资源描述
2
025 届高三期中学业质量监测试卷
数学
注意事项：
1
2
.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写
在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.
3
.本卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并
交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
2
m -i
+3i
ÎR ，则实数
m =
1
．已知复数
（
）
3
2
2
3
3
2
A．-
B． -
C．
D．
2
3
2
．已知集合 A = {0,1, 2, 3, 6}, B = {x x -1Î A}，则ðA (AÇB)= （
）
A．{0, 6}
B．{3, 6}
C．{-1, 5}
D．{0,1, 2}
3
．在V ABC 中， tan A = 2 ， tan B = 3，则C = （
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．135°
=
-
2
4
5
．函数 f (x) x(x 3) 的极大值为（
）
A．-4
B．0
C．1
D．4
．在三棱锥 P - ABC 中，PA = PB = AB = AC = BC = 2，PC 与平面 ABC 所成角的大小为60°，
则 PC = （
）
A．1
B． 2
C．
D．2
3
æ
è
π ö
3 ø
6
．曲线 y = 2sin x 与 y = sinç x - ÷的交点中，与 y 轴最近的点的横坐标为（
）
π
5π
5
π
π
6
A． -
B． -
C．
D．
6
6
6
uuur uuur
uuur
uuur
．在YABCD 中，uuuur
uuur uuur
，
，AP = xAB + (1- x)AD ，xÎR .若 AP∥MN ，则 x =
7
=
=
AM MB BN 2NC
试卷第 1页，共 4页
（
）
1
3
7
4
7
2
7
A．
B．
C．
D．
7
8
．在正四棱柱 ABCD - A B C D 中， AA = 3AB ，P 是线段CC 上靠近 C 的三等分点，过点
1
1
1
1
1
1
C 与直线 PA 垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（
）
3
2
5
2
A．
B．2
C．
D．3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
g
9
．在空间中，设a,b,c 是三条直线，a ，b ， 是三个平面，则下列能推出 a / /b 的是（
）
A．a ^ c ，b ^ c
B． a / /a ， a Ì b ，a I b = b
C．a ^ g ， b ^ g ，a
Çg = a
，
b Ig =
b
D．a Ç b = a ，a Ig = b ， b Ig = c ， a / /c
1
0．已知函数 f (x)= cosx cos 2x ，则（
）
æ
è
π
ö
ø
A． f (x)的最大值为 1
B．ç ,0÷是曲线 y = f (x)的对称中心
2
æ
è
π ö
C． f (x)在ç0, ÷ 上单调递减
2 ø
D． f (x)的最小正周期为2π
1
1．设 f (x)为 R 上的增函数，满足：f (1+ x)+ f (1- x)= 2 ，f (2 + x)+ f (2 - x )= 4 ，则（
）
A． f (3)= 3
B． f (x)为奇函数
C．$x Î R ， f (x )= x +1
D．"xÎR ， (
f ex+1 - f x ³ 2
)
( )
0
0
0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
é
ë
p 5p ù
ú ，则
1
2．已知函数 f (x) = sin(wx +j) (w > 0,0 <j <p )的一个单调减区间为 ê-
,
12 12 û
w
=
，j =
.
y = ln x 上的两点 A，B 满足OA ^ OB ，线段 AB 的中点
1
3．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线
M 在 x 轴上，则点 M 的横坐标为
.
uuur uuur
1
4．已知圆 O 的半径为 2，点 A，B 在圆 O 上，点 C 在圆 O 内，且 AB = OC =1，则 AB× AC
的最小值为
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
试卷第 2页，共 4页
骤.
1
5．已知 a，b，c 分别为V ABC 的内角 A，B，C 的对边，且acosC + 3asinC = b +c .
(1)求 A；
(2)若V ABC 的面积为 3 ，周长为 6，试判断V ABC 的形状.
1
6．设抛物线C : x2 = 4y 的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 C 上，记 P 在 l 上的射影为 H.
(1)△PFH 能否为正三角形?若能，求点 P 的坐标；若不能，请说明理由；
(2)设 C 在点 P 处的切线与 l 相交于点 Q，证明：ÐPFQ = 90° .
1
7．如图，在三棱锥 P - ABC 中，PA ^平面 ABC ，D 是 AC 的中点，平面 PBD ^平面 PAC ，
且 AB = AC = AP = 2 .
(1)求点 A 到平面 PBD 的距离；
(2)求平面 PAC 与平面 PBC 的夹角的正弦值.
1
8．已知函数 f (x)= x2 + acos x ，其中 aÎR .
æ
π
æ π öö
(1)若曲线 y = f (x)在点ç , f ç ÷÷ 处的切线过原点，求 a；
è 2 øø
è
2
(2)当a = 1时，证明： f (x)³ x +1-sin x ；
(3)若 f (x)在[0, π]上单调递增，求 a 的取值范围.
9．如果数列 a ，a ，a ，…，
a
m
（
m ³ 4）是首项为 1，各项均为整数的递增数列，且任
1
1
2
3
意连续三项的和都能被 3 整除，那么称数列 a ，a ， a ，…，
a
m
是
P
m
数列.
1
2
3
(1)写出所有满足 a = 7 的 P 数列；
4
4
(2)证明：存在 P4 数列是等比数列，且有无穷个；
(3)对任意给定的 a (a ³t )，都存在 a ， a ，a ，使得数列 a ， a ，a ， a ，a 是 数列，
P
5
5
5
2
3
4
1
2
3
4
5
试卷第 3页，共 4页
求整数 t 的最小值.
试卷第 4页，共 4页
1
．B
【分析】根据复数的除法运算结合复数的概念运算求解即可.
2
m -i
+3i ( + )(m+ ) 2 m-3 3 m+ 2
3i
2
i
=
=
+
i，
【详解】因为
(
m -i m + i
)(
)
+1
+1
m
2
m
2
2
m -i
+3i
2m -3 3m + 2
ÎR ，即
+
iÎ R ，
若
m
2
+1
m
2
+1
3
m + 2
2
= 0，解得m = -
可得
.
m
2
+1
3
故选：B.
2
．A
【分析】利用交集、补集的概念计算即可.
【
详解】由题意可知 B = {1, 2,3, 4, 7}，所以 AI B = {1, 2,3}，则 ðA (AI B) = {0, 6} .
故选：A
．B
分析】根据正切函数单调性可知
可得结果.
3
æ
è
π π ö
3 2 ø
æ
è
π
ö
A,B Îç ,
C Îç0,
【
÷
，即
÷
，结合两角和差公式求 tanC
即
3 ø
æ
è
π π ö
3 2 ø
A,B Îç ,
【详解】因为 tan A = 2 > 3 ， tan B = 3 > 3 ，可知
÷
，
æ
è
π ö
3 ø
C = π - A+ B Îç0, ÷
(
)
则
，
tan A+ tan B
- tan A×tan B
π
4
且 tan C = -tan (A+ B )= -
=1 ，所以C =
.
1
故选：B.
4
．D
分析】求函数 ( )的导数，求解
(x)< 0以及
'
(x)> 0，得到函数 f (x)的单调区间，
f x
f
'
f
【
判断极大值点代入，从而求出极大值.
(x) (x 3) 2x(x 3) 3(x 1)(x 3)，
=
-
2
+
-
=
-
-
【详解】解： f
'
(x)< 0，则1< x < 3，令 f
'
(x)> 0，则 x <1或 x > 3，
令
f
'
所以 ( )在
(-¥,1)上单调递增，在(1, 3)上单调递减，在(3,+¥)
f x
上单调递增，
所以 ( )在
x =1处取得极大值 f (1)= 4 .
f x
故选：D
答案第 1页，共 15页
5
．C
分析】取 AB 的中点 D ，可证平面 ABC ^ 平面 PCD ，结合面面垂直的性质可知点 P 在平面
ABC 内的投影落在线段CD 内，即ÐPCD = 60° ，即可得结果.
【
【详解】取 AB 的中点 D ，连接 PD,CD ，
因为 PA = PB = AB = AC = BC = 2，则 PD ^ AB,CD ^ AB,PD = CD = 3 ，
且 PDÇCD = D， PD,CD Ì 平面 PCD，可得 AB ^平面 PCD，
又因为 AB Ì 平面 ABC ，所以平面 ABC ^ 平面 PCD，
且平面 ABC I平面 PCD = CD，
由面面垂直的性质可知：点 P 在平面 ABC 内的投影落在直线CD 上，
且 PD = CD = 3 ，可知点 P 在平面 ABC 内的投影落在线段CD 内，
又因为 PC 与平面 ABC 所成角的大小为60°，则ÐPCD = 60° ，
可知△PCD为等边三角形，所以 PC = 3 .
故选：C.
6
．B
分析】先构造关于 x 的三角方程，利用辅助角公式求得 x 的值，进而求得与 y 轴最近的点
的横坐标.
【
æ
è
π ö
3 ø
1
2
3
【
详解】由sin ç x - ÷ = 2sin x ，可得 sin x -
cos x = 2sin x ，
2
æ
è
π ö
6 ø
3
3
即 sin x +
cos x = 0 ，则
3
sin ç x + ÷ =0
，
2
2
π
π
则 x + = kπ,k ÎZ，即 x = kπ - ,k Î Z ，
6
6
π
6
故 x 取最小值时， x = -
.
故选：B
7
．C
答案第 2页，共 15页
u
uur uuur
uuuur
uuur
uuur
uuuur
x
【
分析】以 AB, AD为基底表示向量 MN ，因为 AP∥MN ，则 AP = lMN ，建立l 与 的等
量关系，求解即可.
uuur uuur uuur
u
uuur
【
详解】因为 AM = MB ，
BN = 2NC
，所以
u
uuur uuur uuuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur
MN = BN - BM = BC - BA = AB + BC = AB + AD ，
3
2
2
3
2
3
uuur
uuuur 1 uuur 2 uuur
uuur
又 AP∥MN ，所以 AP = lMN = l AB + l AD = xAB + (1- x)AD ，
2
3
ì
1
2
x =
l
ï
则 í
ï
6
3
7
，解得：l = ， x =
.
= 2
l
7
1-
x
ï
î
3
故选：C
8
．B
【
分析】分别取 BB ，DD ，AA 的对应三等分点 N ，M ，Q ，利用空间向量证明C, N,Q,M
1
1
1
共面，再通过向量数量积证明 AP ^ 平面CNQM ，最后采用割补法求解出较小部分的体积，
从而体积比可求.
BB
N
DD
AA
靠近 的三
A
【详解】分别取
靠近 B 的三等分点 ，取
靠近 D 的三等分点 M ，取
1
1
1
1
等分点Q ，
连接 PD, PB, PM , PN,CM , BP,QM ,QN ，建立如下图所示空间直角坐标系，
不妨设 AB =1，
答案第 3页，共 15页
所以 (
)
(
)
(
) (
)，
C 0,1, 0 , N 1,1, 1 ,M 0, 0,1 ,Q 1,0, 2
uuur
uuuur
uuur uuuur
所以CN = (1, 0,1),MQ = (1, 0,1)，所以CN = MQ ，且C, N,M ,Q 不共线，所以C, N,Q,M 共面，
u
uur
又因为 (
) (
)，所以
AP = (-1,1,1)
A 1,0,0 ,P 0,1,1
，
u
uur uuur
因为 AP×CN = -1+0+1= 0，所以 AP ^ CN ，
u
uuur uuur uuuur
因为CM = (0,-1,1),AP ×CM = 0+ (-1 )+1= 0 ，所以 AP ^ CM ，且CM ÇCN = C ，
所以 AP ^ 平面CNQM ，
较小部分的几何体如下图所示，
V =V
1
N -ABCD
+VN -CDM +VN -ADMQ
其体积为
，
由正四棱柱结构特点易知 BM / / 平面 ADMQ ， BM / / 平面CDM ，
( + )´
1
1 1 1
´
1
1 2
1
所以V =VN -ABCD +VB-CDM +VB-ADMQ = ´ 1´ 1+ ´
´ 1+ ´
´ 1= 1 ，
3
3
2
3
2
所以较大部分体积V2 =1´1´3-1= 2 ，
所以较大部分与较小部分的体积比为 2 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键一方面是确定平面与正四棱柱各条棱的交点，根据交
点坐标和空间向量运算能更高效说明线面垂直，另一方面是采用割补法求解几何体的体积，
将复杂几何体转化为简单几何体再去计算.
9
．BD
分析】选项 A 和 C，可以在正方体中，通过取平面和直线，满足条件，但得不到a / /b ，
【
从而判断出 A 和 C 的正误，选项 B 和 D，利用线面平行的判定定理和性质定理，即可判断
出选项 B 和 D 的正误.
【
详解】对于选项 A，如图，在正方体中，取直线 AB 为a ，直线
BC
b
BB 为c ，
为 ，直线
1
显然有 a ^ c ，b ^ c ，但 aIb = B ，所以选项 A 错误，
答案第 4页，共 15页
对于选项 B，由线面平行的性质可知，选项 B 正确，
对于选项 C，如图，在正方体中，取平面
ABB1 A
为a ，平面
BCC1B
为平面 ，平面 ABCD
b
1
1
为g
，
显然满足a ^ g ， b ^ g ，又a Ig = AB ，b Ig = BC ，且 ABÇBC = B ，即a,b 相交，所以
选项 C 错误，
对于选项 D，因为a Ç b = a ，则 a Ì b ，又 b Ig = c ，则
c Ì b
，c Ì g ，又
a / /c
，
a Ë g a / /g a Ìa
，a Ig = b ，所以 a / /b ，故选项 D 正确，
显然有
，所以
，又
故选：BD.
1
0．ABD
【分析】对于 A：结合余弦函数的值域分析判断；对于 B：根据对称性的定义分析判断；对
于 C：举反例说明即可；对于 D：根据题意结合最小正周期的定义分析判断.
详解】由题意可知： ( )的定义域为 ，
f x
ꢀ
【
cos xÎ -1,1 ,cos 2xÎ -1,1
[
]
[
]，则 f (x)= cos xcos 2xÎ[-1, 1]
对于选项 A：因为
，
且 f (0)=1，所以
f (x)的最大值为 1，故
A
正确；
对于选项 B：因为
f π x cos π x cos 2 π x cos π x cos 2π 2x
- )= ( - ) )= -cos xcos 2x = - f (x)，
(
( - )= ( - )
(
-
æ
è
π
2
ö
ø
f π - x + f x = 0
即 (
)
( )
,0÷是曲线ꢁ = ꢂ ꢃ 的对称中心，故 B 正确；
，所以
ç
æ
π ö
4 ø
æ πö
è 2 ø
对于选项 C：因为 f ç ÷ = f ç ÷ = 0 ，且 ( )在 R 上连续不断，
f x
è
æ
π ö
2 ø
所以 ( )在
f x
ç0, ÷
上不单调，故 C 错误；
è
对于选项 D：因为 f (-x)= cos(-x)cos 2(-x)= cos xcos 2x = f (x)，
答案第 5页，共 15页
由选项 B 可知 f (π - x = - f x
)
( )，可得 f (x - π)= - f (x)，即 f (x + π)= - f (x)，
则 f (x + 2π)= - f (x + π)= - éë- f (x)ùû = f (x)，
可知 2π为 ( )的一个周期，
f x
cosaÎ -1,1 ,cos 2aÎ -1, 1]，
[
)
[
若0 < a < 2π ，则0 < 2a < 4π ，可得
当cosa = -1，则 a = π ，cos 2a = cos 2π =1¹ -1，此时 f (a)= -1¹1
，
aÎ 0, 2π
(
)，
f (a)¹1，即 f (0+ a)¹ f (0)
可知对任意
所以 a 不为
，
f (x)的一个周期；
综上所述： ( )的最小正周期为
f x
2π，故
D
正确；
故选：ABD.
11．ABD
分析】选项 A，根据条件，通过赋值，即可求解；选项 B，由 f (1+ x + f 1- x = 2
)
(
)
，得
【
到 f (-x) = 2 - f (2 + x)，进而得到 f (-x)= f (2- x)- 2 ，而又由 (
f 1+ x + f 1- x = 2
)
(
)
可得
(
)+ ( - ) =
(-x)= -
f (x)
得到
f x f 2 x
2
f
，即可判断选项 B 的正误；选项 C，根据条件得
，
f (1) =1， f (2) = 2 ，再利用 f (2+ x)= f (x)+ 2 ，得到当 xÎZ 时， f (x) = x ，再结合 f (x)的
单调性，即可求解；选项 D，构造函数 y ex+1 - x - 2 ，利用导数与函数单调性间的关系，
=
得到ex+1 ³ x + 2 ，从而有 f (ex+1 - f x ³ f (x +2) - f (x) ，再结合条件，即可求解.
)
( )
详解】对于选项 A，因为 f (1+ x + f 1- x = 2
，令
x = 0
)
(
)
，得到 f (1) =1，
【
又 f (2 + x)+ f (2 - x )= 4 ，令 x =1，得到 f (3)+ f 1 = 4
( )
，所以
f (3)= 3，故选项
A
正确，
对于选项 B，因为 f (1+ x + f 1- x = 2
)
(
)
，得到
f (2 + x)+ f (-x)= 2
，所以
f (-x) = 2 - f (2 + x)，
又 f (2 + x)+ f (2 - x )= 4 ，所以 f (-x) = 2 - f (2 + x) = f (2 - x) - 2 ，
f 1+ x + f 1- x = 2 f (x)+ f (2- x)= 2 f (-x) = f (2 - x) - 2 = - f (x)
又由 (
)
(
)
可得
，所以
，
又 ( )的定义域为 R ，定义域关于原点对称，所以
f (x)为奇函数，故选项
f x
B
A
正确，
知
f (1) =1，
对于选项 C，因为 f (2 + x)+ f (2 - x )= 4 ，令 x = 0 ，得到
f (2) = 2
，由选项
答案第 6页，共 15页
又由选项 B 知 (
f 2+ x = f (x)+ 2，且
)
f (x)为奇函数，则当 xÎ Z时， f (x) = x
，
所以当 xÎ Z时，不存在 x Î R ，使 f (x )= x +1
成立，
0
0
0
当 xÏZ，因为 ( )为R 上的增函数，则
f x
f (x )< f ([x +1]) = [x +1] < x +1
（其中[x] 表示不
0
0
0
0
x
超过 的最大整数），所以选项 C 错误，
对于选项 D，令 y ex+1 - x - 2 ，则
=
y¢ = ex+1
-1，由
y¢ = ex+1 -1= 0
，得到 x = -1，
所以当 xÎ(-¥,-1)时， y¢ ex+1 1 0，当 xÎ(-1,+¥)时， y¢ = ex+1 -1> 0 ，
- <
=
即 y ex+1 - x - 2 在区间(-¥,-1)上单调递减，在区间(-1,+¥)
上单调递增，
=
所以 y ex+1 - x - 2 ³
=
e
-1+1
- (-1) - 2 = 0，即ex+1 x 2 ，当且仅当 x = -1时取等号，
³ +
由选项 B 知 f (2 + x)+ f (-x) = f (2 + x)- f (x) = 2，又 ( )为R 上的增函数，
f x
f ex+1 - f x ³ f (x+ 2)- f (x) = 2，当且仅当 x = -1时取等号，故选项 D 正确，
所以 (
)
( )
故选：ABD.
【
点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项 C 和 D，选项 C，关键在于结合条件得到当 xÎ Z
f (x) = x
f (x)的单调性，当 xÏZ
f (x )< f ([x +1]) = [x +1] < x +1
，有 （其
时，
，再利用
0
0
0
0
中[x]表示不超过 的最大整数），即可求解；选项 D，构造函数 y ex+1 - x - 2 ，利用导数与
x
=
函数的单调性间的关系得到ex+1 ³ x + 2 ，结合条件，得到 (
f ex+1 - f ( x) ³ f (x+ 2)- f (x) = 2
)
，
即可求解.
2
p
2
1
2．
2
## p
3
3
【分析】根据三角函数的单调性和周期性等图象性质易得结果.
æ
5π π ö
÷ = π ，所以w =
2π
π
详解】由题意，周期T = 2ç
+
= 2 ，
【
è
12 12 ø
f x = sin 2x +j
此时 ( )
(
)，
π
f ç- ÷ = sin çæ- ´2 +j ÷ =1
æ
π ö
è 12 ø
π
ö
ø
当 x = - 时，可得
，
12
è 12
π
π
2
π
则 - ´ 2+ j = + 2kπ ，解得j =
+ 2kπ ，
1
2
2
3
2
π
又0 < j < p ，所以j =
.
3
答案第 7页，共 15页
2
π
故答案为：2；
.
3
1
æ
è
1 ö
e ø
1
3． çe +
÷
2
分析】设 (
) (
)，根据向量垂直可得
x × x + ln x ×ln x = 0
A x ,ln x ,B x ,ln x
【
，由中点坐标公
1
1
2
2
1
2
1
2
式可得 x × x = 1，代入运算求解即可.
1
2
uuur
uuur
详解】设 (
) (
)，则
OA = (x ,lnx ),OB = (x ,lnx )
A x ,ln x ,B x ,ln x
【
，
1
1
2
2
1
1
2
2
若OA ^ OB ，则OA×OB = x ×x + lnx × lnx = 0 ，
1
2
1
2
ln x1 +ln x
2
ln x1 × x
2
=
= 0 ，
又因为线段 AB 的中点 M 在 x 轴上，则
2
2
1
可得 x × x = 1，即 x =
，
1
2
2
x1
1
1
则1
+ ln x1 ×ln =1-ln
2
x1 = 0
，解得ln x1 = ±1，即 x = e x =
或
，
x1
x1 = e
1
1
e
ì
ì
1
ï
ïx =
即可得 í
1 或
í
1
e
e
，
x2 =
ï
ï
îx2
=
î
e
x1 + x
2
1 æ
2 è e ø
1 ö
=
çe + ÷ .
所以点 M 的横坐标为
2
1
æ
è
1 ö
故答案为： çe + ÷.
e ø
2
1
1
4． - ## -0.5
2
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
【
分析】将 AB, AC 分别表示为OB -OA,OC -OA ，然后根据向量数量积的定义表示出
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
AB× AC ，再分析 AB,OC 的夹角即可求解出 AB× AC 的最小值.
OA2 + OB2 - AB2
7
【
详解】因为OA = OB = 2, AB =1，所以cosÐAOB =
= ，
2OA×OB
8
u
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AB AC (OB OA) (OC OA) OB OC OA OB OA OC OA
2
×
=
-
×
-
=
×
-
×
-
×
+
u
uur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
7
8
1
2
1
2
(
)×
=
=
OB OA OC - 2´2´
-
+
4
=
AB OC
×
+
=1´1´cos AB,OC
+
u
uur uuur
cos AB,OC + ³ -1+ = -
1
1
1
，
2
2
2
u
uur uuur
当且仅当 AB,OC =180° 时取等号，
u
uur uuur
1
2
所以 AB× AC 的最小值为 -
，
答案第 8页，共 15页
1
2
故答案为： -
.
π
1
5．(1) A =
3
(2)等边三角形
【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式及特殊角三角函数值即可求得 A 的值；
（2）利用三角形面积公式和余弦定理求得V ABC 的三边长，进而判断出V ABC 的形状.
【详解】（1）由正弦定理，acosC + 3asinC = b +c 可化为
sin AcosC + 3 sin Asin C =sin B +sin C
又V ABC 中，sin B = sin(A+C) = sin AcosC +cos AsinC
则上式可化为 3 sin AsinC = sinC cos A+ sinC，
又V ABC 中，0 < C < π ，则sinC > 0，
,
则上式可化为 3 sin A = cos A +1，即 3 sin A- cos A = 1，
æ
è
π ö
6 ø
1
π
π
6
5π
6
则sinç A- ÷ = ，又 - < A-
<
，
2
6
π
6
π
π
3
则 A-
=
，故 A =
6
（
2）由 a +b+c = 6 ，可得b+c = 6-a，
1
π
又由 bcsin = 3 ，可得bc = 4，
2
3
则(b c)2 = (6 a)2
+
-
，
可化为b2 +
c2 +
8
=
36 + a2 -12a
整理得b2 + c2 - a2 = 28 -12a ，
π
π
3
b2 + c2 - a2
1
2
28 -12a
又由 A = ，则cos
=
，可化为
=
，
3
2bc
8
ì
bc = 4
ìb = 2
解之得 a = 2，则 í
，解之得 í
，
b +c = 4
c = 2
î
î
则V ABC 的形状为等边三角形.
答案第 9页，共 15页
6．(1)能， P(2 3,3)或 P(-2 3,3)；
1
(2)证明见解析.
3
【分析】（1）由题可得 HP 中点 M 纵坐标为 1，且 FM =
HP ，即可得答案；
2
uuur uuur
（
2）由导数知识可得 C 在点 P 处的切线方程，后可表示出 Q 坐标，后验证 FQ× FP = 0，可
证明结论.
æ
2
0
4 ø
ö
x
【
详解】（1）设ꢄ ꢃ , ꢁ ，因x
2
= 4y0 ，则 Pç x ,
÷ .
0
0
0
0
è
又由题可得C : x2 = 4y 的焦点为ꢅ 0,1 ，准线为l：y = -1.
则 P 在 l 上的射影 H 为 (
H x ,-1).要使VPFH 为正三角形，
0
3
则应满足 HP 中点 M 纵坐标为 1，且 FM =
HP .
2
ì
2
0
4
2
x
-1
ï
ï
í
=1
Þ
x0
= ±2 3 ，即当 P(2 3,3)或 P(-2 3,3)时，
即
ï
3 x0
2
2
ï
x0 =
+1
ï
î
4
能使△PFH 为正三角形；
æ
2
0
4
ö
x
（2）由题可得
Pç x ,
÷
满足
x ¹ 0.
0
0
è
ø
x
2
x
注意到 x2 = 4y Þ y = Þ y ¢=
，
4
2
æ
2
0
4
ö
x
x0
2
x0
2
x0
2
Pç x ,
÷
y = (x - x0 )+
.
则点
处的切线斜率为： ，则相应切线为：
0
è
ø
4
= 4y0 ，可将切线方程化简为：
xx = 2 y + y .
(
)
代入 x0
2
0
0
æ
2( - )
y0
1
ö
,-1÷ . F (0,1),P(x , y )
令
则
y = -1，可得Qç
又
，
0
0
x0
è
ø
u
uur æ ( - )
ö uuur
,-2÷，FP = x , y -1
2
y0
1
FQ = ç
(
)，
0
0
x0
è
ø
uuur uuur
uuur uuur
r
得 FQ× FP = 2(y -1)- 2y + 2 = 0，又 FQ，FP ¹ 0 ，则
ÐPFQ = 90°.
0
0
答案第 10页，共 15页
2
5
1
7．(1)
5
4
7
2
(2)
【
分析】（1）作 AH ^ PD 于点 H ，证明 AH ^平面 PBD ，求出 AH 得解；
AC, AP y, z
轴的空间直角坐
（2）以点 A 为坐标原点，过点 A 垂直于 AC 的为 轴，
x
分别为
标系，求出平面 PBC 与平面 PAC 的一个法向量，利用向量法求解.
【详解】（1）如图，作 AH ^ PD 于点 H ，
因为平面 PBD ^平面 PAC ，平面 PBDI平面 PAC = PD ， AH Ì 平面 PAC ，
所以 AH ^平面 PBD ，
PA× AD 2´1 2 5
在 Rt△PAD 中，
AH =
=
=
，
PD
5
5
2
5
所以点 A 到平面 PBD 的距离为
.
5
（
2）由（1）， AH ^平面 PBD ， BD Ì 平面 PBD ，所以 AH ^ BD，
又 PA ^平面 ABC ， BD Ì 平面 ABC ，所以 PA ^ BD ，
PA, AH Ì
又
平面
PAC
，
PAI AH = A，所以 BD ^ 平面
PAC
，
又 AD =1， AB = 2 ，所以ÐDAB = 60o
，
如图，以点 A 为坐标原点，过点 A 垂直于 AC 的为 轴，
x
AC, AP y, z
分别为 轴的空间直角坐
标系，
则ꢆ 0,0,0 ， (
P 0,0, 2
)，
B( 3,1, 0)，C(0, 2, 0)
，ꢇ 0,1,0
，
uuur
uuur
PB
uuur
(
- ) BD = (- 3,0,0)
3,1, 2 ，
所以 PC = (0,2,-2)，
=
，
r
n = x, y, z
(
)，
设平面 PBC 的一个法向量为
uuur
r
ì
ìï
3
x
+
y
-
2z
=
0
3
，即 í
，令 z =1，则
y =1， x
=
，
ïî2y - 2z = 0
ï
3
答案第 11页，共 15页
æ 3
n = ç
ö
r
\
,1,1÷
，
ç
÷
3
è
ø
u
uur
(-
)
又 BD ^ 平面 PAC ，且
BD
=
3,0,0 ，
设平面 PAC 与平面 PBC 的夹角为q ，
uuur
r
n× BD
1
7
\
cosq = uuur =
=
r
，
n BD
1
3
7
+
1+1´ 3
1
42
\
sinq = 1-
=
.
7
7
4
7
2
所以平面 PAC 与平面 PBC 的夹角的正弦值为
.
π
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