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量子力学基础概念题库全面版资料

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、何为束缚态？
2、当体系处于归一化波函数所描述的状态时，简述在状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。
3、设粒子在位置表象中处于态,采用Dirac符号时，若将改写为有何不妥？采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？
4、简述定态微扰理论。
5、Stern—Gerlach实验证实了什么？
一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。
1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。
2. 首先求解力学量对应算符的本征方程：，然后将按的本征态展开：，则的可能值为，的几率为，在范围内的几率为
3. 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为。
4. 求解定态薛定谔方程时，若可以把不显含时间的分为大、小两部分，其中（1）的本征值和本征函数是可以精确求解的，或已有确定的结果，（2）很小，称为加在上的微扰，则可以利用和构造出和。
5. 实验证明了电子自旋的存在。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？
2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？
3、测不准关系是否与表象有关？
4、在简并定态微扰论中，如的某一能级，对应f个正交归一本征函数（=1，2，…，f），为什么一般地不能直接作为的零级近似波函数？
5、在自旋态中，和的测不准关系是多少？
一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。
1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。
2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。
3、无关。
4、因为作为零级近似的波函数必须保证有解。
5、。
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态方程的解？
2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
4、何谓选择定则。
5、能否由方程直接导出自旋？
1、不是，是
2、不一定，如互不对易，但在Y00态下，。
3、厄米矩阵的定义为矩阵经转置、共轭两步操作之后仍为矩阵本身，即＝，可知对角线上的元素必为实数，而关于对角线对称的元素必互相共轭。
4、原子能级之间辐射跃迁所遵从的规则。选择定则表明并非任何两能级之间的辐射跃迁都是可能的，只有遵从选择定则的能级之间的辐射跃迁才是可能的。
5、不能。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、叙述量子力学的态迭加原理。
2、厄米算符是如何定义的？
3、据[，]=1，，，证明：。
4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
5、自旋，问是否厄米算符？是否一种角动量算符？
1、如果和是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加（c1、c2是复数）也是这个体系的可能状态。
2、如果对于两任意函数和，算符满足下列等式，则称为厄米算符。
3、即
又

又且

取得
4、

适用条件：
5、是厄米算符，但不是角动量算符。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。
2、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。
3、知，问能否得到？为什么？
4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。
5、简单Zeemann效应是否可以证实自旋的存在？
1．有关，例如在位置表象和动量表象下的本征态分别为和，它们的量纲显然不同。
2．坐标表象下动量的本征方程为，它有两种归一化方法：①归一化为函数：由得出；②箱归一化：假设粒子被限制在一个立方体中，边长为L，取箱中心为坐标原点，要求波函数在箱相对面上对应点有相同的值，然后由得出。
3．不能，因为所作用的波函数不是任意的。
4．第一步:写出体系的哈密顿算符；
第二步:根据体系的特点(对称性,边界条件和物理直观知识),寻找尝试波函数,λ为变分参数,它能够调整波函数(猜一个)；
第三步:计算哈密顿在态中的平均值

第四步:对求极值,即令,求出,则
，
5．不可以。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级的简并度是多少？若粒子自旋为s，问的简并度又是多少?
2、根据说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。
3、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？
4、简述氢原子的一级stark效应。
5、写出的计算公式。
1． 不考虑自旋时，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级可表示为，其简并度为。若考虑粒子的自旋为，则的简并度为。
2． 粒子在奏力场中运动时，Hamilton算符为：，则有：，又因角动量不显含时间，得、角动量守恒。
3． 旧量子论给出线性谐振子的基态能量为零而量子力学认为其基态有能量，为；另外，量子力学表明，在旧量子论中粒子出现区域以外也有发现粒子的可能。
4． 在氢原子外场作用下，谱线（）发生分裂（变成3条）的现象。
5． 。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、由，说明波函数的量纲。
2、、为厄米算符，问[，]与[，]是否厄米算符？
3、据[，]=1，，证明：。
4、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？
5、什么是耦合表象？
1． 波函数的量纲由坐标的维数来决定。对一维、二维、三维，的量纲分别为、、，则波函数的量纲依次为、、。
2． [，]不是厄米算符，[，]是厄米算符。
因为
3． 证明：可证明算符对于能量本征态的作用结果是：
(1)
为待定系数。上式的共轭方程是：
(2)
式(1)和(2)相乘（取内积）并利用已知条件，即得：

适当选择态矢量的相因子()，总可使和为非负实数。
因此，

故得证。
4． 利用量子力学的含时微扰论，可以直接计算出受激发射系数和受激吸收系数；但由于没有考虑到电磁场的量子化（即量子力学中的二次量子化），自发跃迁系数不能直接被推导出来，可在量子电动力学（QED）中计算出。
5． 以表示与之和：；算符相互对易、有共同本征矢，和表明和的对应本征值依次为和。组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、不考虑粒子内部自由度，宇称算符是否为线性厄米算符？为什么？
2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。
3、已知，，且，，试推出线性谐振子波函数的递推公式。
4、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。
5、何谓无耦合表象？

1、 是。且

是线性厄米算符。
2、几率流密度与几率密度满足的连续性
方程为：
3、

4、一级近似下，由初态跃迁到终态的几率为：其中，，。
5、相互对易，有共同的本征态，则该本征态对应的表象为无耦合表象。
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。
2、，是否线性算符？
3、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵？
4、何谓选择定则？
5、写出公式。
1． 线性谐振子定态波函数的递推公式： ，，其中，为线性谐振子定态波函数，。
2． 不是，因为。
3． 在本征值分立的基组中，厄米算符是厄米矩阵。
4． 为了使越迁几率不为零，一定对量子数做了某些限止，这些限止即为选择定则。
5． 。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、何为束缚态？
2、写出位置表象中，，和的表示式。
3、对于定态问题，试从含时方程推导出定态方程；
4、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n是否存在限制？为什么？
5、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出的？
1．束缚态:能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动，它的波函数在无限远处为零。
2．，，，
３．当不显示时间t，设代入含时薛定谔方程，分离变量得：

这个等式左边只是t的函数，右边只是的函数，而t和是相互独立的变量，所以只有当两边都等于同一常量时，等式才能满足。以Ｅ表示这个常量，由等式右边等于Ｅ，有：

此即为定态薛定谔方程。　　　
４．对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n没有限制，因为在计算跃迁几率时，与主量子数有关的积分在和取任何整数值时均不恒等于零。
５．在初等量子力学中，自旋是作为一个基本假定引入的。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？
2、试写出动量表象中，，，的表式
3、幺正算符是怎样定义的？
4、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？
5、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？
6. 不一定能归一化，因为波函数满足的方程不是线性方程时， 与表示的就不一定是同一态。
7. 在动量表象中：，，，
8. 满足的算符为幺正算符。
9. 因为光波中的磁场对电子作用的能量约为电场对电子作用能量的，所以忽略了磁场对电子的作用。
10. 四行一列。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。
2、一维线性谐振子基态归一化波函数为 ，试计算积分；
3、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时，简述在ψ态中测量力学量F的可能值及其几率的方法；
4、已知氢原子径向方程无简并，微扰项只与有关，问非简并定态微扰论能否适用？
5、自旋是否意味着自转？
1． 德布罗意关系：
自由粒子的德布罗意波：
2． 由得：
令得
3． 首先求解力学量F的本征方程：，然后将按F的本征态展开：，则F的可能值为，的几率为，F在范围内的几率为。
4． 可以适用。
5． 自旋是一种内禀角动量，并不是自转。
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、光到底是粒子还是波；
2、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？在什么情况下才同时具有确定值？
3、不考虑自旋，求球谐振子能级En的简并度；
4、我们学过，氢原子的选择定则，这是否意味着的跃迁绝对不可能发生？
5、克莱布希－高豋系数是为解决什么问题提出的？
1． 光是粒子和波的统一。
2． 不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。
3． 球谐振子能级，(；)
的简并度为。
4． 不一定。偶极近似下的结果才为，在多极近似下或精确解时也可能会实现。
5． 克莱布希－高豋系数是为了实现无耦合表象和耦合表象之间的变换而提出的。

1、在球坐标系下，波函数为什么应是进动角的周期函数？
2、设当和时，势能为常数，试将此区域内的二维方程分离变量(不求解)；
3、何谓力学量完全集？
4、定性说明为什么在氢原子的Stark效应中，可将视为微扰项？
5、Pauli算符是否满足角动量的定义式？
1、与在球坐标系下为同一点,根据波函数的单值性,同一点应具有同一值,故球坐标系下波函数为进动角的周期函数.
2、二维定态薛定谔方程:.
令,.
可得
3、设有一组彼此独立而又相互对易的厄米算符,它们的共同本征函数记为(是一组量子数的笼统记号).若给定之后就能够确定体系的一个可能状态,则构成体系的一组力学量完全集.力学量完全集中厄米算符的数目与体系的自由度数相同.
4、氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象,称为氢原子的stark效应.加入外电场后,势场的对称性受到破坏,能级发生分裂,使简并部分被消除,可用简并情况下的微扰理论来处理.在一级stark效应中,由于通常情况下,外电场强度比起原子内部的电场强度要小得多,故可以把外电场看作微扰.
5、将代入自旋角动量定义式得,即算符不满足角动量定义式.

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述量子力学产生的背景；
2、写出位置表象中直角坐标系下、、、的表示式；
3、为有心力场中的径向波函数，问是否成立？为什么？
4、定态微扰论是否适用于主量子数n很大的氢原子情况？为什么？
5、有关角动量的定义，我们学过哪两种？哪一种更广泛？自旋角动量是按哪一种定义的？

1、 二、（20分）经典物理无法解释近代物理出现的黑体辐射，光电效应，原子光谱与原子结构等问题。在Plank, Einstein, Bohr, de Broglie 等的基础上，Heisenberge, Schrodinger, 分别提出矩阵力学、波动力学，经Dirac, Pauli等人的完善发展形成了当今的量子力学。
2、 ，
，

3、 不一定成立，仅当时成立。因为角动量的本征态（对应量子数l）是关于角向正交归一的。
4、 不适用，很大时，可能很小， 不成立，
不能看作微扰。对定态简并情形也一样。
5、 ，，自旋按后者定义
电子在三维势场 中运动，其中D为常数，求其定态能级及波函数。
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、说明的量纲；
2、说明在定态问题中，定态能量的最小值不可能低于势能的最低值；
3、简述占有数表象；
4、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符；
5、何为偶极近似？
1． 由 x量纲为[L] 知，的量纲为[L]-1。
2． 在定态问题中，，
，
即定态能量的最小值不可能低于势能的最小值。
3． 一维线性谐振子能量本征值方程 ，其中

引入产生、消灭算符
因 故 ， 以符号表示，则，算符的本征值为n,以为基矢的表象称为占有数表象。
4．令,则,若则,有,即为厄米算符。
5． 在量子跃迁问题中，一级近似时忽略光波中磁场对原子的作用能，并假设光波长远大于原子线度，得出跃迁几率，其中为电子偶极矩，故称此种近似处理方法为偶极近似。

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？
2、写出的本征值及对应本征函数；
3、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？
4、简述态的表象变换的方法；
5、已知总角动量，试说明。
1、旧量子理论有下列不足：其角动量量子化的假设很生硬；比氢原子稍复杂的体系解释的不好；即使是氢原子，对其谱线强度也无能为力。
量子力学的优点：量子化是解方程得出的很自然的结果；可以解释比氢原子更复杂的原子；对于氢原子不仅可以给出谱线的位置，也可以给出谱线的强度。
2、设的本征值为，本征函数，其中.
3、一个物理体系存在束缚态的条件是：存在能量值，其大小小于无穷远处的势能，且对应该能量的方程存在满足无穷远处为零的边界条件的解。
A的共同正交归一本征函数组为，力学量完全集B的共同正交归一本征函数组为,将{}用{}展开得到基矢的变换规则：，以为矩阵元的矩阵为变换矩阵满足。把矢量用两组基展开,,坐标分量的变换规则为,力学量在不同表象下的矩阵元之间的变换规则为,即.
5、
由于和对易，故

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、旧量子论存在哪些不足？
2、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？
3、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗？举例说明；
4、简述变分法的思想；
5、写出电子在表象下的三个Pauli矩阵。
1．旧量子论即玻尔(Bohr)的量子论（稳恒轨道＆定态跃迁＆量子化条件）加上索末菲(Sommerfeld)在此基础上的推广，故亦称玻尔理论或玻尔与索末菲的理论.由于经典理论在两者的头脑中已根深蒂固，这使得他们把量子力学的研究对象——微观粒子（电子，原子等）看作经典力学中的质点，进而把经典力学的规律用在微观粒子上. 这样，就造成了旧量子论存在以下几点不足：
①“角动量是的整数倍”这一量子化条件很生硬.
②只能很好解释氢原子或较好解释只有一个价电子（Li,Na,K等）的光谱结构，而对于稍复杂例如简单程度仅次于氢原子的氦原子，则已无能为力.
③即使对于氢原子，也只能求其谱线频率，而不能求其强度.
2． 由于量子力学在描述微观粒子的运动时，认为它没有确定的轨道，而是用波函数绝对值的平方表示粒子在空间各处出现的（相对）几率. 因此在解释原子中电子的运动时，量子力学可用电子云图形象地表示出电子在空间各处出现的几率. 基于此，对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学解释为电子在原子核周围运动的径向几率密度最大处.
3．由知，算符不对易. 但在态中，由① 得到；②在此态中地位平等，得.即两个不对易的力学量不一定不能同时确定.
实际上“在角动量的任何一个直角坐标分量()的本征态下， 的另外两个分量()的平均值均为0.”——参见钱伯初与曾谨言所著《量子力学习题精选与剖析》(第二版)第165页.
4．在量子力学的近似方法中,微扰法有一定的适用范围,即当其中的部分的本征值与本证函数未知,或不是很小时,微扰法就不再适用.变分法不受上述条件的制约,但在求解基态以上近似时则相当麻烦,故只常用来求解基态能级与基态波函数.其基本思想是:
对于某一确定体系,用任意波函数计算出的的平均值总是大于体系的基态能量,而只有当恰好是体系的基态波函数时, 的平均值才等于基态的能量,相应的波函数为基态波函数.这样,我们可以选取许多并计算出相应的平均值,这些平均值中最小的一个最接近于.
基于此,用变分法求基态能量和基态波函数的步骤为:
① 取含参量,归一化,且有物理意义的尝试波函数,
② 求平均值,
③ 求极小值:,
④ 得基态能量,
基态波函数.
需要注意的是,在选尝试波函数时,需要许多技巧.
5．在表象下.电子的三个泡利(Pauli)矩阵为：
.

一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述波函数的Born统计解释；
2、设是定态方程的解，说明也是对应同一本征能级的解，进而说明无简并能级的波函数一定可以取为实数；
3、引入Dirac符号的意义何在？
4、定态微扰论的适用范围是什么？
5、简述两个角动量耦合的三角形关系。
1．同人们理解所有基本概念的过程一样,人们对物质粒子波动性的理解也并非一帆风顺：由于深受经典概念的影响,包括波动力学的创始人在内,他们把电子衍射实验中的电子波看成三维空间中连续分布的某种物质波包,波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度.但这种观点连自由粒子的运动都无法解释:随着时间的推移,与自由粒子对应的物质波包必然要扩散,即导致粒子越来越“胖”,这与实际相矛盾;物质波包的观点夸大了波动性的一面,抹杀了粒子性的一面,带有片面性;
与物质波包相反的另一种看法是,波动性是由于有大量粒子分布于空间而形成的疏密波.但电子衍射实验表明:即使是单个电子也具有波动性.这种观点夸大了粒子性的一面,而抹杀了粒子具有波动性的一面.
以上观点的局限在于试图用经典的观点给予解释.
经典力学中说到一个“粒子”时,意味着一个具有一定质量和电荷等属性的客体,物质粒子的这种“原子性”是实验证实了的.而粒子具有完全确定轨道的看法在宏观世界里则只是一个很好的近似,无限精确的轨道概念从来也没有为实验所验证过;经典力学中说到一个“波动”时,总是意味着某种实在的物理量的周期性空间分布.但实际上,更本质的在于波的相干叠加性.
分析电子衍射实验可知,电子所呈现出来的粒子性,只是经典粒子概念中的“原子性”,而并不与“粒子具有确定的轨道”的概念相联系;电子所呈现的波动性，也只不过是波动最本质的东西——波的叠加性，而不与某种实在的物理量在空间的波动相联系.
把粒子性与波动性统一起来,更确切的说,把微观粒子的“原子性”与波的“叠加性”统一起来的是M.Born(1928),他在用薛定谔方程处理散射问题时为解决散射粒子的角分布而提出了波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成比例.即描写粒子的波为几率波.
2．定态薛定谔方程:.
取其复共轭:, (为实数,且)
即也是对应同一本征能级的解.
如果能级不兼并,则与是同一量子态,故可设(c为常数).取复共轭:,为实数,取相位,则即可以取为实数.
3．我们知道,几何中的矢量,经典力学中的规律,都和所选坐标系无关.同样量子力学的规律也应和所选用的表象无关,态和力学量的描述可以不涉及具体表象,为此Dirac最先引入了狄拉克符号.
4．前提是中:①已解出, ②是小量.
理论适用条件: .
即不仅决定于矩阵元的大小,还决定于能级间的距离,实际上,这一条件即是小量的明确表示.
5．两个角动量可以是:①两个轨道角动量;②两个自旋角动量;③表示.两个角动量耦合时:
,
.
和所满足的关系称三角关系.

量子力学例题
第二章                              
一．求解一位定态薛定谔方程
1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数
[解] 薛定谔方程:

         当  ,      故有

        利用波函数在    处的连续条件
由  处连续条件:   
由  处连续条件:   

给定一个n 值,可解一个 ,  为分离能级.
2．   粒子在一维 势井中的运动     
求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数
[解]体系的定态薛定谔方程为

当 时

对束缚态     
解为

在  处连续性要求

将  代入得 

又 

相应归一化波函数为:

归一化波函数为:

3           分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为

    求束缚态的能级所满足的方程
[解] 束缚态下粒子能量的取值范围为  
当  时      
当  时      
     薛定谔方程为

令 

     解为

     当  时  

令 
     解为

当  时  
     薛定谔方程为

     令  
薛定谔方程为

解为

由  

     波函数满足的连续性要求,有

     要使  有非零解  不能同时为零
     则其系数组成的行列式必须为零

     计算行列式,得方程

例题
主要类型: 1.算符运算;  2.力学量的平均值;   3.力学量几率分布.
一.  有关算符的运算
1.证明如下对易关系
(1)              
(2)  
(3)   
(4)   
(5)                                                      
[证]
                     (1)            
(2)             

(3)             

一般地,若算符 是任一标量算符,有        
(4)         

       一般地,若算符 是任一矢量算符,可证明有

(5)

=0
同理： 。
2.      证明哈密顿算符为厄密算符
[解]考虑一维情况

为厄密算符, 为厄密算符, 为实数

为厄密算符         为厄密算符
3已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,
         取: 试证明:   也是 和 共同本征函数, 对应本征值
        分别为: 。
         [证]
。
    是 的对应本征值为   的本征函数

                是 的对应本征值为  的本征函数
又:

       可求出:

二.有关力学量平均值与几率分布方面
1.        (1)证明  是 的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在 态中的平均值
[解]         

即              
是 的本征函数。本征值

2.      设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

      描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值
                【解】       
宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数

注意:是否归一化波函数
            能量本征值              

出现 的几率   ,         出现 的几率
能量平均值          

另一做法

  3 .一维谐振子在 时的归一化波函数为
         所描写的态中式中，式中 是谐振子的能量本征函数，求（1） 的数值；2）在 态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3） 时系统的波函数 ；（4） 时能量的可能值相应的概率及平均值
        [解](1)  ,   归一化， ，
，
（2） ，
， ；                   ， ；
， ；   

（3） 时，
             所以：
时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
4．   设氢原子处于状态     

求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
      [解]   能量本征值           
                能量本征态           
               当n=2 时                  

                               本征值为的

， 出现的几率为100％
   可能值为 出现的几率分别为： 。

      5 . 在轨道角动量 和 共同的本征态 下,试求下列期望值
            (1). ;  (2) .
           [解]：

 三    测不准关系
1. 粒子处于状态 式中 为常数,求粒子的动量的平均值,并计算测不准关系
[解]先归一化

(1)  动量平均值

(2)

(3)

附:        
常用积分式：
（1）
（2）
（3）
第四章　　例题
1．力学量的矩阵表示
由坐标算符的归一化本征矢 及动量算符 构造成算符 和

试分别：1）. 求 和 在态 下的期望值；2）. 给出 和 的物理意义
【解】（1）. 设态矢 已归一化    

     （粒子位置几率密度）
（2）
   （利用   化到坐标表象）

又： , 
上式

2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 （1）. 是厄密算符，（2）. 有 ，（3）. 的本征值为0和1
【证】（1）. 厄密算符的定义 

   为厄密算符
(2)    已归一化  

（3）. 由 的本征值方程
, 
又：
即：       

（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）
3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度 ）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）
【解】  所描述的状态，基态波函数
（1）. 在x表象：

（2）. 动量表象：

（3）. 能量表象

同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.
4.取 和 的共同表象，在 角动量空间中写出 , , 的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法  ）
【解】   , 的共同本征函数为       

在  空间                  
（1）.     , 

同样

（2）       
利用: 
利用正交归一条件: 

同样

（3） 
利用:       
矩阵: 
矩阵:   
5.已知体系的哈密顿量  , 试求出
（1）. 体系能量本征值及相应的在 所在的表象的正交归一化的本征矢组.
（2）.将 对角化，并给出对角化的么正变换矩阵
【解】
（1）. 久期方程  
解之      , 
设正交归一的本征矢   

对应于        

本征矢              归一化  
对应归一本征矢    
同样  :                    
      :              
即为 的本征函数集
（2）. 对角化后，对角元素即为能量本

转换矩阵为

6．  证明：将算符矩阵 对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量。
【证】    算符的本征矢：       
则 F算符在自身表象中为一对角矩阵：
对另一表象力学量的本征矢   

的本征矢
       7. 为厄密算符。       ① 求算符 的本征值，           ②在A 表象下求算符 的矩阵表示。
      [解]：①      设 的本征值为 ,本征函数为 ,
             则          
             又             
                           同理算符 的本征值也为 .
②            在A表象，算符 的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即
                   设
利用   

          B为厄密算符
即              

又              

     取：       

第五章                         例题
重点：微扰论
1．   一根长为 ，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的 质点 ，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级修正。
   解：i )   势能：
   系统的哈密顿量

   在小角近似下:

   ii )若不考虑小角近似

   又

   利用公式
,