高考北京文科数学试题及答案word解析版.docx

2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷)
数学(文科）
第一部分(选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）【2013年北京,文1，5分】已知集合，,则（ ）
（A) （B） (C) （D）
【答案】B
【解析】,故选B．
（2）【2013年北京,文2，5分】设，，，且，则（ ）
（A） （B） (C） （D)
【答案】D
【解析】：A选项中若小于等于0则不成立,B选项中若为正数b为负数则不成立，C选项中若，均为负数则不成立，故选D．
（3）【2013年北京，文3，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ )
（A） （B) （C） (D）
【答案】C
【解析】A选项为奇函数，B选项为非奇非偶函数，D选项虽为偶函数但在上是增函数,故选C．
(4）【2013年北京，文4，5分】在复平面内,复数对应的点位于（ )
(A）第一象限 (B)第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【答案】A
【解析】，其在复平面上的对应点为,该点位于第一象限，故选A．
（5)【2013年北京,文5，5分】在中，，，，则（ ）
（A） （B） (C） （D)
【答案】B
【解析】根据正弦定理,,则,故选B．
（6）【2013年北京，文6，5分】执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
（A）1 （B) （C) (D）
【答案】C
【解析】依次执行的循环为，；,;,，故选C．
（7）【2013年北京，文7，5分】双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ )
（A） （B） （C） （D)
【答案】C
【解析】该双曲线离心率,由已知，故，故选C．
（8）【2013年北京，文8，5分】如图,在正方体中，为对角线的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有（ ）
（A)3个 （B)4个 （C）5个 （D）6个
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为a．建立空间直角坐标系，如图所示．则,,,，，,,，，则
，，
，，
，，故共有4个不同取值，故选B．
第二部分(非选择题 共110分）
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
(9）【2013年北京，文9，5分】若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 ．
【答案】2;
【解析】根据抛物线定义，∴，又准线方程为．
（10）【2013年北京,文10,5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ．
【答案】3
【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式
，故该棱锥的体积为3．
（11）【2013年北京，文11,5分】若等比数列满足，，则公比 ；前项
和 ．
【答案】2；
【解析】由题意知．由，∴．∴．
（12)【2013年北京，文12，5分】设为不等式组所表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】区域表示的平面部分如图阴影所示:根据数形结合知到的距离最小值为
到直线2x-y=0的距离．
(13）【2013年北京，文13，5分】函数的值域为_______．
【答案】
【解析】当时,,即,当时，，即；故的值域为．
（14)【2013年北京，文14,5分】向量，,,若平面区域由所有满足(，）的点组成，则的面积为 ．
【答案】3
【解析】,，．设，则．
∴得,∵，，可得，如图．
可得，，，，
两直线距离，∴．
三、解答题：共6题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）【2013年北京，文15，13分】已知函数．
(1)求的最小正周期及最大值；
（2）若，且，求的值．
解：（1)
所以,最小正周期,当，即时,．
（2）因为，所以,因为，所以，
所以，即．
（16）【2013年北京，文16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（2）求此在在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
解：(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，
所以此人到达当日空气质量优良的概率是．
（2)解法一:
根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或
5日，或7日,或8日"．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为．
解法二:
此人停留的两天共有13种选择，分别是:，，,，，，，，
，，,，，其中只有一天重度污染的为，，，，
共4种，所以概率为．
（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
（17）【2013年北京,文17,14分】如图，在四棱锥中，，，
,平面底面，，和分别是和的中点，求证：
（1)底面；
（2）平面；
（3)平面平面．
解：（1）因为平面底面,且垂直于这两个平面的交线，底面．
（2）因为，,为的中点，所以,且．所以为平行四边
形．所以．又因为平面，平面，所以平面．
（3）因为,而且为平行四边形，所以，．由（1)知底面，
所以．所以平面．所以．因为和分别是和的中点，
所以．所以．所以平面．所以平面平面．
(18）【2013年北京,文18,13分】已知函数．
（1)若曲线在点处与直线相切,求与的值；
（2）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围．
解：(1）因为曲线在点处与直线相切，所以，．
解得，．
(2）解法一:
令，得．与的情况如下：

0

-
0
+

1

所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增，是的最小值．
当时,曲线与直线最多只有一个交点；
当时,，，
所以存在,，使得．由于函数在区间和上
均单调，所以当时曲线与直线有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线与直线有两个不同交点，那么的取值范围是．
解法二：
因为，所以当时,单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最小值，所以的取值范围是．
（19)【2013年北京，文19，14分】直线,:相交于,两点，是坐标原点．
（1)当点的坐标为,且四边形为菱形时，求的长；
(2）当点在上且不是的顶点时，证明四边形不可能为菱形．
解：(1)因为四边形为菱形，所以与相互垂直平分．
所以可设,代入椭圆方程得，即．所以．
（2）解法一:
假设四边形为菱形．因为点不是的顶点，且，所以．由，
消并整理得．设,，
则，．所以的中点为．
因为为和的交点，且,,所以直线的斜率为．
因为，所以与不垂直．所以四边形不是菱形，与假设矛盾．
所以当点不是W的顶点时,四边形不可能是菱形．
解法二:
因为四边形为菱形，所以，设，则，两点为圆与
椭圆的交点，联立方程,得，所以,两点的横坐标相等或
互为相反数．因为点在上，若，两点的横坐标相等,点应为椭圆的左顶点或右顶点．不
合题意．若,两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点．不合题意．
所以四边形不可能为菱形
（20）【2013年北京，文20，13分】给定数列，，，．对，该数列前项的最大值记为，后项，，,的最小值记为，．
(1）设数列为，，,,写出，，的值；
（2）设,，，()是公比大于的等比数列,且,证明，,，是
等比数列；
（3）设，,,是公差大于的等差数列，且，证明,，，是等差数
列．
解:（1），,．
(2）因为，，，()是公比大于的等比数列，且，所以．
所以当时，，所以当时,
，所以,，，是等比数列．
（3）解法一：
若，,，是公差大于的等差数列,则，
,，，应是递增数列,证明如下:
设是第一个使得的项,则，，所以,与已
知矛盾．所以,，，，是递增数列．
再证明数列中最小项，否则（），则
显然，否则，与矛盾；
因而，此时考虑,矛盾，因此是数列中最小项．
综上,,，也即，,，是等差数列．
解法二：
设为公差．对,，，．
又因为，所以．从而是递增数列．
因此．又因为，所以．因此．
所以．所以．
因此对都有，即是等差数列．
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