博弈考试习题.doc

1、
考虑下面的Cournot双头垄断模型。市场的反需求函数为,其中为市场总产量,两个企业的总成本都为，但需求却不确定：分别以的概率为高（）,以的概率为低（)，此外，信息也是非对称的：企业1知道需求是高还是低，但企业2不知道,所有这些都是共同知识，两企业同时进行决策。
要求：假定、、和c的取值范围使得所有均衡产出都是正数,试问此博弈的贝叶斯纳什均衡是什么？

解:
在市场需求为高时，企业1的最优战略为:

由一阶条件可以推出 (1）
在市场需求为低时,企业1的最优战略为：

由一阶条件可以推出 （2）
企业2的最优战略为

由一阶条件可得：
(3)
方程（1）、（2）和（3)联立可得：

由此可知,企业1的战略和企业2的战略构成贝叶斯纳什均衡。

2、
3、参与人1(丈夫)和参与人2(妻子）必须独立地决定出门时是否带伞。他们知道下雨和不下雨的可能性相同（即50：50)。支付函数如下：如果只有一人带伞，下雨时带伞者的效用为—2.5，不带伞者(搭便车者）的效用为-3;不下雨时带伞者的效用为-1，不带伞者的效用为0;如果两人都带伞，下雨时每人的效用为-2，不下雨时每人的效用为1；如果两人都不带伞，下雨时每人的效用为-5，不下雨时每人的效用为1。给出以下两种情况下的扩展式表述(博弈树）和战略式表述：(1）两人出门前都不知道是否会下雨,并且两人同时决定是否带伞(即每一方在决策时都不知道对方的决策）；(2）两人出门前都不知道是否会下雨，但丈夫先决策，妻子在观察到丈夫是否带伞后才决定自己是否带伞;(3）丈夫出门前知道是否会下雨，妻子不知道，但丈夫先决策，妻子后决策;（4)同(3)，但妻子先决策，丈夫后决策。
解：扩展式表述：假设用N代表自然，H代表丈夫，W代表妻子.

(1）

(2）

（3）

（4）

4、下面的两人博弈可以解释为两个寡头企业的价格竞争博弈，其中p是企业1的价格，q是企业2的价格。企业1的利润函数是：
π1=-(p-aq+c)2+q
企业2的利润函数是:
π2=—(q-b)2+p
求解：
（1） 两个企业同时决策时的（纯战略)纳什均衡
(2） 企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡
(3) 企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡
(4) 是否存在某些参数值(a,b,c），使得每一个企业都希望自己先决策？
解：
(1) 根据两个企业的利润函数，得各自的反应函数为:

求解得纳什均衡：
(2) 企业1先决策
根据逆推归纳法,先求企业2的反应函数

代入企业1的利润函数,得

再求企业1的反应函数,得

(3） 企业2先决策
根据逆推归纳法，先求企业1的反应函数

代入企业2的利润函数，得

再求企业2的反应函数，得

再代入企业1的反应函数，得

（4) 因为只有先决策的利润大于后决策的利润时企业才希望先决策，因此

得两个企业都希望先决策的条件为

5、108页
假定:逆需求函数：
两个企业有相同的不变单位成本:
利润:
6、考虑可乐行业,可口可乐与百事可乐是两家主要公司，市场规模为80亿美元。每家公司可以选择是否做广告,广告成本为10亿美元；如果一家企业做广告而另一家不做，则前者强的所有市场；如果两家企业都做广告，则各占一半市场，并付出广告成本；如果两家公司都不做广告，也各占一般市场，但不支付广告成本。
（a）画出博弈支付表，并找出当两家公司同时行动时的纳什均衡；
（b）假定博弈序贯进行,画出可口可乐公司率先行动时该博弈的博弈树。
（c）在（a）、（b）均衡中，从可口可乐与百事可乐的共同观点来看，哪一个是最佳的,这两家公司要怎样才会有更好的结果？
7、下图是两人博弈的标准式表述形式，其中参与者1的战略空间,参与者2的战略空间.问当a、b、c、d、f、g、h之间满足什么条件时，该博弈存在严格优势策略均衡，并写出所有情况下的占优战略均衡。

8、 在下图所示的标准式表述的博弈中，找出逐步剔除严格劣战略均衡.

解：

9、43页,库诺特寡头竞争模型
10、61页，社会福利
11、模型化下述博弈：博弈的参与人包括税收机关和纳税人，税收机关的战略选择是检查或不检查，纳税人的纯战略是逃税或不逃税，其中，a是应纳税款，C是检查成本，F是罚款,我们假定.
(1）写出这个博弈的支付矩阵。
(2）这个博弈有纯战略纳什均衡吗？
（3）若没有，请计算出混合战略纳什均衡？
解：
12、 一个工人给一个老板干活，工资标准是100元.工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。请问：(1)如果老板完全能够看出工人是否偷懒,博弈属于哪种类型？请用博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示）,并求出博弈的所有Nash均衡及博弈的均衡结果；（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示)，并求出博弈的均衡解。

13、 假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是Q=12－P，生产成本为零。如果两厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产库诺特产量，证明这是一个囚徒困境型的博弈。