《概率论与数理统计》试题带答案(四).docx

《概率论与数理统计》试题带答案
1. 设随机变量X的分布律为
X
1
0
1
2
P
1/8
1/2
1/8
1/4
求 E(X)，E(X2)，E(2X+3 ).
【解】(1)E(X)(1)1 011121土；
82842
(2) E(X2)( 1)210211212215；
82844
(3) E (2X 3) 2E(X) 3 2 1 3 4
2
2. 已知1个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5
P
C5
9 583
C1 C4
10 90 0 340
C2 C3
10 90 0 070
C3 C2
10 90 0 7
C4C1
1 090U
C5。
10U

.
C5
1
.
C5
1
C5
1
C5
1
C.“
1
C5“"
1
故 E (X) 0.583 0 0.340 1 0.070 2 0.7 3 0 4 0 5

0.501,
D (X)5 [x E (X))P
ii
i 0
(0 0. 501> 0. 583 (1 0. 501> 0. 340(5 0. 501> 0
0.432.
3. 设随机变量X的分布律为
X
1
0
1
P
P1
P2
P3

且已知 E (X) =0.1E 驼)=0.9求 P1, P2，P3.
【解】因P P P 1......①， 123
又 E (X) ( 1)P
1
0 P 1
2
P P 33
P
1
0.1……②，
E (X 2)( 1)2
P 02 P
12 P
P
P 0.9 ......③

L 2
3
1
3
由①②③联立解得P
0.4,P
0.1,P
0.
5.
1
, .2
. 3

4. 袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E (X )=n,问从袋中任取1球为白球的概率是多少?
【解】记A=(从袋中任取1球为白球｝,则
P (A)全概率公式N P{A |X k} P(X k)
lp{X k} 1N kP{X k)NN
5. 设随机变量X的概率密度为
.
x, 0 x 1,
f (x) = 2 x,l X 2,
0,其他.
求 E (X ), D (X ).
【解】E (X ) xf (x) dx
1 i
-X3 X2
3
0
故 D (X) E (X 2)
1 X2dx 2 x (2 x) dx
0 1
1.
3
i
E (X 2)
[E (X ) 1 i.
6
X2 f (x) dx 1 X3dx
0
7
2 X2 (2 x) dx —
i 6

6. 设随机变量X, Y, Z相互独立，且E (X ) =5, E (Y) =11, E ( Z ) =8 ,求下列随机变量的数学期望.
(1 ) U=2X+3Y+1;
(2) V=YZ 4X.
【解】⑴ E DJ ] E (2X 3Y 1) 2E (X) 3E Y) 1
2 5 3 11 1 44.
(2) EV] E [rz 4X ] EBZ] 4E (X)
因Y,Z独立E <y)E 亿)4E (X)
11 8 4 5 68.
3X 2Y), D (2X 3Y ).
7. 设随机变量 X, Y 相互独立，且 E. ( X ) =E (Y) =3, D (X) =12, D (Y) =16,
【解】⑴ E (3X 2Y) 3E (X) 2E(V) 3 3 2 3 3.
(2) D (2X 3Y) 22D (X) ( 3)2DY
4 12 9 16
192.
8.设随机变量(X, Y)的概率密度为
f ( x,
k, 0 x 1,0 y)= 0,
y x,
其他.
试确定常数k,并求E (XY ).
【解】因f (x, y) dxdy Mx xkdy 11
o o2
< L 故 k=2
E (XY )
xyf (x, y) dxdy
1 xdx x2ydy 0. 25.

9.设X, Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

2x, 0 x 1,
e (y 5), y 5,
[(X )=
A
0,其他；
4 (y)=八甘仙
丫0,其他.

求 E (XY ).
【解】方法一：先求X与Y的均值
E Y)ye (y 5)dy令z-y-5 5 e zdzze zdz5 16.
5•
由X与Y的独立性，得

E (XY ) E (X ) E Y)
6 4.

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为

f (x, y)f (x) f (y)
Y
•2xe
n
0,
(y
5),
0 x
其他,
i,y
5,

于是
E (XY )4y 2xe (y
50
5)dxdy
12x2dx
0
ye (y
5)dy
36
4.

10.设随机变量X, Y的概率密度分别为
f (x )=
X
2e 2x,
0,
0,
0；
• 4e 4y, fY(y)= 0,
0,
0.

求(1)

E (X+Y) ; (2) E (2X 3Y2).

【解】(X)
xf (x) dx
X
e 2xdx
:x 2e 2xdx [ xe 2x]
0
1
—.
2.
e-2xdx
E (Y )
yf (y)dyy 4e 4ydy
Y0

cxe k2x2, x 0,
0, x 0.

E(M
y f (y) dy
一 2 y2 4e 4ydy —
1 .

Y
042
8
从而(1)E (X
Y) E (X)
E (Y) - - 3

.244
3 1 5
(2)E (2X
3Y2) 2E
(X) 3E (Y2) 2 -

2
8 8
11.设随机变量X的概率密度为

f(X)
求(1)系数 c;(2)E(X);(3)D (X).
c
【解】(1)由f(x)dxcxe k2x2dx -—- 1得c 2k2.
⑵
E (X)
xf (x)d x)
0
x 2k2xe sdx

2k2x2e sdx
0
，2k •

⑶
E (X 2)
x2 f (x)d x)
x2 2k2xe s
0
1
.
k2
故
D (X)
E (X2) [E (X ))
& ¥ k22k
4 n
.
4k2

12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出(取出后不放回)，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变 量 X,求 E (X )和。(X).
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0, 1, 2, 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
P{X
、9
°} 12
0. 750,
P(X
1}
3
—
12
11
0.204,
P(X
、 3
2 9
P(X
3}
3
—
2
—
1 9
2}—
0.041,
-0.5.
12
11 10
12
11
10 9
于是，
得到X的概率分布表如下：

X
0
1
2
3
P
0.750
0.204
0.041
0.5
由此可得E (X) 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.5 0.301.

E (X 2) 02 750 12 0.204 22 0.041 32 0.5 0.413 D (X) E (X 2) [E(X)l 0.413 (0.301) 0.322.
13. 一工厂生产某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布，概率密度为
f (x )=
1 -
4e 4'
0,
x 0,
x 0.

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利1元，而调换一台则损失2元，试求工厂出售 一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：1元和2元
P {Y 1} P{X 1} 4e x/4dx e1/4
P (Y2} P (X 1} 1 e 1/4.
故 E Y) 1 e 1/4( 2) (1 e 1/4) 3e 1/4 2 33.64 (元).
14,设 X],
x2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E
(X)= Q, i=1,
2,
n,记
(1)
验证E(X) =从D (X)
i，S2
1
S2=厂1
(X iX)2.
(2)
(3)
验证S2( X 2
n 1i
i 1
验证 E (S2)=Q.
nX 2)；
【证】⑴
E (X) E 1 n X ni1 i
!e (n X ) 1 n E (X ) 1 nu ni ni n
i 1i 1
D (X) D 1 n X •-!

u.
n
1
D n2
—； n
X )X之间相互独立4
i in2
n DX
1 ——n n2
n (X
X)2
(X
X2
2XX.)
nn
X 2 nX 2 2X
i 1
Xi
n X i2
nX 2 2X
nX
nX 2

故S2
1 z n一、 -—(^2 ").

(3)因 E (X ) u,D (X )2,故 E (X 2)D (X )(EX )22 u2.
iiiii
—一、 2_、2
同理因 E (X) U,D (X)—,故 E (X 2) — U2.
nn
从而
E (s2)
E _L (n X 2 nX2)上[E(nX2) nE (X2)] n 1in 1i
i 1i 1
1 n —[E (X 2) nE(X2)] n 1i
i 1
1,、2
n ( 2 u2) n ——U22. n 1n

15. 对随机变量 X 和 Y, 已 知 D (X)=2, D (Y) =3, Cov(X,Y)= 1,
计算：Cov ( 3X 2Y+1, X+4Y 3).
【解】Cov(3X 2Y 1,X 4Y 3) 3D (X) 10Cov(X ,Y) 8D (Y)
3 2 10 ( 1) 8 328
因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=CovY,3)=0其余类似).
16. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
X2 y2 1,f ( x, y) =71
0, 其他.
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】设 D ((x, y) 1x2 y2 1).
E (X)xf (x, y) dxdy — xdxdy
71 x2 y2 1
=—mi r cos rd rd0.
兀
同理E任)=0.
而 Cov (X ,Y)[x E W ] [y E(V) ]f (x, y) dxdy
1 1
— xydxdy — 271 1 r2 s in cos rd rd0 ,
71，
x2 y2 1
由此得 o,故X与Y不相关. XY
下面讨论独立性，当kl《时，f
X
当 kl〈时，f (y) y~Ldx - Jl y2 .
Y 1 Viy2 7171*
显然 f (x) f (y)f (x, y).
XY
故X和Y不是相互独立的.
17. 设随机变量(X, Y )的分布律为
X
1
0
1
1
1/8
1/8
1/8
0
1/8
0
1/8
1
1/8
1/8
1/8
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

由期望定义易得E (X)=E (Y)=E (XY ) =0.
从而EXY)=EX)EY)再由相关系数性质知 "0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.
,、。、3 3 1、
又？株 1} P{Y1}——-P {X1,Y1}
8 88
从而X与Y不是相互独立的.
18. 设二维随机变量(X, Y)在以(0, 0), (0, 1), (1, 0)为顶点的三角形区域上服从均
匀分布，求Cov (X, Y),如
【解】如图，SD=1，故(X, Y)的概率密度为
O ]、

题18图
f(x, y)
2, (x, y) D,
0,其他.
E (X )xf (x, y)dxdyMx 1 x x 2dy 3
D
1dx 1 x2x2dy 一
0 0 6
E (X 2)x2 f (x, y)dxdy
D
1121 从而 D (X)E (X2)[E (X )J—-—.
6318
同理E Y)
3,D Y)
J
1
18
而
所以
从而
E (XY)
xyf (x, y) dxdy 2xydxdy
Mx 1 x2xydy —

0 0 12
D
D

Cov(X,Y)
E (XY) E(X)EY) -1
--11
.

12
3 3 36

1

Cov(X,Y) . 36
1

XY
V-D (X)疽D Y)
T
旧2

\'18
\18

19. 设(X, Y)的概率密度为
1 . z —sinx f (x, y )= 2
0,
y),
n 0 x —,0
2
n
y2, 其他.
求协方差Cov (X, Y)和相关系数
【解】E (X)
xf (x, y) dxdy
n/2dx
n/2 x !sinx ,2
y)dy
E(X2)
n
2 dx
0
n 1
2 x2 _sinx
02
y)dy
从而
D (X) E
TE
(X2) [E (X )]2 —
16
2.
同理
n
顷 tdy)
花
16
2.
E (XY)n/2dx
0
n/2 xysinx
0
y)dxdy
Cov(X,Y) E (XY)
E (X) E Y)
n 4"V
Cov(X,Y) xy育废厂质n
4
花n.—2
16 2
(n 4)2
花 8 n 32
8 n 16
n 8n 32
20.已知二维随机变量(X, Y)的协方差矩阵为
1
4，试求Z1=X
2Y和Z2=2X Y的相关
系数.
【解】由已知知：D (X)=1D (Y)=4,CovX,Y)=1.
从而
D (Z ) 1
D (Z )
2
D (X 2Y)
D (2X Y)
D (X) 4D Y)4D (X) D Y)
4Cov(X,Y) 1
4Cov(X,Y) 4
4 4 1 13,
4 4 14,
Cov(Z
Cov(X
2Y,2X Y)
2Cov(X ,X) 4Cov(Y,X) Cov(X,Y)2D (X) 5Cov(X ,Y) 2D Y) 2 1 5
2Cov(Y,Y)
1 2 4 5.
Cov(Z"2)5
Z1Z2(OJ ]D%J ,/13 <4
X3.

21. 对于两个随机变量V, W ,若E (V2), E (W2)存在，证明：
[E(VW )] 2题(V2) E (W 2).
这一不等式称为柯西许瓦兹(Couchy Schwarz )不等式.
【证】令g(t) E (V tW]2},t R.
显然
0 g (t) E [V tW)2] E V 2 2tVW t2W 2]
E V 2] 2t E VW ] t2 E W 2], t R.
可见此关于七的二次式非负，故其判别式△VO
即 0[2E VW )1 4E W 2) E V2)•
4([E VW )1 E V 2) E W 2)).
故[E VW )》E V 2) E W 2)).
22. 假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数*1/5的指数分布.设备定时开机，出现 故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障 工作的时间Y的分布函数F (y).
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间
X~E (M X)=-=5.
依题意 Y=min(X,2).
对于 y<0,f(y)=P (Y §)=0.
对于 y〉2F(y)=P(Xm)=1.
对于0旬<2，当x>0时，在(0x)内无故障的概率分布为
P(X《)=1 e入#所以
F(y)=P(Ym)=P(min(X,2)y}=P(X§)=1 e y/5.
23. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装 有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数Z的数学期 望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
【解】(1) Z的可能取值为0, 1, 2, 3, Z的概率分布为
C k C 3 k
因此，E (Z)
P(Z k) 3C 3 , k 0,1, 2,3.
Z=k
0
• 1
2
3
Pk
1
20
9
20
9
20
1
20
6
0 -£1-9 2 -9 3 -1
20202020
3
2

⑵设A表示事件 从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有
P (A)
P (Z k) P (A |Z k)

— 9192131 .
2020 6 20 6 20 6 4
24. 假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （目1），内径小于10或 大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已 知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X有如下关系
1, 若X 10,
T= 20,若 10 X 12,
5, 若X 12.
问：平均直径取何值时，销售一个零件的平均利润最大?
【解】E （T）
P{X 10} 20P{10 X 12} 5P{X 12}
P{X u 10 u} 20P{10 u X u 12 u} 5P{X u 12 u} (10 u) 20[ (12 u)(10 u)] 5[1(12 u)]
25 (12 u) 21 (10 u) 5.
故
^!^25 (12u)( 1) 21 (10u)(1)=令=0(这里(x)_^ex2/2),
du2
得25e (12 u)2/221e (10 u)2/2
两边取对数有
ln25 1 (12 u)2ln21 1 (10 u)2.
2 2
1 251
解得u11_ln—11_ln1.1910.9128毫米)
2 212
由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.
25. 设随机变量X的概率密度为
1 x八 -cos-, 0 x 、2其他.
对X独立地重复观察4次，
（ 22研考）
用Y表示观察值大于n/的次数，求Y2的数学期望.

1, x n,
【解】令 Y3(i 1,2,3,4)
「。，x ?
则 Y 4Y ~ B(4,p).因为i
i 1
p p{x n 1 p{x n 及 p{x n ”3*扣；,
所以E Y)
i
1,D Y) i,E Y) 2 i 4
2,
D Y) 4
1 EY2) (EY )2,
从而E Y2)
DY) [EY)1
22
5.

(T)及方差D (T).
26. 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T(=1,2)服从参数为5的指数分布，首先 开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的 总时间T=T1+T2的概率密度£(t),数学期望E
【解】由题意知：
f (t)
i
5e
0,
5t,
0,
0.

因T1?T 2独立，所以£(0=眼0*弓(0.
当 t<0 时，f；(0=0;
当t》0时，利用卷积公式得
f (t)
T
故得
f (x)
1
f (t
2
x) dx
t5e 5
0
x 5e 5(t x)dx 25te 5t
f (t)
T
25te 5t, t 0,
•0,
0.

由于Ti~E (5)故知E(Ti)=j,D们)=赤 因此，有 E(T)=E(T1+T2)=2.
(i=1,2)
又因T1?T2独立，所以。(T)=D(L+T2)=M.
1 2 12 25
27. 设两个随机变量X, Y相互独立，且都服从均值为0, 量X 丫|的方差.
方差为1/2的正态分布，求随机变

【解】设Z=X Y,由于X N 0,
0,
且X和Y相互独立，故Z~N 因
(0, 1).
D (X Y|)
D(Z|)
E (|Z
2)
[E (|Z |)2]
E (Z2)
[E (Z)J,
E (Z2) D (Z) 1,E (|Z |)
|Z£
z2 /2dz

22
E o &力也闩’
2
所以D (|X Y |) 1 —.
n
28. 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1),各产品合格与否相互独立，当出现 一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求E
(X)和 D (X ).
故 E (X)
iqi1p p ( qi)
(1 q)2
【解】记q=1 P,X的概率分布为P {X = i}=qi ip,i=1,2,..,

又 E (X2)
i2qi1p
(i2i)qi 1 p
iqi 1p

i 1i
2
i 1

pq( qi)-
i 2
2pq 1
1 一 q2
—pq 7
p 1 q
1 q 2 p
1
p

(1 q)3 p
p2p2

所以
D (X) E (X
2) [E (X )1
-_p上 p2p2
1 p
p2
i 1
i 1

题29图
29. 设随机变量X和Y的联合分布在点(0, 1), (1, 0)及(1, 1)为顶点的三角形区域上 服从均匀分布.(如图)，试求随机变量U=X+Y的方差.
【解】D U)=D (X+Y)=D (X)+D (Y)+2Cov(X,Y)
=D (X)+D (Y)+2E (XY) E (X) E (Y)].
由条件知X和Y的联合密度为 (x, y) G,
t 0.
f(x, y)
2,
0,
从而f (x)
X
因此
f (x, y) dy
E (X)
1 xf (x)dx
0 X
G {(x, y) |0 x 1,0 y 1, x y 1}.
1 2dy 2x.
1 x
，一一 3 一 ， 、 ，一一 1
12x2dx —,E (X 2) 12x3dx —,
0 2 0 2

、、、1 41
D (X) E (X 2) [E(X)1 _ _ __.
2 9 18
_3 一、 1
同理可得 EY)矿DY)--.
218

E (XY)
2xydxdy 2 1xdx 1 ydy
01 x
G
5
12,

Cov(X,Y)
,…54
E (XY ) E (X) E Y)—-
12 9

1
36,
于是

D U ) D (X Y) -1
18
1
18
2
36
30.设随机变量U在区间［2,2止服从均匀分布，随机变量
1
18

1,若U
1,
1,若U 1,
X
1,若U
1,
Y=“
1,若U1.

试求(1)X和Y的联合概率分布；(2)D (X+Y).
1),(1,1),(1,1)
【解】(1)为求X和Y的联合概率分布，就要计算(X,Y)的4个可能取值(1, 及(1,1的概率.
P{x= 1,Y= 1} =P (U < 1,U <1)

P (U
1}1牛
4
1至1
2 44
P (X= 1,Y=1}=P (U <
P (X=1,Y= 1} =P (U >
P( 1
1,U>1}=P (
1,U <1}
U 1}1
1
}=0,
dx 1
T 4
P (X
1,Y 1}
P (U 1,U
1} pu 1}号 4
故得X与Y的联合概率分布为

(1, 1) ( 1,1) (1, 1) (1,1)
(X,Y)
1011.
424
⑵因D(X Y) E [(X
Y )2] [E (X Y)》,而 X+Y 及(X+Y )2
的概率分布相应

为

2
0
2
0
4

X Y
-
1
1
1 , (X Y)2
1
1 .

4
2
4
2
2
从而E (X
Y)
(2)
1
2
1
0,

4

4

E [X
Y)
2] 0
1
4
1
2,

2

2

所以。(X
Y)
E [X
Y)2]
[E
(XY)J 2.

31. 设随机变量X的概率密度为附*^, ( 8«<+8)
⑴求E (X)及D (X);
(2) 求Cov(X,X|)并问X与火是否不相关?
(3) 问X与火是否相互独立，为什么？
【解】(1)E (X )
x ie xdx 0.
2
D (X)
(x 0)2
—e xdx 0 x2e xdx 2.
2 0

(2) Cov(X, X) E (X
|X |) E (X) E (|X |) E (X |X |)
x |x | —e xdx 0,
•2••
所以X与火互不相关.
(3)为判断X 与 X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域
8<x<+8中的子区间(0,+8)上给出任意点乂。，则有

{ x X x} {|X

| x}
0
{X x}.
0
所以0 P{|X
故由
P {X
| x} P {X x} 1.
x,|X| x} P{|X | x}
0
P{|X
| x} P{X x}

得出X与X不相互独立
32. 已知随机变量X和Y分别服从正态分布N (1, 32)和N (0, 42),且X与Y的相关系数
辱=1/2，设 7=亏 ~2、
(1) 求Z的数学期望E (Z )和方差D (Z);
(2) 求X与Z的相关系数陌；
(3) 问X与Z是否相互独立，为什么？
XY
【解】(1) E (Z) E ——
3 2

D (Z) D
X D Y
32
X Y 2Cov ——,— 3 2

1
9 1 16 2
1 1Cov(X,Y),

9
4
3 2
而
Cov(X,Y)
XY
寸D (X)、；D (Y)
1 -346
2

所以
D.(Z)1 4 6 1 3.
3
'、X Y11
⑵因 Cov(X ,Z) Cov X,— - -Cov X ,X -Cov X ,Y
3 232
1, 、 1 , 、 9
-D (X) — ( 6) —-3=0, 323
COV(X,Z) 八
所以0.
XZ侦D (X) (D (Z)
(3)由 0 ,得X与Z不相关.又因Z ~ N -, 3 , X ~ N (1,9),所以X与Z也
XZ3
相互独立.
33. 将一枚硬币重复掷n次，以X和丫表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系
XY
【解】由条件知X+Y=n，则有。(X+Y)=D (n)=0.
再由 X~Bn,p) Y~Bn,q)，且 p=q=2，
从而有D (X) npq 4 DY)
所以 0 d (X Y) d (X) DY) 2 xyJHX)JTY7
34.设随机变量
nn
-2 xy 4,故 xy= 1.
X和Y的联合概率分布为.

*
1.01
0
1
0. 070.180.15
0.080.320.20
试求X和Y的相关系数p
【解】由已知知EX)=0.6EY)=0.2而XY的概率分布为

YX
1
0
1
P
0.08
0.72
0.2

所以 E (XY )= 0. 08+0.2=0.12
Cov(X,Y)=E XY) EX)E(Y)=0.12 0.6 0.2=0
从而=0
XY
35. 对于任意两事件A和B, 0<P (A)<1, 0<P(B)<1则称
P AB P(A) P (B) _、
/ .__为事件A和B的相关系数.试证:
VP (A)P (B)P (A)P (B)
(1) 事件A和B独立的充分必要条件是伊0;
(2) 旧<1.
【证】(1)由P的定义知，p=0当且仅当PAB) PA)P(B)=0.
而这恰好是两事件A、B独立的定义，
即p=0是A和B独立的充分必要条件.

⑵引入随机变量X与Y为
1,若A发生,
0,若A发生;
1,若B发生,
0,若B发生.

由条件知，X和Y都服从0 1分布，即
0101
XY
1 P (A) P (A)1 P (B) P (B)
从而有 E(X)=P A)E Y)=P B),
D(X)=P A) P (A)D Y)=p (B) p (B ),
Cov(X,Y)=P AB) P A) P B)
所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相 关系数的基本性质可得Ipl <1.
36. 设随机变量X的概率密度为
y,1 x 0,
\
fX (x)= -4, 0 x 2,
0, 其他.
令Y=X2，F (x,y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数，求:
(1) Y的概率密度fY(y);
(2) Cov(,Y);
(3) F ( 1,4).
Li
解：(1) Y的分布函数为
F (y) P(Y y} P(X 2 y}.
Y
当y <0时，
(y) 0
f (y) 0 ；
Y

当0<y<1时
F (y)
Y
P{

f (y)
Y
当1旬<4时
(y) P{ 1 X
0} P {0
f (y)
Y
1
券;

当y》4时，Fy (y)
故Y的概率密度为
1, f (y) 0.
Y
-t,0 y 1, 膈y
fY(y) 0-L,i y 4,
0,其他.
(2)
E (X )= + xf (x)dx0!xdx2ixdx 1
-X-1 20 44'
E Y)=E (X 2)= + x2 f (x)dx0 — x2dx2— x2dx —)
-X-1 20 46 '
一,、.1」7
E (XY )=EY 2)= x3 f(x)dx0 — x3dx2 — x3dx—,
-X-1 20 48'
故
2
Cov(X'Y) =E (XY)-E (X) E (Y)= 3.
(3)
F ( !, 4) P{Xi,Y 4} P{X i,X 2 4}
222
P{X !, 2 X 2} P{ 2 X!}
22
P{ 1 X 1} 1
24