切线的性质定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,切线的性质,1,复习回顾,1.切线的判定定理,2.切线的判定方法：,（）定义,（）切线的判定定理.,(2)d,=,r,直线与圆相切,已知直线过圆上一点：,(连半径，证垂直）,不明确直线是否过圆上一点：,(作垂直，证半径）,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。,2,F,拓展应用：,1.在RtABC中,B=90,A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作D.,试说明:AC是D的切线.,3,课前训练,1.如图，O的半径OAOB，点D在OB的延长线上，连接AD交 O于Q，过点Q作直线PQ交OD于点C，若CD=CQ。求证：PQ是 O的切线。,4,已知：如图，同心圆O，大圆的弦 AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E 求证：CD是小圆的切线,5,如图，已知O中，AB是直径，过B点作O的切线BC，连结CO若 ADOC交O于D 求证：CD是O的切线,通过,证明三角形全等,证明垂直.,6,如图，AD是BAC的平分线，P为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.,A,B,D,C,P,O,通过证明两角互余，证明垂直的,7,如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M 求证：DM与O相切.,通过证平行来证明垂直的,D,8,如图，已知：,AB,是,O,的直径，点,C,在,O,上，且,CAB=30,0,，,BD=OB,，,D,在,AB,的延长线上,.,求证：,DC,是,O,的切线,根据圆周角定理的推论3证明垂直的,9,如图，AB是O的直径,CDAB，且OA,2,=ODOP.求证：PC是O的切线.,根据圆周角定理的推论3证明垂直的,10,已知：如图，AC，BD与O切于 A、B，且ACBD，若COD=90,0,.求证：CD是O的切线.,根据,综合运用解题,11,.,O,A,L,反过来,如果L是O,的切线,切点为A,那么,半径OA与直线L是不,是一定垂直呢?,如何证明？,圆的切线垂直于过切点的半径,探索新知,切线的性质定理:,M,假设L与OA不垂直，过O作OML，垂足为M，根据“垂线段最短”的性质，有OMOA。这就是说圆心到直线L的距离小于半径，于是L就要与,O相交，这与L是O的切线相矛盾。,12,如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分DAB,例题选讲,13,例：,AB是O的弦,C是O外一点,BC是O的切线,AB交过C点的直径于点D,OACD,试判断BCD的形状,并说明你的理由.,例题选讲,14,1、AB是O的直径,AE平分BAC交O于点E,过点E作O的切线交AC于点D,试判断AED的形状,并说明理由.,随堂训练,15,2、AB是O的直径,CD切O于C，AECD，BC延长后与AE的延长线交于F，AF=BF，求A的度数。,随堂训练,16,4、如图，AB是O的直径,O交BC于点D,过点D作O的切线DE交AC于点E,且DEAC，由上述条件，你能推出的正确结论有_.,随堂训练,ADB=90,B=C,AB=AC,CD=DB,C=EDA,EDA=B,CAD=BAD,17,如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30,O,方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些城市要做抗台风准备？,拓展应用,18,P,A,B,C,D,台风路经范围如图所示,19,、切线和圆只有一个公共点。,、切线和圆心的距离等于半径。,、切线垂直于过切点的半径。,、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。,、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,切线的性质归纳,6、经过切点的直径与切线垂直。,20,如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个,(1)垂直于切线；,(2)过切点；,(3)过圆心,推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心,切线的性质定理:,圆的切线垂直于过切点的半径,21,已知：,直线a与圆o相切于点M,直线b经过点M且垂直于直线a。,求证：,直线b经过圆心o,证明：,假设直线b经不过圆心o，连接OM,则OM与直线b交于点M,因为直线a与圆o相切于点M,所以OM直线a，又因为直线b直线a，所以OM直线b（平面内垂直于同一条直线的两条直线平行），这与“OM与直线b交于点M”矛盾，所以，直线b经过圆心o。即经过切点垂直于切线的直线必过圆心.,22,求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。,已知：AB、CD是O的两条切线，E、F为切点,且ABCD,求证：连结E、F的线段是直径。,证明：,连结EO并延长,AB切O于E，OEAB，ABCD，OECD,CD是O切线，F为切点，,OE必过切点F,EF为O直径,23,已知:AB是半O直径，CDAB于D，EC是切线，E为切点 求证：CE=CF,E,B,D,O,C,F,A,24,O,。,A,B,P,过圆外一点可以引圆的几条切线？,切线长,25,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做,这点到圆的切线长。,O,P,A,B,切线,与,切线长,是一回事吗？,它们有什么区别与联系呢？,切线长概念,切线:,不可以度量。,切线长：,可以度量。,比一比,B,26,O,A,B,P,思考,：,已知O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?,1,2,27,请证明你所发现的结论。,A,P,O,B,PA=PB,OPA=OPB,证明：,PA，PB与O相切，点A，B是切点,OAPA，OBPB,即,OAP=OBP=90,OA=OB，OP=OP,RtAOPRtBOP(HL),PA=PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所发现的结论,证一证,28,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,几何语言:,反思,：切线长定理为证明,线段相等,、,角相等,提供新的方法,O,P,A,B,切线长定理,29,A,P,O,B,若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：,PA，PB是O的切线,点A，B是切点,PA=PB OPA=OPB,PAB是等腰三角形,，PM为,顶角,的平分线,OP垂直平分AB,M,试一试,30,A,P,O,。,B,若延长PO交O于点C，连结CA、CB，,你又能得出什么新的结论?并给出证明.,CA=CB,证明：,PA，PB是O的切线,点A，B是切点,PA=PB OPA=OPB,PC=PC,PCA PCB,AC=BC,C,31,探究：,PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（3）写出图中所有相等的线段,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC,AE=BE,32,已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求PEF的周长。,E,A,Q,P,F,B,O,易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=,PB=PA,=12cm,周长为24cm,例题1,33,变式：,如图所示PA、PB分别切,圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于,C、D，已知PA=7cm，,(1)求PCD的周长,(2)如果P=46,求COD的度数,C,O,P,B,D,A,E,34,三角形内切圆,思考,作圆：使它和已知三角形的各边都相切。,和三角形各边都相切的圆叫做,三角形的内切圆,，内切圆的圆心叫做三角形的,内心,，这个三角形叫做,圆的外切三角形,。,和多边形的各边都相切的圆叫做,多边形的内切圆,，这个多边形叫做,圆的外切多边形,。,35,例题,在ABC中，ABC=50,0,，ACB=75,0,，点O是内心，求BOC的度数。,36,例2,、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P，,求证：AD+BC=AB+CD,D,L,M,N,A,B,C,O,P,证明：由切线长定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC，,DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,补充：,圆的外切四边形的两组对边的和相等,例题2,37,例3,ABC的内切圆,O,与BC、CA、AB分别相切于,点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，,求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm),BD=y(cm),CEz(cm,),AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).,O与,ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,则有,xy9,yz14,xz13,解得,x4,y5,z9,例题3,38,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为,r,ABC的周长为,l,求ABC的面积,S.,解：,设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,S,ABC,S,AOB,S,BOC,S,AOC,ABOD,BCOE,ACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为,S,，,则ABC的内切圆的半径,r,结论,2,S,abc,三角形的内切圆的有关计算,思考,39,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb,ABc,O,为RtABC的内切圆.求：RtABC的内切圆的半径,r.,设AD=,x,BE=,y,CE,r,O,与RtABC的三边都相切,AD,AF,BE,BF,CE,CD,则有,xrb,yra,xyc,解：,设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB,。,解得,r,abc,2,结论,设,RtABC,的直角边为a、b，斜边为c，则RtABC的,内切圆的半径,r,或r,abc,2,ab,abc,变式,40,O,A,B,C,D,E,F,O,A,B,C,D,E,思考,：如图，AB是O的直径，,AD、DC、BC是切线，点A、E、B,为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.,41,例1、已知：P为O外一点，PA、PB为O的,切线，A、B为切点，BC是直径。,求证：ACOP,P,A,C,B,D,O,例题讲解,42,练习,.如图，ABC中,C=90,它的,内切圆O分别与边AB、BC、CA相切,于点D、E、F，且BD=12，AD=8，,求O的半径r.,O,E,B,D,C,A,F,43,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4,O,为RtABC的内切圆.（1）求,RtABC,的内切圆的半径,.,（2）若移动点,O,的位置，使,O,保持与ABC的边AC、BC都相切，求,O,的半径,r,的取值范围。,设AD=,x,BE=,y,CE,r,O,与RtABC的三边都相切,AD,AF,BE,BF,CE,CD,则有,xr4,yr3,xy5,解：,（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4,AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD,RtABC,的内切圆的半径为1。,44,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径,r,的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,45,基础题：,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.,2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O,于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,46,课堂小结,圆的切线垂直于过切点的半径,切线的性质定理:,47,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,想一想,48,例1,已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C.,（1）写出图中所有的垂直关系；,（2）写出图中所有的全等三角形.,（3）如果 PA=4 cm,PD=2 cm,求半径 OA 的长.,A,O,C,D,P,B,E,解：,(1)OAPA,OBPB,OPAB,(2)OAP OBP,OCAOCB,ACPBCP.,(3)设 OA=x cm,则 PO=PD+x=2+x(cm),在 RtOAP 中，由勾股定理，得,PA,2,+OA,2,=OP,2,即 4,2,+x,2,=(x+2),2,解得 x =3 cm,所以，半径 OA 的长为 3 cm.,49,