列一元二次方程解应用题经典题型透视.doc

列一元二次方程解应用题经典题型透视（全面版）资料
列一元二次方程解应用题经典题型透视
同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.
一、增长率问题
例1　恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
说明　这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n.
二、商品定价
例2　益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
说明　商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
三、储蓄问题
例3　王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
说明　这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.
四、趣味问题
例4　一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
说明　求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
五、古诗问题
例5　读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
说明　本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.
六、情景对话
例7　春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
说明　求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.
图1
如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元.
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元.

八、等积变形
例8　将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.
图2
图4
图3

说明　等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.

九、动态几何问题
例9　如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
说明　本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.
十、梯子问题
例10　一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
说明　求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
十一、航海问题
图5
例11　如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）
说明　求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
十二、图表信息
例12　如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.
请你认真观察思考后回答下列问题：
图6
（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长n
2
3
4
5
6
使用的纸片张数

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.
①当n＝2时，求S1∶S2的值；
②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
说明　求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.
十三、探索在在问题
例13　将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
说明　本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.
十四、平分几何图形的周长与面积问题
例14　如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
说明　求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.
十五、利用图形探索规律
例15　在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

图8

（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长
1
3
5
7
…
n（奇数）
黑色小正方形个数

…

正方形边长
2
4
6
8
…
n（偶数）
黑色小正方形个数

…

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.
说明　本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.
综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.

列一元二次方程，分式方程，分式方程组解应用题
　　一、内容综述：
　　1．列方程解应用题的一般步骤是：
　　（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。
　　（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。
　　（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。
　　（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。
　　（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意，最后做出符合题目要求的答案。
　　在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。
　　在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：
　　（1）方程两边表示同类量
　　（2）方程两边的同类量的单位一样
　　（3）方程两边的数值相等
　　二、例题分析：
　　例1．某人用1000元人民币购买一年期的甲种 ，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种 ，若乙种 的年利率比甲种 低2个百分点，到期后某人的乙种 可兑换人民币108元，求甲种 的年利率。
　　分析：利息=本金×利率×存期
　　本息=本金+利息
　　甲种 利息×（1+乙种 利率）×存期=108
　　解：设甲种 的年利率为x，依题意，甲种 的利息为1000x元，乙种 的年利率为x-0.02，则
　　1000x(1+x-0.02)=108
　　整理得：250x2+245x-27=0
　　(10x-1)(25x+27)=0
　　x1=0.1　　 x2=-
　　∵x2=-不合题意，舍去
　　∴x=0.1=10%
　　答：甲种 的年利率为10%。
　　例2．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。
　　（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示）
　　（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：
月份
用电量（度）
交电费总数（元）
3月
80
25
4月
45
10
　　根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？
　　分析：本题是原于现实生活中的经济问题，情景熟悉，但问题有障碍，不能直接看出问题的答案，必须认真阅读和思考
    问题（1）较简单，超过部分应交电费(90-A)元，问题（2），从表中看到，45<A<80，根据3月份用电80度，交电费25元，可列出方程：
　　10+(80-A)=25
　　整理得，A2-80A+1500=0
　　解得：A1=50　 A2=30
　　但A2=30<45，不合题意舍去
　　∴A=5
　　解略。
　　例3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
　　若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
　　解：设每件衬衫应降价x元，
　　由题意可得：
　　(40-x)(20+2x)=1200
　　整理，得x2-30x+200=0
　　x1=10　 x2=20
　　根据题意x=10不合题意，舍去　　　　
　　所以x=20
    答：每件衬衫应降价20元。
　　说明：此题是一元二次方程在市场经济中的应用，利用已知条件，列方程，解方程都比较简单，但得出方程的根后，考查它们是否符合题意是个难点，已知中有“尽快减少库存”的要求，而每降低1元，则平均每天可售出2件，所以x=10，不合题意舍去。
　　例4．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。
　　（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
　　（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。
　　分析：此题是用数学知识解决简单的生产问题，这也是初中数学的教学目的。
　　第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间。
　　第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少 钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少。
　　解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成
　　由题意可得：　
　　解这个方程组得：　
    经检验此解是所列方程组的解
　　答：甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成。
　　（2）设付给甲队一天a元，付给乙队一天b元，付给丙队一天c元

　　解这个方程组得　　　　

　　又∵规定时间要求不超过15天　　
　　∴不能用丙队，　　　　　　　　　　　　　
　　∵10a=8000（元）　　 15b=9750（元）
　　答：由甲队单独完成此工程花钱最少。
　　说明：数学教学新大纲中要求“能够运用所学知识解决简单的实际问题”。能够解决实际问题是指：能够解决带有实际意义和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题，展开交流，形成用数学解决实际问题的意识，以上四题就反映了新大纲要求，这种形式的问题频繁出现在近两年的中考试卷中，这应引起我们的重视。
　　例5．A、B两地间的路程为15千米，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲，乙两人同时到达B地？
　　分析：此题是行程问题，行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程，并且路程=速度×时间。此题若间接设元，设甲步行每小时走x千米，乙骑自行车每小时走(x+10)千米，又已知AB两地路程为15千米，则可利用甲乙所用的时间找等量关系。
　　解：设甲步行每小时走x千米，
　　则乙骑车每小时走(x+10)千米
　　由题意得：+1=
　　整理得：x2+25x-150=0
　　解这个方程得：x1=5,x2=-30
　　经检验：x1=5,x2=-30都是所列方程的根，
　　但x=-30不合题意舍去
　　∴x=5
　　这时 15÷5=3（小时）
　　答：上午9点整，甲、乙两人同时到达B地。
　　例6．甲、乙两车同时从A地出发，经过C地去B地，已知Ｃ、Ｂ相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B，求两车出发时速度？
　　分析：解决此题的关键是：从C地到B地，甲比乙多走半小时。
　　解：设乙速为x千米/时。
　　则甲速为(x+5)千米/时
　　 - =
　　整理得：x2+15x-1750=0
　　解这个方程：x1=35, x2=-50
　　经检验：x1=35,x2=-50都是所列方程的根
　　但x=-50不合题意，舍去
　　∴x=35
　　∴x+5=35+5=40
　　答：甲出发时速度为40千米/时，乙出发时速度为35千米/时。
　　例7．甲乙两人分别从A、B两地同时同向出发，甲经过B地后，再经过3小时12分在C地追上乙，这时两人所走的路程和为36千米，而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程，求A、B两地的距离？
　　分析：此题间接设元比较方便，如可设甲、乙两人速度分别为x千米/时，y千米/时，可以利用“两人所走的路程和为36千米”及“甲从A到C所用的时间与乙从B到C所用的时间相等”这两个等量关系建立方程组。
　　解：设甲速为x千米/时，乙速为y千米/时
　　则AC长5y千米，BC长为 x千米（3小时12分=小时）
　　AB长(5y-x)千米
　　由题意可得　
　　解这个方程组得：
　　经检验它们都是所列方程组的解
　　又∵　 不合题意舍去
　　∴ 　
　　∴　5y-x=5×4- =4
　　答：A、B两地长4千米。
测试
　　A组选择题（每小题２０分）
　　1.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为
　　（A）50(1+x)2=175　　　　　　　　　 （B）50+50(1+x)2=175
　　（C）50(1+x)+50(1+x)2=175　　　　　 （D）50+50(1+x)+50(1+x)2=175
　　2.甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用五天，两队单独工作，各需要多少天完成？
　　若设甲队单独工作需要x天完成，则根据题意得到的方程是（　　 ）.
　 （A） =6 　　　　 （B）=6　 （C）6( )=1　　　 （D）=1
　　B组选择题（每小题３０分）
　　1.某村有若干人准备用平均集资的方法筹集数万元开发小区，消息传出后，又有3位村民认为开发项目对头，申请参加，于是每人可少集资3000元；最后收款时，又增加1人，再次使每人的平均集资数减少600元，问该村开始时有多少人集资？共集资多少元？
　　解如下：设最初集资人数为x，每人平均集资y元，依题意，列出方程组：
　　解法一：

　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　解法三：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　以上有三种解法，其中错误的是：
　 （A）解法一　　 （B）解法二　　　 （C）解法三　　 （D）都正确。
　　2.甲、乙两列车，分别从相距300千米的A、B两车站同时相向出发，相遇后，甲车再经过4小时到B站，乙车再经过9小时到A站，求甲、乙各车的速度。
　　解法一：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，根据题意，得：

　　解法二：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，
　　根据甲乙两车相遇时间相等，而相遇后至停止相差9-4=5小时，亦为全程时间差为5小时，据此得方程：

　　解法三：间接设未知数，设相遇时，甲、乙各行了x小时。
　　根据题设得方程：×4+ ×9=300
　　即 +=1，
　　得x2=36, x=±6 (-6不合题意，舍去。)
　　所以v甲==30（千米/小时），
　　v乙==20（千米/小时），
　　以上解法正确的有：
　 （A）一种　 （B）两种　 （C）三种　 （D）没有正确解法。
答案与解析  
　　A组答案：1、D　　　 2、C　　　 B组答案：1、C　　　 2、C
　　B组解析：
　　1、解题策略：一是按有关的几个基本量列表，未知数用相应的字母代替，可有助于理清题意，如：

　　集资人数
　　平均集资数
　　总额
　　开始时
　　x
　　y
　　z
　　第一次增人后
　　x+3
　　y-3000
　　z
　　第二次增人后
　　x+4
　　y-3000-600
　　z
　　二是根据出入相补原理：原来集资每人减少总额（出），由新增集资人承担（入）。
　　解法一：设最初集资人数为x，每人平均集资y元，依题意，列出方程组：

　　解之得：
　　所以 z=xy=54000（元）。
　　答：原来有6人集资，出集资5.4万元。
　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　第三种解法错误，注意题中“再次使每人的平均集资数减少600元”是指在减少3000元的基础上再减少600元，实为减少3600元，不能理解为2400元。
　　2．解题策略：画出分析图，是解行程问题的有效办法。

　　利用不同线条区分不同速度的运动体是个好办法，便于弄清题目的条件。
　　解法一：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，根据题意，得：

　　由(2)得 9y2=4x2,
　　3y=2x　 （因x,y 都是正的，故舍去负的）。
　　解得：
　　经检验，这个解满足题设要求。
　　答：甲车速度为30千米/小时，乙车速度为20千米/小时。
　　解法二：如上所述，根据甲乙两车相遇时间相等，而相遇后至停止相差9-4=5小时，亦为全程时间差为5小时，据此得方程：
　　　　（以下略）。
　　解法三：间接设未知数，设相遇时，甲、乙各行了x小时。
　　根据题设得方程：×4+ ×9=300
　　即 +=1，
　　得x2=36, x=±6 (-6不合题意，舍去。)
　　所以v甲==30（千米/小时），
　　v乙==20（千米/小时）。
　　以上三种解法都正确。 
列方程解应用题
　　考点
　　1．会列出方程或方程组解应用题。
　　2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
　　考题评析　　
　　1．（广州市）某商场销售商品收入款，3月份为25万元，5月份为36万元，该商场这两个月销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？
　　考点：一元二次方程的应用
　　评析：首先用3月份收入款及增长率（x）表示5月份的收入款根据5月份的实际额列方程25(1+x)2=36。
　　答案：20%
　　注：（1）解一元二次方程要求出两解，根据实际再取舍。
    　　（2）结果要化成百分数的形式。
　　2．（成都市）某科技公司研制成功一种新产品，决定向银行 200万元资金用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%，该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清 的本金和利息外，还盈余72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。
　　考点：一元二次方程的应用。
　　评析：两年后的产值是列方程的难点，也是此题的难点，即两年后的产值为本息和加盈利[200（1+8%）+72]，由题意不难列出方程200(1+x)2=72+200(1+8%)，(x为所求百分数)。
　　解：设这个百分数为x。
　　依题意，列出方程为　 200(1+x)2=72+200(1+8%)。
　　化简，得200(1+x)2=288，
　　即(1+x)2=1.44。
　　解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）。
　　答：该公司资金增长的百分数为20%。　
　　3．（昆明）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善昆明市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同。
　　（1）求每期减少的百分率是多少？
　　（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问两期治理完成后共需投入多少万元？
　　解：（1）设每期减少的百分率为x.　　　　　　1分
　　据题意，得：450(1-x)2=288　　　　　　3
　　(1-x)2=0.64
　　解得：x=1±0.8
　　∴ x1=0.2, x2=1.8(不合题意，舍去)　　　　　　5分
　　∴每期减少的百分率为20%。
　　（2）∵ 450·(1-20%)=360
　　∴第一期减少的废气450-360=90（万立方米）　　　　　　6分
　　又∵第二期减少的废气360-288=72（万立方米）　　　　　　7分
　　则共需投入3×90+4.5×72=594（万元）　　　　　　8分
　　答：（1）每期减少的百分率为20%，（2）两期治理完成后共需投入594万元　　　　　　9分
　　4．（辽宁省）列方程解应用题：
　　某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他比第一次多买了10件，这样，第二次共花去2元，且第二次买的小商品恰好成打，问他第一次买的小商品是多少件？
　　考点：列分式方程解应用题
　　评析：思路：设第一次买的小商品为x件，则第二次为（x+10）件分别表示出每件的价格，两次的价格差即为每件小商品所降的价格，列出分式方程，可解决此题。
　　说明：求出未知数的值，必须检验，不但使方程成立，还必须符合实际。
　　解：设他第一次买的小商品为x件.
　　根据题意,得

　　去分母,整理得x2-35x-750=0.
　　解得x1=50,x2=-15.
　　经检验x1=50,x2=-15都是原方程的根.
　　但x=-15不合题意,舍去,所以只取x=50.
　　答:他第一次买小商品50件.
　　5．（北京市海淀区）列方程或方程组解应用题：
　　为了响应节水号召，小红家要使200m3的水比过去多用5个月，计划每月比过去少用水2m3，问小红家计划每月用多少水？
　　考点：列方程（组）解应用题。
　　评析：列方程（或组）解应用题的关系是通过审题，找到等量关系，设未知数列方程（组）就容易了，(其中x为原来每天的用水量)x=10m3，所以计划每月的用水量为8m3。
　　6．（山西省）列方程解应用题：
　　A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发，开往B地，2小时后，又从A地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两种车的速度。
　　解： 设公共汽车的速度为x千米/时,则小汽车速度为3x千米/时
　　依题意,得.　　
　　解之,得x=20
　　经检验:x=20是所列方程的解, ∴3x=60

代数综合题之二次函数与一元二次方程
与一元二次方程相结合，往往偏向于计算、数形结合，讨论参数范围；或整数根或特殊解或与坐标交点等。
1. 二次函数
（1）求其顶点坐标，及与两坐标轴的交点坐标．
（2）若是函数图象上的两点，且，请比较的大小关系．（直接写结果）
（3）把方程的根在函数的图象上表示出来．

2.已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．
（1）证明；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．

3.已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若没有，请说明理由；
（2）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．

4.已知：关于x的一元二次方程x＋（n－2m）x＋m－mn=0 ①
(1)求证：方程①有两个实数根. (2)若m－n－1=0,求证方程①有一个实数根为1；

(3)在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a。
当x=2时，关于m的函数y=nx＋am与y=x＋a(n－2m)x＋m－mn的图像交与点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y、y的图像分别交与点C、D.当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值.

5.（09天津）已知函数为方程的两个根，点M（t，T）在函数的图象上．
（1）若，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；
（3）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．

6. 关于的一元二次方程.
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

7. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于的二次函数的图象关于y轴对称．
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．求二次函数y3＝ax2＋bx＋c的解析式.

8. 已二次函数及一次函数.
(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标；
(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在坐标系里画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值：
(3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围．

练习1. 已知抛物线，其中是常数．（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

2. 已知：关于的方程（为实数）．
（1）若与x轴有交点，求的取值范围；
（2）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向上平移个单位长度，求平移后的解析式．

3.已知抛物线。
（1）若，，求此抛物线与x轴交点坐标。
（2）若，且当时，抛物线与x轴交点有且只有一个，求c的取值范围。

4. 已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2＋1.
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y1＝2x

y2＝x2＋1

（2）观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；
（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y3＝ax2＋bx＋c，其图象经过点（－5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由.
第二章一元二次方程复习课 第21 课时
复习目标：
1、进一步探索实际问题中的数量关系及其变化规律，体会数学建模思想，
体会数学在应用中的价值
2、进一步巩固一元二次方程的概念，会从定义上判断方程的积压种类型。
3、会根据具体问题中数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
4、进一步强调在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析，提到方程的解之后，必须检验是否符合题意。
教学过程：
一、知识要点
1、一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程。
2、要判断一个方程是否为一元二次方程，应以上面这三个特点来横量。
3、一元二次方程的一般形式

4、解应用题的一般思路
①审（审题）；
②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；
③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）；
④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；
⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）；⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）。
二、典型例题讲解：
例1、下列方程中，属于一元二次方程的有
① ② ③
④ ⑤
例2、方程化为一般形式是
其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
例3、当 时，关于的方程式为一元二次方程。
例4、某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元。已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率？
（2）求3月份时该电脑的销售价格。