复变函数的极限(复变函数).ppt

*,*,数学学院,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一章 复数与复变函数,第二节 复变函数的极限与连续性,作业：P30,1,8,;22(,2,4,6,8,10,),;24,；26;,30,。,1,2.1,复平面上的区域,邻域,内点,开集,全体内点构成的集合,内部,int,D.,边界点,中，既有属于,D,的点，又有不属于,D,的点.,边界,邻域,边界点,边界,外部,2,闭区域,有界区域和无界区域,区域,D,邻域,区域,连通的开集,单连通域与多连通域,单连通域,多连通域,区域,D,区域,D,3,(1),圆环域,:,例,1,判断下列区域是否有界,?,(2),上半平面,:,(3),角形域,:,(4),带形域,:,解,(1)有界域,(,2,)无界域,(,3,)无界域,(,4,)无界域,4,如果,x,=,x,(,t,),y,=,y,(,t,)(,a,t,b,),为连续函数时,连续曲线,光滑曲线,均连续，且,简单曲线或约当曲线,没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线,.,5,例,2,指出下列不等式所确定的点集,是否有界,?,是否区域,?,如果是区域,单连通的还是多连通的,?,解,6,2.2,复变函数的概念,设,G,是复平面上的点集,若对任何,z,G,都存在惟一确定的复数,w与 z,相对应,称在,G,上确定了一个,单值复变函数,，用,w,=,f,(,z,)表示.,G,称为函数的定义域，对应于,z,的所有,w,的全体称为函数的值域,.,定义,1,（复变函数）,复变函数与自变量之间的关系,7,映射,由于一个复变函数反映了两对变量,u,v,和,x,y,之间的对应关系，,因而无法用同一平面内的几何图形来表示，,必须看成是两个,复平面上的点集之间的对应关系,.,两个特殊的映射,关于实轴的对称映射，而且对应图形是全同的,.,将一个幅角为 的角形域映射为幅角 为的角形域,反函数（一一对应、单叶函数）,8,例3,在映射 下，求下列平面点集在,w,平面上的像：,（,1,）线段,还是线段,（3）双曲线,一条直线,（2）扇形,还是扇形,解,（,1,）线段,（2）扇形,（3）双曲线,9,例,4,设有函数 ，试问它把,z,平面上的下列曲线分别映成,平面上的什么曲线？,解,10,关于复变函数的几点说明：,（1）复变函数的定义在,形式,上与实一元函数的定义几乎完全一致,但反映试问实质则不同。复变函数反映的是,z,平面上的点集与,平面上点集间,的对应关系，而实一元函数反映,两个实轴上,的,点集间的对应关系，只需用平面上的一条曲线就可以直观地表,示，显然要简单地多。,（2）相当于两个实二元函数,讨论一个复变函数的极限和分析性质可借助于实二元函数,中相应的理论.,11,12,2.3,复平函数的极限与连续性,设复变函数,w,=,f,(,z,),在,z,0,的某个去心邻域内 有定义,A,是复常数,.,若对任意给定的,存在,使得当 时,恒有,成立,则称当,z,趋于,z,0,时,f,(,z,),以,A,为极限，并记作,或,13,复变函数极限的性质,（,1,）唯一性,（,2,）有界性,（,3,）有理运算法则,注意：,因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变函数,的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复杂得多，,要求也苛刻的多。,定理,1.1,（极限计算）,设函数,14,例5,当,z,0,时,函数,极限不存在,.,方法,1.,沿,方法,2.,沿不同射线,注,：复变函数无穷小也是指极限为0的变量。,解,15,复变函数的连续性,设,f,(,z,),在,z,0,的邻域内有定义,且,则称,f,(,z,),在,z,0,处,连续,.,若,f,(,z,),在区域,D,内的每一点都连续，则称,f,(,z,),在,区域,D,上连续,.,定理,1.2,设,则,f,(,x,),在,处连续的充分必要条件是,都在,点连续,.,连续函数的性质：,（,1,）连续函数的和、差、积、商（分母不为,0,）,是,连续,函数;,（,2,）,连续函数的,复合函数,是,连续,函数.,16,例,6,试证 arg,z,在原点与负实轴上不连续.,解,17,例,7,映射 ，求圆周的 像.,从,x,y,之间的关系，找,u，v,之间的关系,方法小结：,解,18,例,8,试证 不存在.,用二重极限的理论,方法求极限,方法小结：,解,极限不存在,19,同学们辛苦了,20,