结构力学：第六章《结构位移计算》PPT课件.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第六章 结构位移计算,2,A,结构位移计算,第六章 结构位移计算,6,1,概述,6,2,变形体系的虚功原理,6,3,位移计算的一般公式,6,4,静定结构在荷载作用下的位移计算,6,5,图乘法,6,6,静定结构温度变化时的位移计算,6,7,静定结构支座移动时的位移计算,6,8,线弹性结构的互等定理,3,6,1,概 述,1.,变形和位移,在荷载作用下，结构将产生变形,和位移。,变形,：是指结构形状的改变。,位移,：是指结构各处位置的移动。,2.,位移的分类,A,P,A,A,线位移：,角位移：,A,(,A,),Ay,Ax,Ay,Ax,A,绝对位移,相对位移,P,A,B,C,D,C,D,C,D,CD,=,C,+,D,结构位移计算,返 回,C,D,4,3.,计算位移的目的,（,1,）校核结构的刚度。,（,2,）结构施工的需要。,除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、,材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。,结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为,基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论,静定结构的位移计算。,（,3,）为分析超静定结构打,基础。,起拱高度,结构位移计算,返 回,5,6,2,变形体系的虚功原理,1.,功、实功与虚功,A,dW=P,w=,（,a,）,（,1,）功,P,dS,S,B,dS,Cos,dW,=,P,Cos,dS,结构位移计算,返 回,6,常力功,W=,(b),变力功,由,A,B,W=,（,c,）,力偶功,P,P,A,B,（,d,）,d,P,A,B,常力,W=,变力,W=,P,Cos,2,1,P,Cos,M,2,1,M,力由,0,P,M=Pd,结构位移计算,返 回,7,（,2,）实功与虚功,实功：,A,B,P,1,1,虚功：,W=,A,B,P,2,2,力在其它,因素引起的位移上所作,的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系,的两种彼此无关的状态。,例如：,例如：,W,12,=P,1,2,力在本身引起的位移上所作的功。,1,2,结构位移计算,返 回,8,2.,变形体的虚功原理,：,变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小,虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段,上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即,W,外,=W,内,或写成,W=W,i,（,6,1,）,式,(6,1,）称为虚功方程，式中,W,W,i,外力虚功,内力虚功,结构位移计算,返 回,9,A,B,力状态,P,q,M,dS,内力虚功的计算,给定力状态,R,A,R,B,给定位移状态,位移状态,dW,i,=Ndu+Q,dS+Md,W,i,=,微段,dS,上内力的变形虚功为,整个结构内力的变形虚功为,（,6,2),虚功方程为,W=,（,6,3),q,N,N+dN,Q,Q+dQ,M,M+dM,dS,ds,dS,du,dS,dx,d,dS,A,B,结构位移计算,返 回,10,1.,位移计算的一般公式,设平面杆系结构由,于荷载、温度变化及支,座移动等因素引起位移,如图示。,P,2,P,1,K,k,k,K,K,利用虚功原理计算,c,1,c,2,c,3,k,k,P,K,=1,实际状态位移状态,c,1,、,c,2,、,c,3,、,K,du,、,d,、,ds,ds,虚拟状态力状态,ds,K,外力虚功,W=,=,内力虚功,W,i,=,可得,求任一指定截面,K,沿任一指定方向,k,k,上的位移,K,。,(7,5),t,1,t,2,(6,4),这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结,果为正，所求位移,K,与假设的,P,K,=1,同向，反之反向。,这种方法又称为,单位荷载法,。,结构位移计算,6,3,位移计算的一般公式 单位荷载法,返 回,11,2.,虚拟状态的设置,在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设,置相应的虚拟力状态。,例如,:,A,求,AH,实际状态,虚拟状态,A,1,A,求,A,1,虚拟状态,A,A,虚拟状态,虚拟状态,B,求,AB,1,1,B,求,AB,1,1,广义力与,广义位移,结构位移计算,返 回,12,6,4,静定结构在荷载作用下的位移计算,当结构只受到荷载作用时，求,K,点沿指定方向的位,移,KP,，此时没有支座位移，故式（,6,4,）为,KP,=,式中：,为虚拟状态中微段上的内力；,d,P,、,du,P,、,P,ds,为实际,状态中微段上的变形。由材料力学知,（,a,）,d,P,=,du,P,=,P,ds=,将以上诸式代入式（,a,）得,KP,=,（,6,5,）,这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。,结构位移计算,返 回,13,讨 论,1.,梁和刚架,KP,=,（,6,6,）,2.,桁架,KP,=,（,6,7,）,3.,组合结构,KP,=,（,68,）,在实际计算时，根据结构的具体情况,式（,6,5,）,可以简化：,结构位移计算,返 回,14,例,6,1,求图示刚架,A,点 的 竖 向位移,Ay,。,E,、,A,、,I,为常数。,A,B,C,q,L,L,A,实际状态,虚拟状态,A,B,C,1,解：,1.,设置虚拟状态,x,x,选取坐标如图。,则各杆弯矩方程为,:,AB,段：,x,BC,段：,2.,实际状态中各杆弯矩方程为,AB,段：,BC,段：,M,P,=,M,P,=,x,x,3.,代入公式（,6,6,）得,Ay,=,，,(),=,(-x)(-,2,qx,2,),EI,dx,+,(-L),(-,2,qL,2,),EI,dx,结构位移计算,返 回,15,6,5,图 乘 法,KP,=,当结构符合下述条件时：,（,1,）,杆轴为直线；,（,2,）,EI,=,常数；,上述 积分可以得到简化。,M,P,图,和,M,两个弯矩图,中至少有一个是直线图形。,（,3,）,x,y,面积,设等截面直杆,AB,段的两个弯矩图中，,为一段直线，,M,P,图为任意,形状，,A,B,O,则上式中的,ds,可用,dx,代替。,A,B,M,P,dx,故有,=,xtg,且,tg,=,常数，则,d,=M,P,dx,x,EI,tg,xM,P,dx=,EI,tg,xd,结构位移计算,1.,图乘法,:,计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分,返 回,16,M,P,图,x,y,形心,C,面积,A,B,O,A,B,M,P,dx,d,=M,P,dx,x,x,C,有,y,C,y,C,=x,C,tg,则积分运算化简为,一个弯矩图的面积,乘,以其形心处所对应的另,一个直线弯矩图上的竖,标,y,C,。,如果结构上所有各,杆段均可图乘则位移计,算公式（,6,6,）可写成,KP,=,(6,9),而,EI,xd,tg,EI,x,C,tg,EI,y,C,EI,y,C,结构位移计算,返 回,17,2.,图乘法的注意事项,（,1,）必须符合上述三个前提条件；,（,2,）竖标,y,C,只能取自直线图形；,（,3,）,与,y,C,若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。,3.,常用的几种简单图形的面积和形心,L,h,2L/3,L/3,L,h,a,b,（,L+a)/3,(L+b)/3,形心,形心,结构位移计算,返 回,18,L,h,二次抛物线,顶点,L/2,二次抛物线,L,h,4L/5,L/5,3L/8,5L/8,1,2,1,=2/3(hL),2,=1/3(hL),顶点,结构位移计算,返 回,19,4.,图乘的技巧,当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单,图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。,例如：,M,P,图,a,b,c,d,L,则,y,a,=2/3c+1/3d,y,b,=1/3c+2/3d,M,P,图,a,b,c,d,y,a,y,b,此时,y,a,=2/3c,1/3d,y,b,=2/3d,1/3c,y,b,y,a,结构位移计算,返 回,20,M,A,Q,A,M,A,Q,B,M,B,M,B,对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。,叠加后的抛物线,图形（,）与原抛物,线图形（,）的面积,大小和形心位置以及,形心处的竖标仍然是,相同的。,A,B,L,结构位移计算,返 回,21,当,y,C,所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。,1,2,3,y,1,y,2,y,3,1,2,3,y,1,y,2,y,3,=,(,1,y,1,+,2,y,2,+,3,y,3,),I,1,I,2,I,3,=,结构位移计算,返 回,22,例,6,2,求下图所示刚架,C,、,D,两点间距离的改变。设,EI,=,常数。,A,B,C,D,L,h,q,解：,1.,作实际状态的,M,P,图。,M,P,图,2.,设置虚拟状态并作,。,1,1,h,h,y,C,=h,3.,按式（,6,9,）计算,（）,CD,=,EI,y,C,=,EI,1,(,3,2,8,qL,2,L,),h,=,12EI,qhL,2,形心,结构位移计算,返 回,23,例,6,3,求图示刚架,A,点的竖向位移,Ay,。,A,B,C,D,EI,EI,2EI,P,L,L,L/2,解：,1.,作,M,P,图、,P,PL,M,P,图,1,L,；,2.,图乘计算。,Ay,=,（）,EI,y,C,=,EI,1,(,2,L,L,2,PL,(,L,4,=,16EI,PL,2,),-,2EI,1,2,3L,),PL,结构位移计算,返 回,24,例,6,4,求图示外伸梁,C,点的竖向位移,Cy,。,EI=,常数。,q,A,B,C,L,图,1,1,y,2,y,3,+,解：,1.,作,M,P,图,2.,作,图,3.,图乘计算,y,1,=,y,2,=,y,3,=,Cy,=,y,1,M,P,图,2,3,结构位移计算,返 回,25,例,6,5,试求图示梁,B,端转角,解,:,M,P,M,i,26,例,6,6,试求图示结构,B,点竖向位移,解,:,M,P,M,i,27,图,（,）,图,B,A,q,例,6,7,求图示梁,(EI=,常数,跨长为,l,)B,截面转角,解,:,28,例,6,9,已知,EI,为常数，求铰,C,两侧截面相对转角 。,解：,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,l,q,l,l,q,M,P,29,例,6,10,已知,EI,为常数，求,A,点竖向位移 。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,q,l,l,l,q,M,P,30,例,6,11,图示梁,EI,为常数，求,C,点竖向位移。,l/2,q,l/2,M,P,31,例,6,11,图示梁,EI,为常数，求,C,点竖向位移。,l/2,q,l/2,M,P,32,例,6,11,图示梁,EI,为常数，求,C,点竖向位移。,l/2,q,l/2,M,P,33,l,P,l,P,l,图示结构,EI,为常数，求,AB,两点,(1),相对竖向位,移,(2),相对水平位移,(3),相对转角。,M,P,练习,1,1,1,1,对称弯矩图,反对称弯矩图,对称结构的对称弯矩图与,其反对称弯矩图图乘,结果,为零,.,1,1,34,作变形草图,P,P,1,1,绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：,35,求,B,点水平位移。,练习,解：,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,M,P,l,l,注意,:,各杆刚度,可能不同,36,已知,EI,为常数，求,B,截面转角。,M,P,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,M,i,37,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求,B,点水平位移,EI=,常数。,l,P,l,l,M,P,1,M,P,38,练习,解：,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求,C,、,D,两点相对水平位移 。,l,l,l,M,P,39,已知：,E,、,I,、,A,为常数，求 。,A,B,C,P,a,D,40,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,A,B,C,P,a,D,A,B,C,1,a,D,若把二力杆换成弹簧,该如何计算,?,41,B,支座处为刚度,k,的弹簧，该如何计算,C,点竖向位移？,A,B,C,k,=1,P,A,B,C,k,有弹簧支座的结构位移计算公式为,:,42,练习,解：,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求,A,点竖向位移,EI=,常数。,M,P,l,l,l,A,k,k,43,6,6,静定结构温度变化时的位移计算,当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生 变形和位移。,设结构,(,见图,),外侧温度升高,t,1,，内侧温度升高,t,2,求,K,点的竖向位移,Kt,。,t,1,t,2,K,K,Kt,现研究实际状态中任一微段,ds,由于温度变化产生的变形。,ds,ds,Kt,=,此时由式（,64,）可得,h,t,1,t,2,t,2,ds,t,1,ds,d,t,du,t,=(,t,1,ds+t,2,ds)/2=tds,(a),(b),K,ds,P,K,=1,ds,实,虚,式中,d,t,=,(,t,2,ds-t,1,ds)/h=,t,=t,2,t,1,(c),h,tds,式中,将式（,b),、,(c),代入式（,a),，得,Kt,=,（,610,）,温度变化不会引起剪切变形，即,t,=0,结构位移计算,返 回,44,Kt,（,610,）,若各杆均为等截面时，则有,Kt,（,611,）,在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当,实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反,时为负。,梁和刚架可略去轴力的影响。,桁架在温度变化时的位移计算公式为,Kt,=,（,612,）,桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长,度的制造误差为,L,其位移计算公式为,K,=,（,613,）,结构位移计算,返 回,45,例：,6,5,图示刚架施工时温度为,20,，求冬季外侧温度,为,10,，内侧温度为,0,时,A,点的竖向位移,Ay,。已知,L=4m,，,=10,5,，各杆均为矩形截面，高度,h=0.4m,。,L,L,t,1,t,2,实,解：,外侧温度变化,绘,图，,A,A,1,虚,1,代入式（,611,），并注意正负号,(,判断,),，,L,Ay,可得,t,1,=,10,20=,30,内侧温度变,化,t,2,=0,20=,20,。,t=(t,1,+t,2,)/2=,25,t=t,2,t,1,=10,结构位移计算,返 回,46,6,7,静定结构支座移动时的位移计算,对于静定结构，支座移动并不引起内力。此时，位移计算公式化简为,Kc,=,（,6,14,）,例,：图示三铰刚架右边支座的竖向位移,By,=0.06m,水平位移,Bx,=0.04m,已知,L=12m,，,h=8m,。求,A,。,h,L/2,L/2,Bx,By,实,A,B,C,解：虚拟状态如图。,A,B,C,1,由（,6,14,）,式得,A,=0.0075rad,虚,结构位移计算,返 回,47,6,8,线弹性结构的互等定理,（,1,）功的互等定理：,第一状态,M,1,、,N,1,、,Q,1,、,P,1,、,21,1,2,P,1,21,1,2,P,2,12,第二状态,M,2,、,N,2,、,Q,2,、,P,2,、,12,据虚功原理有,W,21,=W,i21,W,12,=,W,21,=,或,W,12,=W,21,故,P,1,12,=P,2,21,（,615,），,（,616,）,第一状态的外力在第二状态的位移上所作,的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。,P,1,12,P,2,21,W,12,=W,i12,，,证明如下：,结构位移计算,返 回,48,（,2,）位移互等定理,:,1,2,P,1,=1,21,1,2,P,2,=1,12,据功的互等定理,1,12,=1,21,（影响系数）,即,12,=,21,（,617,）,P,1,=1,A,A,B,B,C,C,A,M=1,f,C,A,=f,c,又如：,第二个单位力所引起的第一,个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力,所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。,有,结构位移计算,返 回,49,（,3,）反力互等定理：,1,=1,2,=1,据功的互等定理,r,12,1,=r,21,2,即,r,12,=r,21,（,618,）,（,4,）反力位移互等定理：,支座,1,发生单位位移所引起,的支座,2,的反力，等于支座,2,发生单位位移所引起的支,座,1,的反力。,1,2,r,21,1,2,r,12,单位力所引起的某支,座反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位力,作用点沿其方向的位移。（略）,结构位移计算,返 回,