人口预测与数据曲线拟合.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Mathematics Laboratory,阮小娥博士,Experiments in Mathematics,赵小艳,数学实验,办公地址：理科楼,218,1,实验,13,人口预测与数据拟合,2、了解利用最小二乘法进行数据拟合的基本思想，掌握用数据拟合法寻找最佳拟合曲线的方法。,3、了解多元函数的极值在数据拟合法中的应用。,实验目的,1,、学会用,MATLAB,软件进行数,据拟合。,4,、通过对实际问题进行分析研究，初步掌握建立数据拟合数学模型的方法。,2,据人口统计年鉴，知我国从,1949,年至,1994,年人口数据资料如下：,(,人口数单位为：百万,),（,1,）在直角坐标系上作出人口数的图象。,（,2,）建立人口数与年份的函数关系，并估算,1999,年的人口数。,实验问题,年份,1949,1954,1959,1964,1969,人口数,541.67,602.66,672.09 704.99,806.71,年份,1974,1979,1984,1989,1994,人口数,908.59,975.42 1034.75,1106.76,1176.74,3,如何确定,a,b?,线性模型,4,1 曲线拟合问题的提法:,已知一组（二维）数据，即平面上的,n,个点,),(,i,i,y,x,，,i,x,n,i,2,1,L,=,互不相同，寻求一个函数（曲线）,),(,x,f,y,=,，,使,),(,x,f,在观测点,x,处所取得值,f(x),分别与观察值,y,在某种,x,y,0,+,+,+,+,+,+,+,+,一、曲线拟合,准则下最为接近，即曲线拟合得最好，如图,5,从几何上讲，并不要求曲线严格通过已知点，但要求曲线在各数据点和已知数据点之间的总体误差最小，通常称为,数据拟合。,达到最小。,最小二乘准则,而我们经常是确定,f(x),使得偏差平方和,6,数据插值,已知一组（二维）数据，即平面上的,n,个点,),(,i,i,y,x,，,i,x,n,i,2,1,L,=,互不相同，寻求一个函数（曲线）,),(,x,f,y,=,数据插值,7,.用什么样的曲线拟合已知数据?,常用的曲线函数系,ri(x),类型：,）画图观察；,）理论分析,指数曲线：,双曲线（一支):,多项式：,直线：,8,例如,指数函数拟合,三角函数拟合,多项式拟合,9,拟合函数组中系数的确定,10,4,用,matlab,软件进行数据拟合,（,1,）,lsqcurvefit,命令,-,最小二乘拟合,a=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata),a,resnorm=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata),是根据给定的数据,xdata,ydata,，,按照函数文件,fun,给定的函数，以,x0,为初值做最小二乘拟合，返回函数中的系数向量,a,和残差平方和,resnorm,。,11,例,首先编写函数文件,function y=f(a,x),f=a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3,保存为,f.m,，其次调用该函数,x=0:0.1:1;,y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17;,a0=0 0 0;,x,resnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y),12,也可以用,inline,命令定义函数,x=0:0.1:1;,y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17;,f=inline(a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3,a,x);,a0=0 0 0;,a,resnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y),plot(x,y,*),hold on,g=a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3;,plot(x,g,r-),13,a,=polyfit(xdata,ydata,n),其中,n,表示多项式的最高阶数,xdata,，,ydata,为要拟合的数据，它是用向量的方式输入。,输出参数,a,为拟合多项式,y=a,n,x,n,+a,1,x+a,0,的系数,a,=,a,n,a,1,a,0,。,多项式在,x,处的值,y,可用下面程序计算。,y=polyval(,a,x),由于高次多项式曲线变化不稳定，所以多项式次数的选取不,宜过高,。,(2),polyfit,命令,-,多项式曲线拟合,14,例如,clear;clc;,x=0:0.1:1;,y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66,9.56,9.48,9.3,11.2;,plot(x,y,k.,markersize,25);,axis(0 1.3-2 16);,p3=polyfit(x,y,3),p6=polyfit(x,y,6),t=0:0.01:1.2;,s=polyval(p3,t);,s1=polyval(p6,t);,hold on,plot(t,s,r-,linewidth,2);,plot(t,s1,b-,linewidth,2);,grid,15,16,二、人口预测线性模型,对于开始提出的实验问题,代如数据，计算得,从而得到人口数与年份的函数关系为,把,x=1999,代如，估算出,1999,年的人口数为,y,=1252.1,（百万）,12.52,亿,1999,年实际人口数量为,.,亿。,线性预测模型,17,英国统计学家,Malthus,于1798年提出了一种关于生物种群繁殖的,指数增长模型,：假设种群数量的增长率与该时刻种群的个体数量成正比。,三、人口预测的,Malthus,模型,基本假设,:,人口,(,相对,),增长率,r,是常数,x,(,t,),时刻,t,的,人口,t,=0,时人口数为,x,0,指数增长模型,实际中，常用,18,1.由前100年的数据求出美国的人口增长,Malthus,模型,。,2.预测后100年（每隔10年）的人口状况。,3.根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人口模型的改进情况。,美国1790年1980年每隔10年的人口记录,226.5,204.0,179.3,150.7,131.7,123.2,106.5,92.0,76.0,62.9,人口(百万),1980,1970,1960,1950,1940,1930,1920,1910,1900,1890,年份,50.2,38.6,31.4,23.2,17.1,12.9,9.6,7.2,5.3,3.9,人口(百万),1880,1870,1860,1850,1840,1830,1820,1810,1800,1790,年份,例,19,解：,取得最小值.,其中,表示人口数量,。,表示年份,解方程组:,即得参数,的值.,使得,问题转化为求参数,20,%,This program is to predict the number of population%,format long,t1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;,t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;,x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;,x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;,lnx1=log(x1);lnx2=log(x2);,21,a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.2);d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2;ab=inv(A)*D;,disp(a=);disp(ab(1);disp(b=);disp(ab(2);,for,i=1:10 xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i);,end,for,i=1:10 xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i);,end,plot(t1,x1,r*-,t2,x2,r*-,t1,xx1,b+-,t2,xx2,b+-,，,linewidth,3,markersize,10,);,22,a=-49.79535457790735,b=0.02859807120038,仿真结果表明：,人口增加的指数模型在短期内基本上能比较准确地反映人口自然增长的规律，但长期预测误差很大，需要修正预测模型。,拟合曲线,原始数据曲线,23,四、人口预测的,Logistic,模型,如果人口的增长符合,Malthus,模型，则当,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,1838,年，荷兰生物学家,Verhulst,对,Malthus,模型作了进一步分析后指出：,导致上述不符合实际情况的主要原因是未能考虑“密度制约”因素。,即最终导致地球上人口爆炸，这与实际是不相符的。,且阻滞作用随人口数量增加而变大,r,是,x,的减函数,24,假设,r,固有增长率,(,x,很小时,),k,人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,例的,Logistic,模型留给同学们练习,25,a=1.0e+006*,-0.00000000000014,0.00000000107892,-0.00000304878595,0.00381927346813,-1.79012132225427,红色的是原始数据曲线,蓝色的是,4,次多项式拟合曲线,仿真结果表明,人口增加的模型用多项式拟合能比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预测具有指导意义。,五、人口预测的多项式模型,-zhao105,26,例,2:,海底光缆线长度预测模型,某一通信公司在一次施工中,需要在水面宽为20,m,的河沟底沿直线走向铺设一条沟底光缆.在铺设光缆之前需要对沟底的地形做初,B,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,9,8,6,4,2,0,A,D,C,探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示.,25,步探测,从而估计所需光缆的长度,为工程预算提供依据.基本情况如图所示.,27,10.93,10.80,9.81,8.86,7.95,7.95,9.15,10.22,11.29,12.61,13.32,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,13.28,12.26,11.18,10.13,9.05,8.02,7.96,7.96,8.96,9.01,深度,(,m),9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,分点,21个等分点处的深度,(1)预测通过这条河沟所需光缆长度的近似值.,(2)作出铺设沟底光缆的曲线图.,28,解：用,12,次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下,仿真结果表明,拟合曲线能较准确地反映光缆的走势图.,The length of the label is,L=,26.3809,(m),假设所铺设的光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地走势光滑,紧贴地面,并且忽略水流对光缆的冲击.,29,%,prog45.m This program is to fit the data by polynomial%,format long,t=linspace(0,20,21);,x=linspace(0,20,100);,P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;,a,s=polyfit(t,P,12);,yy=polyval(a,x);,disp(yy=);disp(yy);,plot(x,yy,r*-,t,P,b+-);,L=0;,for,i=2:100,L=L+sqrt(x(i)-x(i-1)2+(yy(i)-yy(i-1)2);,end,disp(The length of the label is L=);disp(L);,30,上机任务,李继成（书）,Page 194,练习,1,第,2,题,Page 198,练习,2,第,2,题,朱旭（书）,1 Page 127,上机练习题中任选,1,题,2,已知观测数据如下，求,a,，,b,，,c,的值，使得曲线,f(x)=aexp(x)+bsin(x)+cln(x),与已知数据点在最小二乘意义下充分接近。,x,1.6,2.7 1.3 4.1 3.6 2.3 0.6 4.9 3 2.4,y,17.7 49 3.1 189.4 110.8 34.5 4 409.1 65 36.9,31,THANK YOUR ATTENDING,32,