或让学生动手进行操作,揭示事物的发生、发展过程,或发现数
学的结论,由此导入课题.这种导入方法,既可以激发学生的思维活
动，又可以活跃课堂的气氛，产生很好的教学效果．
　例如,江苏省南京师范大学附中马明老师在教“球的体积”时,先
做一个实验：取一个半径为R的
到.对称有两种:轴对称和中心对称,图４—7(ｂ）是轴对称,从而引入
轴对称的概念。
　　（3)实验导入．教师设计一些带有启发性、趣味性的实验，通过
演示或让学生动手进行操作,揭示事物的发生、发展过程,或发现数
学的结论,由此导人课题。这种导入方法,既可以激发学生的思维活
动,又可以活跃课堂的气氛，产生很好的教学效果。
　 　例如，江苏省南京师范大学附中马明老师在教“球的体积”时，先
　 做一个实验:取一个半径为Ｒ的
到。对称有两种:轴对称和中心对称，图4—7(b)是轴对称，从而引入
　　 轴对称的概念.
（3)实验导入。教师设计一些带有启发性、趣味性的实验，通过
演示或让学生动手进行操作,揭示事物的发生、发展过程，或发现数
学的结论,由此导人课题。这种导入方法，既可以激发学生的思维活
动，又可以活跃课堂的气氛，产生很好的教学效果。
　　 例如，江苏省南京师范大学附中马明老师在教“球的体积”时，先
　 做一个实验：取一个半径为R的
出图4—7（ａ)可以通过平移得到，图４-7(ｂ）和４—7(c）可以通过对称得到．对称有两种:轴对称和中心对称，图４—7(b）是轴对称,从而引入轴对称的概念。

　 （3)实验导入.教师设计一些带有启发性、趣味性的实验,通过演示或让学生动手进行操作,揭示事物的发生、发展过程,或发现数学的结论,由此导人课题。这种导入方法，既可以激发学生的思维活动，又可以活跃课堂的气氛,产生很好的教学效果。
例如,江苏省南京师范大学附中马明老师在教“球的体积”时,先做一个实验:取一个半径为R的半球容器,再取半径和高都是R 的圆桶和圆各一个。把圆锥放 人圆桶内，再将半球容器装满细,然后把半球容器内的细沙倒入圆桶内,发现圆桶恰好被细沙装满(如图４—8）。可以得出

由此导入球的体积公式，下面进一步加以证明。
案例
　　　 在教“长方体和正方体的体积”时,我让学生把预先做好的8个1 cm.的正方体积木拿出来，让他们用这些小积木各自摆长方体和正方体.然后提出如下问题:①你摆成的长方体或正方体的体积是多少?你是怎样知道的？②你摆成的长方体或正方体的长、宽、高各是多少?你是怎样知道的？③体积的长、宽、高有什么联系?这样导入新课，能激发学生探索知识形成的全过程的兴趣．

(4）旧知识导人.这是常用的导人方法。在学习新知识前,先复习旧知识，在旧知识的基础上，引导学生提出问题、发现问题，从已知的领域进入未知的境界,从而引入新知识。
　 例如学习平行线分线段成比例定理时，先复习平行线等分线段定理，然后在此基础上提出：等分线段是两线段的比等于ｌ，如果两线段的比不等于l，可以得到什么结论?由此引入平行线分线段成比例定理。
＜5)悬念导人。悬念导入是利用一些暂时悬而未决的问题，与学生已有观念造成的认知冲突来导入新课的方法。这种导入方法使学生置身于认知矛盾之中，激起他们解决矛盾的强烈愿望,促使他们积极主动地学习新的数学知识。
例如在学习复数三角形式时，先让学生计算、,然后问学生等于多少？学生一下子无法回答,形成了一个悬念。这时教师就指出：如果学了复数三角形式，这个问题就迎刃而解了,于是引入了复数三角形式.
　 (6)类比导人。类比导入是通过比较两个数学对象的共同属性来引入新课的方法。已知的数学对象比较熟悉,新的数学对象通过与已知的数学对象类比,引入就比较自然。
　例如在进行分式基本性质教学时,可以先复习分数的基本性质，然后通过类比导入分式的基本性质。
(７）故事导入.中学生都爱听有趣的故事，在数学发展历史中有许多动人的故事,通过讲故事导入,可以使学生对所学内容产生浓厚的兴趣，激起强烈的求知欲望。而且很多数学故事还蕴含着数学思想方法，对培养数学意识、数学观念很有好处，同时又可以对学生进行思想品德教育,培养学生爱国主义精神。
　 　例如，在学习等比数列时,常常讲下列的故事:从前有一个国王，因为大臣有功而给予奖励，问大臣要什么奖励?大臣提出奖励的办法是：要求在国际象棋棋盘中每一格中放米，第l格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，以后每一格放的米粒数是前面一格的2倍,以此类推，一直放到第６4格。将这些米粒的总数奖给自己。国王很爽快地答应了，但是后来一算，不得了,全国粮仓中所有的米都奖给他还不够。你帮他算算看,为什么?这样引入等比数列,既生动有趣；又明白易懂.
案例
在讲无理数时，先讲故事:古希腊有一个很著名的数学学派叫毕达哥拉斯学派,他们视整数为神灵，认为数学中的一切现象都可以归结为“整数或整数之比”。因此当数学家希帕索斯发现单位正方形的对角线不能用整数表示时,引起了毕派的极大恐慌与震惊,他们竞残忍地将希帕索斯抛入了大海,为了一类新的数的发现，希帕索斯献出了自己的生命.再说:今天我们就学习这一类数——无理数。
二、教学情境设计
１，教学情境概述
　 教学情境是一种特殊的教学环境,是教师为了发展学生的心理机能，通过调动“情商”来增强教学效果而有目的创设的教学环境.也是教师根据教学目标和教学内容,创造出师生情感、欲望、求知探索精神的高度统一、融洽和步调一致的情绪氛围.建构主义学习理论认为：学习是学生主动的建构活动，学习应与一定的情境相联系,在实际情境下进行学习,可以使学生利用原有知识和经验同化当前要学习的新知识。这样获取的知识，不但便于保持，而且容易迁移到新的问题情境中去.创设教学情境,不仅可以使学生容易掌握数学知识和技能,而且可以“以境生情”，可以使学生更好地体验教学内容中的情感，使原来枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象、饶有兴味,并且受到思想品德教育。
　 2．教学情境的类型
教学情境的类型很多，在数学教学中应用较多的有以下几种：
(1)问题情境。教师提出具有一定概括性的问题,与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突,学生单凭现有数学知识和技能暂时无法解决，于是激起学生的求知欲望,形成一种教学情境。在教师的指导下，学生通过探索和研究解决问题。
　 (2)故事情境。教师通过讲数学知识发现的故事、有关数学家的故事创设教学情境，激发学生学习数学的求知欲望,使学生在听故事的过程中学习数学知识，接受思想教育。
　 例如在教等差数列求前n项和的公式时,常常讲高斯小时候计算1+２+3+……+100的故事。故事既能引起学生学习的兴趣，又体现了推导等差数列求前n项和的公式的思路。
　（３）活动情境。教师通过组织学生进行与数学知识有关的活动,构建教学情境，让学生在活动中提高学习数学的兴趣,掌握数学的知识。 　
例如在教利息计算时,可以开展模拟银行存贷款的活动。将班级分成几个小组，有的小组扮演银行角色,公布各档存贷款的利率。另一些小组扮演储户或借贷户角色。储户向银行存款,借贷户向银行借款,并且提出问题:向银行存或借一定数量的钱,并且知道存或借多少时间,要银行计算每笔存款或借款的利息.在活动一段时间以后,扮演银行和扮演储户或借贷户的两种角色相互交换。通过活动让学生掌握利息的计算。
在立体几何入门教学时,可以提出这样问题引导学生参与操作活动。用6要用长度相等的牙签或火柴搭正三角形,试试你最多能搭几个正三角形。这样以直观、巧妙的操作方式引导学生思维由平面向空间拓展,帮助学生建立起空间观念，引出立体几何研究的对象和目的。
　　 　(4）实验情境.有些数学教学内容比较抽象，学生不容易理解,教师设计与教学内容有关的实验,让学生通过观察和动手操作，在实验的情境中提高分析和解决数学问题的能力。 　
　 例如数学归纳法比较抽象,特别是学生对它为什么要有第二步不理解。可以设置下列实验情境；几十个骨牌一个紧挨着一个放在桌上，排列成弯弯曲曲的蛇形队列，用一只手指推倒第１个骨牌,紧接着第2个骨牌、第３个骨牌……依次都倒下。可以清楚地看到,要使每一个骨牌都倒下,除了第1个骨牌必须倒下以外,还必须有：如果前面一个骨牌倒下,那么后面一个骨牌就紧接着倒下。也就是必须要有当n=k成立时　，n=ｋ+1也成立。
　 又如在教有关浓度的问题时,可以设置实验情境。先在量杯中倒进溶剂,然后加进溶质，得到溶液。通过实验得到结论:溶质＝浓度×溶液。
(５）竞争情境。教师设计一些数学问题,将学生分成小组,创设小组之间进行比赛的情境，让学生之间开展竞争,比准确、比速度、比技巧。 　
例如在学习有理数运算时;可以设计有关的问题组织学生进行运算比赛,使枯燥的运算变成生动活泼的竞争,大大地提高了学生学习的主动性和积极性;
（6)猜想情境
新课标强调：学生的数学学习活动不应只限于概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。而提高学生的猜想能力是培养创造性思维的一个有效途经。
猜想情境：就是为学生设计环境条件,创造机会,引导学生在熟悉的旧知识中尝试探索、猜测、发现新知识的情境。
牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”
数学猜想包括直觉猜想、类比猜想、实验猜想.
学习“球的体积”可设计如下猜想情境:
１。提出问题:已知球的半径为R,则球的体积?
2。提供三个模型：目测体积:圆柱、半球、圆锥之间的体积关系。
3。猜测:
4。细沙实验-—验证猜想
5。构造参照物，证明猜想
6。得出定理
　3．数学问题情境的设计
(１）数学问题情境设计的原则;
　 ①问题要具体明确.这是问题情境设计最基本的原则。提出的问题必须目的明确，紧紧围绕教学目标，而且要非常具体。这样学生能理解问题的含义，才有可能来探索、思考和解决这些问题．　
　 ②问题要有新意。为了激发学生的求知欲望，提高学生学习的兴趣，在设置问题情境时,必须选择新颖的问题。
　 ③问题要有启发性。教师在深入分析教学内容和学生情况的基础上，根据教学目标，设计使学生的原有认知结构和新知识产生矛盾的富于挑战性的问题.
　 (2）数学问题情境设计的方法。数学问题情境设计的方法很多,这里介绍常用的几种．
　　 ①通过提出与新知识有关的实际问题，设置问题情境.教材中有些定理和公式往往直接提出，学生不知道为什么要学，而且也比较抽象不容易理解。这时教师可以设计一些与它们有关的实际问题构建教学情境,使抽象的内容具体化，使数学理论结合生活和生产实际。学生在解决实际问题的过程中学到了新的数学知识.
　 例如北大附中张思明老师在教基本不等式和时,先提出两个应用题,设置问题情境。

　 １)某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价.有三种降价方案：甲方案是第一次打p折销售,第二次打q折销售,乙方案是第一次打q折销售，第二次打p折销售;丙方案是两次都打 折销售，请问哪一种方案降价较多?
　 　 2)用一个有毛病（天平的两臂之长略有差异，其他因素忽略）的天平怎样称量物体的重量?有人说只要左右各称量二次,再相加后除以2就可以了，你认为对吗？
　　 通过解决这两个问题,引出基本不等式和 　
②通过从前面结论进一步引出没有解决的问题,设置问题情境。在学生掌握了某些数学知识的基础上，进一步提出更深入的问题让学生探索和研究,使学生经常处于“愤悱”的状态.
例如,在学习了基本不等式。和以后,进一步提出以下两个问题组织学生讨论；　
　 １)从这两个基本不等式出发,再可以发现和证明哪些有关实数a、b或更多实数的不等式？
2)若a，ｂ是正实数,且，试排列下面六个量大小的次序:

　　 ③通过实验设置问题情境.当学生的原有认知结构中已经具有学习新知识的预备知识，但新旧知识之间的逻辑联系还不容易被学生发现时,教师可以通过具体实验设置问题情境,让学生通过观察、画图、动手操作等实践活动,探索规律、提出猜想,然后通过逻辑论证得到定理和公式。
　例如,在教“不在一条直线上的三点确定一个圆”时,教师先发给每一个学生一张破碎了的圆形硬纸片,并且说：“机器上的皮带轮碎了,为了再制造一个同样大小的皮带轮，请你设法画出皮带轮对应的圆形。”接着让学生用圆规、直尺、量角器等比比画画，进行实验,探索问题的解法。然后在实验的基础上，设置问题情境:过不在一条直线上的三点可以画几个圆?
　 ④从同一问题通过不同推理和运算，产生形式上不同的结果,设置问题情境。
例如分解因式:。学生有两种解法,出现两种不同结果：

　比较这两种结果,教师提出问题:为什么有两种不同结果?是不是其中一个等式不成立?在排除了“其中一个等式不成立”的想法后,进一步提出猜想;

　 从而设置“能不能分解因式,如何分解?”的问题情境。
⑤从学生练习中发生的错误，设置问题情境。由于学生原有认知结构与新知识之间产生矛盾,因此练习中经常会产生各种错误,可以以此来设置问题情境。　 　
　 例如学生在解排列组合问题“生产某种产品100件，其中有2件是次品,现在抽取５件进行检查,其中至少有l件次品的抽法有多少种?”时,常常会产生以下的错误:
　 　 由于从2件次品中抽出1件有种抽法,再从余下的９9件中抽出4件有种抽法，因此共有种不同的抽法。
　 　　提出下列问题要求学生思考：
　　 １)这个解法是否有错误?
　　　 ２)如果有错误，错在哪里?应该如何解?

三、提问设计
数学课堂提问设计与实施，应是数学教师的基本功.下面是我们在课堂上记录下来的教师提问:
　 　在“对顶角相等”的教学中，一位老师提问：“相交线有什么性质？＂
　 　在讲“平行四边形”时，教师提问:“对角线互相平分是四边形为平行四边形的什么条件?”
　在讲梯形时,有位教师提问:“同学们，请考虑一下,圆的内切梯形是什么四边形?”
　　 一位教初中二年级的老师,在讲“有理数的乘法法则”时，首先要确定积的符号，于是同号为正，异号为负，再将绝对值相乘．这些都讲得十分到位。在得意之余，这位教师突然冒出一句:“同学们，你们想过没有，为什么‘负负得正’呢?”
　 以上的问题设计是否合理，问题的表述是否清楚,问题的答案是否确定，问题本身是否超越了学生的认知结构7

l提问概述
　 　 提问是教师根据教学内容的目的要求，以提出问题的形式,通过
师生相互作用,检查学习、促进思维、巩固知识、运用知识实现教学目
标的一种教学行为和方式.它是数学课堂教学的重要环节,是数学
教师与学生交流的一种重要方式.
　　提问具有以下几种功能：
(1）激励参与.通过思考问题,使学生对学习产生兴趣,将注意力吸引到所学习的内容上去,充分激发学生思维的主动性，积极参与教学活动.
半球容器,再取半径和高都是Ｒ
的圆桶和圆锥各一个。把圆锥放
人圆桶内,再将半球容器装满细
沙,然后把半球容器内的细沙倒
入圆桶内，发现圆桶恰好被细沙
　装满(如图4—8)。可以得出:做一个实验:取一个半径为R的
半球容器,再取半径和高都是R
的圆桶和圆锥各一个.把圆锥放
人圆桶内，再将半球容器装满细
沙，然后把半球容器内的细沙倒
　入圆桶内,发现圆桶恰好被细沙
　 (2)学会思维。教师的提问可以起示范作用，教会学生如何发现问题、提出问题。学生在分析问题和解决问题的过程中,学会如何进行比较、分析、综合、抽象、概括、演绎和归纳,从而学会思考问题的方法,提高思维的能力。 　　　
（3)检查反馈.通过提问可以检查学生是否掌握已学过的知识，及时得到反馈的信息,了解学生认知的状态，诊断学生的困难和问题,从而对教学过程进行调整，并对学生进行适当的指导。
　 （4)巩固强化。学生在回答问题的过程中，通过不断思考,巩固强化所学的数学知识和技能，提高综合运用的能力. 　
　 2．提问的类型 　
提问可以根据不同的要求进行分类；可按提问的目的或方式来划分,也可按问题的认知水平来划分。
这里我们根据问题的认知水平将提问分为六类：　
（1）回忆型提问．通过回忆以前学过的定义、定理、公式和法则,回答教师要求记忆的内容,让学生对已经学过的知识再现和确认．这种问题常常是本堂课新授内容的基础和预备知识，与新知识有密切的联系,为学习新知识提供条件。这类提问虽然认知层次比较低，但是对于学好新知识是非常必要的。：不过提问的数量要有所控制,特别是有些只需回答是或否的问题，更要严格加以限制。否则课堂上看来很热闹,但学生的思维深度不够。最近国内的一些研究资料指出:中学数学高密度的提问已成为课堂教学的重要方式,回答时间有的要占整堂课的一半以上,但是提问中记忆性问题居多，很少有批判性、创造性的问题.把可供探索的问题分解为较低认知水平的‘结构性’问答,组织化程度较高,有利于扫除教学障碍，但不利于学生主动性的发挥。
案例1３—1 复数三角式的求和问题
　　 求（CＯS　1°＋isiｎ 1°）+（CＯS　2°+isｉｎ　2°）+…+(COＳ 60°+iｓiｎ 60°）=?
　 　学生大部分都按复数加法法则来算,结果,进退维谷,陷入冷场。这时教师以较重的声音发问:复数“三角式"的乘法法则是什么？此题能否和数列联系起来？这一导向性的问题使学生茅塞顿开,悟出这是一个首项与公比都是(COＳ 1°+isin １°）的等比数列求和问题,于是得和为0。教师到此进一步提问:若把上题的加号改为乘号又有什么结果?学生又跃跃欲试，课堂气氛立即活跃起来。教师寥寥数语的点拨，引发了学生积极思维，取得良好的效果。
(２)理解型提问。这种提问要求学生对已知信息进行内化处理后,能用自己的话对数学知识进行表述、解释和组合，对所学的概念、定理等进行比较,揭示其本质区别.例如，在学习圆周角定义时，为了使学生理解概念的内涵：圆周角的顶点在圆上,角的两边分别都和圆相交。在黑板上画出如下的图形：

　(ａ) 　 　 （ｂ）　 　 (c)　 　 　 　（d） 　 　　 (e)

提问学生:试判断上述图形中的角是不是圆周角？要求学生在理解圆周角概念的基础上回答。(ａ）和(b)虽然角的两边都与圆相交，但顶点不在圆上,它们都不是圆周角。(c）和(d)虽然顶点在圆上,但角的两边不都与圆相交,它们都不是圆周角．（e)顶点在圆上,角的两边分别都和圆相交,它是圆周角。
　又如，为了使学生深入理解双曲线的定义,可以提出以下的问题:
　 ①将定义中的“小于”换为“等于”,其余不变,点的轨迹是什么？ 　 ,
　②将定义中的“小于换为“大于”，其余不变,点的轨迹是什么?
　 　③将定义中“差的绝对值是常数（小于”改为“差是常数（绝对值小于”，其余不变，点的轨迹是什么?
　 ④若这个常数等于零，其余不变，点的轨迹是什么?
(３）运用型提问。设置一个新的简单的问题情境,让学生运用新获得的知识结合过去学过的知识解决新的问题,这种提问称为运用型提问。这样的提问往往在学习新的概念、定理、公式和法则后进行。例如在学生学习了一元二次方程解法以后，给出各种类型的一元二次方程,提问学生，要求他们能口头回答,如何解这些一元二次方程。　
　(４)分析型提问.这种提问要求学生把事物的整体分解为部分，把复杂事物分解为简单事物,分清条件与结论,找出条件和结论之间的因果关系。例如,余弦定理教学，在△AＢC中,已知a、b和∠C,
如何求ｃ？首先将问题特殊化,把复杂问 　 　 　 A
题转化为简单问题。提问：如果∠C＝ 90°,
如何求c?再提问；如果∠Ｃ≠90°，怎么办?
可以将一般三角形分成两个直角三角形。进 　 C
一步提问,怎样分？在学生添出辅助线AD把 　 　 　 D 　 　B
△AＢC分成两个直角三角形AＣD和ＡBＤ后
进一步再提问：在Rt△ABD中,如要求c,先要求什么？回答是求ＡD和BD。已知BC＝a,要求BD只要求ＣD.接着再提问:在Rt△ACD中,已知∠Ｃ和AＣ＝ｂ,如何求AD和CＤ。最后提问:前面∠Ｃ是直角，这里∠C是锐角，如果∠C是钝角怎么样?一共要分三种情况进行讨论。
　(5)综合型提问．把事物的各个部分、各个方面、各种要素、各个阶段联结成整体,找出其相互联系和规律的提问.例如,在余弦定理推导结束后，可以提出还有没有其他方法可以推导余弦定理?还可以提出余弦定理有什么用处?正弦定理与余弦定理有什么区别和联系等问题,提高学生综合运用数学知识思考问题、解决问题的能力。 　
　　 （6)评价型提问.要求学生通过分析、讨论；评论、优选解法,对事物进行比较、判断和评价的提问。例如让学生判断和评价其他学生不同观点和不同解法的对错和优劣，并讲出理由。　 　
　　 提问的分类方法很多,如按提问的目的可以分为：引趣性提问、准备性提问、迁移性提问、探索性提问、引疑性提问、过渡性提问、巩固性提问、反馈性提问。按提问的方式可以分为:总括式提问、引导式提问、比较式提问、点拨式提问、归纳式提问等等．这里不再一一列举。
3．提问设计的原则
(1)目的性。课堂教学提问是为了实现教学目标，因此，必须紧紧围绕教学目标,有目的地设计提问。可以从以下几个方面来进行：　
　①根据教学的重点、难点设计问题;
　 　②选择教学的突破口设计问题；
　 　 ③在新旧知识连接点处设计问题;
　 　 ④在数学概念容易混淆处设计问题;
　 　⑤在教学内容总结处设计问题.
　　　例如，为了使学生理解正棱锥的概念，可以设计以下的提问:
　 　①棱锥各侧棱相等,各侧棱与底面所成的角也相等，试判断这个棱锥是不是正棱锥?为什么?
　　　 ②棱锥各侧棱与底面所成的角相等,各侧面上的斜高也相等，试判断这个棱锥是不是正棱锥？为什么? 　 　
　　 ③棱锥各侧面的面积相等，各侧面在底面上射影的面积也相等，试判断这个棱锥是不是正棱锥？为什么?
　④棱锥顶点到底面各顶点的距离相等，到底面各边的距离也相等，试判断这个棱锥是不是正棱锥？为什么?
⑤棱锥各侧面上的斜高相等,侧面的面积也相等,试判断这个棱锥是不是正棱锥?为什么？
　 ⑥棱锥各侧棱与底面所成的角相等,各侧面与底面所成的角也相等，试判断这个棱锥是不是正棱锥?为什么？　 　
(２）明确性。设计的问题要明确具体,表述要清楚。要使学生明确提问什么,思考什么,回答什么，而不是笼统模糊、模棱两可.　　
　 (3)启发性。提问要针对学生的旧知识和新知识的矛盾,提出对于学生来说既不是完全不知，又不是完全知道的问题,让学生借助已知去探索未知,启发学生思维。
（4)层次性.所提问题的难度要有一定的层次,既有认知水平较低的问题，又有认知水平较高的问题.一般可以设置以下各种层次的问题：　 　
① 学生参照已经学过的概念、定理、公式或例题,就可以回答的问题;
② 所提问题投有现有的模式可以模仿,但不过是现有模式的适当变化和改进, 　
　 　③要求学生能综合和灵活运用所学知识来回答的问题; 　
　　 ④要求学生能以自己特有的方式创造性地回答的问题。 　
　 (5）系统性。要按教材和学生认知发展的顺序，由浅入深,由易到难，由近及远,由表及里，步步深入，环环扣紧,设计一系列的问题链。各个问题之间内部密切联系,或并列或递进。例如命题教学中常常可以设计以下的问题:
　①提出要解决的问题。
　　②如何进行分析和探索?　
　　 ③条件和结论之间有些什么联系?　　
　 ④问题能不能简单化,特殊化？
　 ⑤如何进行证明？
　 ⑧还有什么方法可以证明?　
　 ⑦可以得到一些什么规律？
　⑧问题能不能推广到一般?
　 ⑨如果条件改变，结论会发生什伞变化?
　 　 如学习棱台的中截面面积公式,可以这样来提问题:
①设棱台的上、下底面的面积分别为S１、S2面面积。
　②猜想这个棱台的中截面面积等于什么?
　③将问题特殊化,如果是正四棱台，那么怎样来求它的中截面面积７　
④这个结果对一般的棱台成立吗？
　⑤能不能用另外的方法来解这个问题?
⑥这个问题如何一般化？ 　
　 (６)针对性。要根据学生的年龄、知识基础和能力来设计问题.问题难易要适当,提问要面向全体学生,要按班级中等水平设计问题，兼顾两头。要使问题处于学生能力的最近发展区,学生经过认真思考可以回答。　
　 四、例题设计
　 l。例题概述　
数学例题是帮助学生理解、掌握和运用数学概念、定理、公式和法则的数学问题,是教师用作示范的具有一定代表性的典型数学问题.它是把数学知识、技能、思想和方法联系起来的纽带，是对知识、技能、思想和方法进行分析、综合和运用的重要手段.例题教学是数学教学的重要组成部分,是抽象的概念、定理、公式和具体实践之间的桥梁，是使学生的数学知识转化为数学能力的重要环节。它具有以下几项功能：
(1）引入新知识.数学中的概念、定理、公式一般都比较抽象,学生不容易理解，也不知道为什么要学习它们。通过例题引入，比较生动、具体，容易引起学生学习的兴趣,激发学生的学习动机.在例题的基础上,通过抽象、概括、归纳、演绎得出概念、定理和公式。
　 　(2)解题示范。通过例题示范,让学生在模仿的基础上，掌握解决问题的思路、方法,学会分析、语言表达和书写格式。在例题学习过程中,通过潜移默化的影响，学生逐步学会数学思维，领会数学的思想方法。
（３）加深理解。在初学概念、定理和公式时，学生对它们还只是初步的理解。通过例题的学习，在运用概念、定理和公式解题的过程中,逐步加深对数学基础知识的理解和基本技能的掌握。
　 (4)提高能力。通过例题的分析和解题策略的教学，进一步提高学生数学思维能力和解决问题的能力。具体表现为:善于运用某种方法和手段改变问题情境的能力,善于构思新的解题方法的能力,善于将数学方法进行迁移的能力.
2．例题设计的原则
　 （1）目的性。设计例题首先必须明确目的，为教学目标服务。
有的是为了引入概念,有的是为了推导某一个公式,有的是为了说明定理和法则的运用，也有的是为了强调解题格式和书写规范，还有的是为了体现某种数学思想方法。教师要根据不同的目的选择不同的例题。
　（2)典型性。要选择典型的、有代表性的问题作为例题，通过教学能举一反三、一题多解、一例多用、由例及类、由此及彼、触类旁通.通过示范让学生掌握解题的一般方法和规律。
(3）启发性。选择例题还要注意富于启发性,要选择那些有利于启发学生思维,有利于创造条件让学生自己去发现的问题作为例题，引导学生对问题进行探索，进行多角度、多方向的分析与思考．
(4)科学性。这是设计例题最基本的原则,所设计的例题必须是正确无误的，条件必须是充分的、不矛盾的,题目的叙述必须是明确清楚的，题目的要求必须是切实可行的.
（5）变通性。设计例题还要注意能够一题多变,通过变化条件、变化结论、纵向引申、横向拓展，开拓思维途径和思维空间.
　 (6）有序性.例题的编排在内容和要求上要注意循序渐进,由浅人深、由易到难、由简单到复杂。如果例题之间跨度太大，就要选择适当的问题填补空隙。
　 ３．例题设计的步骤
　 (1）例题的选择。通过对教材的分析,知道了教材中例题的数量和要求，然后对照教学目标和学生实际情况,考虑需要补充哪些内容和要求的例题。再根据上述例题设计的原则,在数学教学参考读物和习题中，集中选择适当的数学问题作为补充例题.
（2）例题的编制。有时根据伪题设计的要求,暂时找不到现成的、合适的数学问题,这时就需要自编或改编,常用的方法有以下几种:
①类比。运用类比的方法对原题的条件和结论进行改编,得到的新题的结构与原题类似。例如:
原题：在等差数列｛ }中，若，则有等式成立.
新题:在等比数列{　}中,若,则有等式成立.
　 　②特殊化或一般化。将原来题目中一般的结论赋以特殊的值可以得到新的题目.例如：
原题;长方体的对角线与其过一个端点的三个面所成的角分别为,则
　 新题：长方体的对角线与其过一个端点的两个面所成的角都为30°,求它与过同一端点的第三个面所成的角.
　 　　将原来题目中特殊的结论一般化可以得到新的题目。例如，
　 　原题：已知,求证: 　
新题:已知,求证：。
　 　③引申和拓展。根据原题的已知条件，将原有结论作进一步的引申，得到新的结论。或者保持原来题目的要求不变，改变题目的条件,得到新的问题。也可以通过对原题不同角度的联想,同时改变题目的条件和结论,得到新的问题。
原题；把一段半径为R圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？
新题1:把一段半径R的半圆锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法才能使横截面的面积最大?
　 新题2:把一段半径为R,圆心角为90°的扇形木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法才能使横截面的面积最大?
　新题3：把半径为R的木球锯成正四棱柱的木料,怎样锯法才能使它的体积最大?
　 新题４:把半径为R的木球锯成圆柱的木料,怎样锯法才能使它的体积最大?
④倒推。由题目预期的结果出发倒推，寻求实现结果的条件，
编出新题。
例如要求设计一道实数ａ、b、ｃ组成等差数列的题目。
　　 由。A-b=b—c有（ａ—b)—（ｂ-ｃ）＝０，
[(a—ｂ)-（b—c）]2=０,(a—c)2=[(ａ—ｂ）+(b-c）]2=

五、练习设计
　1．练习概述
数学练习是一种有目的、有组织、有指导的数学学习实践活动，是学生将所学的数学知识转化为数学技能、技巧,形成数学能力的重要途径和手段．通过练习可以使学生从不会到会,从不熟练到熟练.
数学练习有以下几项功能：
① 使学生进一步加深理解和掌握数学知识和技能。　
② 提高学生的数学思维能力和分析问题解决问题的能力。
　 ③ 促进知识的迁移，提高学生的数学应用能力。
　 　④ 有助于及时反馈信息,让教师了解学生学习的情况,检查教学效果，及时纠正学生的错误。
2.练习的类型
根据练习在数学课堂教学中的作用，可以分为以下几种类型：
〈1）准备性练习。为了引入新课,学习数学新知识，需要通过练习复习原有的数学知识。这种练习是新旧数学知识之间的桥梁,既为新知识作铺垫，又能激发学生求知欲望。
　 　例如，学习数的平方根时,可以先让学生进行求数的平方的练习,计算：42；（一4）2;。通过练习既复习了数的平方的知识,又为引出数的平方根作好准备。
　 （2)理解性练习。在数学概念教学中,为了使学生正确