2021本科《常微分方程》期末试题及答案.docx

2021本科《常微分方程》期末试题及答案（试卷号1076）
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. 微分方程= 1的通解为）.
A. C + Idx B. C — I az
C CInx D. xlnx
2. 方程^=yr=7r过点（j,i）共有（）个解.
a.无数 a -
C•两 D.三
3. 方程/ +工，'+ Jty =JT‘b的任一解的最大存在区间一定是（ ）.
A. （— 8.0〉 B. （— 8. + 00〉
CCO. +co） D.[lf+oo）
4. n雄方程组£ =FGr・Y）的任一解的图像是n + 1维空间（x9Y）中的（ ）.
A.一个曲面 B.”个曲面
条曲线 D. —条曲线
5. 平面自治系统在相平面上的一条知线.对应（ ）枳分曲线.
A. •条 B.两条
C无穷多条 D.三条
得分
评卷人

二,境空■（何小・3分.本■共15分）

6. m分方程 株+了》・°是 阶械分方程.
7. 方IV — -xMin（x+.y）摘足解的4在惜一性定理条件的区域lil
8. 〃阶fct性齐次微分方程的所有解构成•个 雄线性空间.
9. 二阶方科/+ =。的等价方程加是
夺f+3,
10. 平面系统• 的奇点类取是 —
dy 岳―+3，
很分评卷人
- 一 三jtwnte小■ 8分.本■共40分）
11. 用分志变■求方程若■扣'T）的*H
12. 求一阶线性非齐次的解.
13. 求全懒分方程（e* 一；,）血+； d>・0的解.
H.求克臬洛方Vi卜》' +。'尸的耕.
15.求叮降阶的岗阶方W j/ + y'-4«r的耕,

得分
评啊人

101、计鼻■（本■共15分）

16.求下列甫玷数城住嫩分方程《1的解,

得分
评卷人

五、证明JSH本18共15分）

17.鼠证明：对任意工。及满足条件0<y0< 1的火，方程
dy 火一 一1) dx 1 + x1 +
的满足条件>（xa） =>o的解.y 在（一8. +co）上存在.
试题答案及评分标准
仅供参考
一 ,箪项逸择・（@小・3分.本■共15分）
4. D
5-C
L A 2. A 3. B
小・3分.本■共15分）
6 = *
7. 全平面
8. ”
dy
9. <
烦 〃、 / %
10.不■定站点
三小H8分.本■共40分）
n.解当，■土 1时.分禹变量根分得
拍|；彳卜+0
V |
解徊通解品・Ce,.即
i+c/
i 二o；
12 .解 方刊改写成牛 d-r x
卉次通解为y-Cx
令非卉次解为y・C（】h：
代入得 CCr）--：J+C
W
原方程通解为y-Cx-lx1
i3. nn因为'祟=-卜祟.所以原方程是全微分方程.
" x1 M
取<xB,yo）-（UO）,原方程的通积分为
£（e--^）dx +
j：dy -C |
BP e* 4- --C
14. M 由克栗洛方程的通解公式.得
.
y— Cr +C + C‘
15. 解 令/='./ =，代入方程,得工若+ m・4工
即（口）' =4工
枳分,得n・2/ +C .即s：2x +— x
dy C
于是洁f+：
（4分）
（8分〉
（3分）
《6分）
（8分〉
<3分）
《6分）
（8分）
（8分）
（3分）
《6分）
原方程的通解为y +Cln|i |+G
（8分）

四、计算姒（本■共15分）
（5分）
16.解特征方程
I A —ZE | =
2-A
1
-3
—2T
特征极为
• ItAj =
一 1
-Q + l)(A-l)=O

A,和L对应的特征向量分别是
3
和
1
1

1

（10 分）
+ C,
《15分）

五,徒明■（本■共15分）
y（y - 1）
】7.证明由于"4少■徉了宥T
z ，, 、 （2y-1）（1+/+/）-火y— 1）2,
“ 3 （TTPTTP
在全平血上连雄.所以原方程在全平Hi上满足解的存在惟一性定理及解的延腰定理条件.
（】0分）
（7分）
又是方程的耕个
现任取珏€ （-®. + od） .y. e（0.1） .idy-y（x）为过（工.，〉.＞的解•邯么这个解切
以惟一地向孚（E的边界无限延履,又上不您野H! y ■】.下不III穿tty-0,M此它的存在区间
。5分〉