2025届河南省南阳市高三11月期中考-数学试题（含答案）.docx

-

{
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2
024 年秋期高中三年级期中质量评估
数学参考答案及评分细则
评分说明：
本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
一､选择题：BDBC
ABAC
10. AC
二､选择题：9. BCD
11. ABD
14. ( - ¥ ,1]
三､填空题：12. 63
13. 0
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
1
5.解：（1）因为sin2 A -sin2 B -sin2 C = sin BsinC ，所以由正弦定理得： a2 - b2 - c2 = bc
b
2
+ c2 - a2
1
2
在△ABC 中，由余弦定理得： cos A =
= -
，
2bc
2
p
因为 0 < A < p ，所以 A =
．
…………5 分
3
2
p
（2）若选条件①，因为 c = 7， a = 7 ，所以 C = A =
，与 A + B + C = p 矛盾，
3
此时△ABC 不存在，故条件①不符合要求，不选①；
2
p
3
2
若选条件②，由（1）知 A =
，因为 bsin A =
3 ，所以 b = 3，
…………8 分
3
2
p
由余弦定理得 72 = 32 + c2 - 2c´3´ cos
，解得 c = 5 或 c = -8 （舍去）
…………11 分
3
1
1
2p 15 3
所以△ABC 的面积为 S = bcsin A = ´ 3´ 5´ sin
=
．
…………13 分
2
2
3
4
1
1
5 3
若选条件③，因为 cosC = ，所以 sinC = 1- cos2 C =
，
…………7 分
1
4
14
a
c
a
7
5 3
在△ABC 中，由正弦定理得
=
，所以 c =
×sinC =
´
= 5 ，
…………9 分
2p 14
sin A sinC
sin A
sin
3
又 sin B = sin(A + C) = sin AcosC + cos AsinC = 3´ + (- )´
11
1
5 3 3 3
=
，
…………11 分
2
14
3 3 15 3
2
14
14
1
1
所以△ABC 的面积为 S = acsin B = ´ 7´ 5´
=
.
…………13 分
2
2
14
4
1
6.解：（1）因为{a }是首项为 1 的等比数列且 a ， a + ， 4a3 成等差数列，设{an}的公比为 q q ¹ 0 ，
(
)
1
n
1
2
2
æ
è
1 ö
æ
è
1 ö
2 ø
1
2
2
ça + ÷ = a + 4a
2çq + ÷ =1+ 4q2
q =
q = 0
（舍去）.
所以
，所以
，解得：
或
2
1
3
2
ø
1
所以 a = ( )n-1
，
…………4 分
n
2
nan
2
n
2n
所以bn =
=
.
…………5 分
第 1页，共 4页
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1
1
´(1-
)
1
2
n
（2）证明：由（1）可得
S
=
=
2(1- ) .
…………7 分
n
1
n
2
1
-
2
1
2
n -1
n
数列{ }的前 项和
b
n
T =
n
+
+L+
+
，①
n
22
n-1
n
2
2
2
1
1
2
n -1
2n
n
2n+
所以 T =
+
+L+
+
.②
n
2
3
1
2
2
2
1
2
1
2n
1
(1-
)
n
2n+1
1
n
2n+1
n +2
2n+1
1
1
1
1
1
n
2n+1
②得 T =
+
+
+L+
-
=
-
=
(1- )-
= 1-
，
①
n
2
3
2n
2
n
2
2
2
2
1-
2
2
2n
+ n
所以Tn = 2 -
.
…………13 分
2
+ n
1
2
2 + n
n
所以T - S = 2 -
- 2(1- ) =
-
= - < 0 ，
n
n
n
n
n
2n
2n
2
2
2
所以T < S .
…………15 分
n
n
æ
è
p ö
7.解： f (x) = 4cosçx + ÷cosçx + ÷ - 3
3 ø 2 ø
æ
è
p ö
1
æ
è
p
p ö
3 ø
=
-4çcos xcos - sin xsin ÷sin x - 3
3
=
2 3 sin
2
x - 2sin xcos x - 3
=
=
- 3 cos2x - sin 2x
p ö
æ
-2sinç2x +
…………3 分
…………5 分
÷
è
3 ø
2
p
（
1）函数 f (x)的最小正周期T =
= p .
2
p
p
3p
要求函数 f (x)的单调递增区间，只需 2kp + £ 2x + £ 2kp +
，k∈Z，
2
3
2
p
7p
得 kp + £ x £ kp +
，k∈Z，
1
2
12
é
ë
p
7p ù
ú (k∈Z)．
则函数 f (x)的单调递增区间为 êkp + ,kp +
…………8 分
12
12 û
(2)由(1)得 f (x) = - 3 cos 2x - sin 2x ，所以 f (x) = m - 2sin 2x
可化为
æ
è
p ö
3 ø
则 m＝sin2x－ 3cos2x = 2sinç2x - ÷ .
é
ë
p 7p ù
12 12 û
p
é p 5p ù
ë 6 6 û
又 xÎê
,
ú ，所以 2x - Î ê-
,
ú .
…………10 分
3
æ
è
p ö
3 ø
p
不妨设 g(x) = 2sinç2x - ÷ ，令 t＝ 2x -
，
3
第 2页，共 4页
{
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é
ë
p 5p ù
ú ，
设 h(t)＝2sint，t Î ê-
,
6
6 û
p 5p ù
ú 上恰有两个不同的实数根，
é
ë
方程 m＝h(t)在区间t Î ê-
,
6
6 û
é
ë
p 5p ù
ú 上恰有两个不同的交点．
即直线 y＝m 与函数 h(t)＝2sint 的图象在t Î ê-
,
6
6 û
画出直线 y＝m 与函数 h(t)＝2sint 的图象，如图所示．
由图象得 1≤m<2，即实数 m 的取值范围是[1,2)．
…………15 分
a
1
1
8.解： f (x) = alnx - x + a3 (aÎR)的定义域为 (0,+¥) ， f ¢(x) = -1= (a - x) .
…………2 分
x
x
（1）因为函数 f (x) 在 x =1处的切线与直线 2x - y +1 = 0 垂直，
1
1
2
所以 f ¢(1) = a -1= - ，解得： a =
.
…………3 分
…………4 分
…………6 分
2
1
a
（
2） f ¢(x) = -1= (a - x) .
x
x
①
当 a £ 0 时， f ¢(x) < 0 ，所以函数 f (x) 在 (0,+¥)上单调递减，所以无极值；
当 a > 0时，令 f ¢(x) > 0 得： 0 < x < a ；令 f ¢(x) < 0 得： x > a .
所以函数 f (x) 在 (0,a)上单调递增，在 (a,+¥)上单调递减，
所以 f (x) 的极大值为 f (a) = aln a - a + a
3
.
因为极大值不大于 0，所以 aln a - a + a3 £ 0 .
因为 a > 0 ，所以 ln a + a2 -1£ 0
.
1
记j (a) = lna + a
2
-1,(a > 0)，则j¢(a) = + 2a > 0 ，
a
所以j (a) = lna + a
2
-1在 (0,+¥)上单调递增.
而j (1) = ln1+12 -1= 0 ，所以由 ln a + a2 -1£ 0 可解得 0 < a £1.
a
( ]
即实数 的取值范围为 0,1 .
…………9 分
n
1
1
å
②
记数列{b }的通项公式为b = ，则
为数列{b }的前 n 项和；
n
n
i
n
n
i=1
（数列{a }的前 n 项和 S = ln(n +1)
a + a +L+ a = S
n
（
，即
1
2
n
.
n
n
所以当
n =1时， a = S = ln2
1
1
；
n ³ 2
a = S - S = ln(n +1)- lnn
n-1
当
时，
n
n
；
经检验， an = ln(n +1)- lnn 对 n =1也成立，
n +1
an ln(n +1)- lnn = ln
=
.））…………这部分过程可以不写出
所以
n
由①知：当 0 < a £1时 f (x) = alnx - x + a3 £ 0，所以当 a =1时，有 lnx - x +1£ 0 ，
即 lnx £ x -1（当且仅当 x=1 时等号成立）.
…………12 分
n +1
n +1 n +1
1
n +1
1
所以取 x =
ln
<
-1= ，即 ln
<
.
，则有
n
n
n
n
n
n
当 n 依次取 1，2，3……n，则有： ln1+1 1
< ， ln
2 +1
1
,…， ln
n +1
1
，
<
<
1
1
2
2
n
n
n
i +1 å
n
1
n
1
å
å
<
( + ) <
ln n 1
累加得： ln
…………17 分
，即
.
i
i
i
i=1
i=1
i=1
第 3页，共 4页
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1
9．解：（1）因为 an+2 + 2an+1 + a =Y ，且 a =1,a = 2,Y = 5，
n
1
2
所以 a = 5-2´2-1= 0； a = 5-2´0-2 = 3； a = 5-2´3-0 = -1.
…………3 分
3
4
5
an
2
（
2） f (x) = x2 - an x + an+1 为二次函数，对称轴为 x =
.
因为函数 f (x) 在区间 (1, 2)上无极值点，
an
2
an
2
所以 £1或 ³ 2 ，解得： a £ 2或 a ³ 4，
n
n
所以 an 的取值范围为 (-¥,2]È[4,+¥) .
…………6 分
æ
è
5 ö
æ
è
5 ö æ
5 ö
（
3）因为 an+2 + 2an+1 + a = 5，所以ça - ÷+ 2ça - ÷+ça - ÷ = 0，
n
n+2
n+1
n
4
ø
4
ø è
4
ø
æ
è
5 ö æ
5 ö
éæ
ëè
5 ö æ
5 öù
所以ça - ÷+ça - ÷ = -êça - ÷+ça - ÷ú .
…………8 分
n+2
n+1
n+1
n
4
ø è
4
ø
4
ø è
4
øû
5
1
3
令b = a - ，则b = - ,b = ,所以有b +bn+1 = -(bn+1 +bn ).
n
n
1
2
n+2
4
4
4
1
3
4
1
2
令cn = bn+1 +bn ，则 cn+1 = -c , c = b +b = - +
n 又
=
¹ 0，
1
1
2
4
1
所以数列{c }是以c = 为首项， q = -1为公比的等比数列，
n
1
2
1
( 1)
n-1
.
…………10 分
所以cn c1q
=
n-1
= ´ -
2
1
b
bn
(- )n
1
1
2
b
(- )n
1
1
1
n 1
( 1)
n-1
，所以
-
=
,所以
= +( - )´ = - ，
所以bn+1
+bn = ´ -
n 1
n+1
+
n
n 1
2
(- )
1
4
2
2 4
ì
n
3
-
+ , n为奇数
æ
è
n 1 ö
5
æ n 1 ö ï
2
2
所以bn
=
(-1)
n
ç - ÷ 所以 a = + (-1)n ç - ÷ = í
,
n
.
…………12 分
2
4
ø
4
è
2 4
ø
ïn
+
1,
n为偶数
ï
î2
(a1
+
an-1
)
(a2 + )
n
n
a
n
当 n = 2k 时，
S = S + S =
´
+
´
n
奇
偶
2
2
2
2
é
æ n -1ö 3ù
è
æ
è
n
ö
1+ ç-
÷ + ú
2 ø 2û
ç2 + +1÷
ê
ë
n
2
2
ø n
=
=
´
+
´
2
2
2
3
n
2
;
…………14 分
(a1
+ )
n
(a2
+
an-1
)
a
n 1
+
n 1
-
当 n = 2k -1时，
S = S + S =
´
+
´
n
奇
偶
2
2
2
2
é
æ n ö 3ù
è 2ø 2û n +1 è
n -1
æ
ö
1+ ç- ÷ + ú
ç2 +
+1÷
ø n -1
ê
ë
2
2
=
=
´
+
´
2
2
2
n.
…………16 分
ì
n,
n为奇数
ï
所以 S = í3n
.
…………17 分
n
, n为偶数
ï
î
2
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