打印星号矩阵.doc

打印星号矩阵（全面版）资料
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第6讲课堂案例2：打印星号矩阵
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1、枚举的设计
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2、ShapePrinter类的设计
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    以下是主函数调用的代码
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1.Yeong-Bin Yang文章中给出的的几何刚度矩阵（推导时忽略了轴向应变中的项）：

uxA uyA uzA θxA θyA θzA uxB uyB uzB θxB θyB θzB

MzA/l2
+ MzB/l2
-MyA/l2
-MyB/l2

-MzA/l2
-MzB/l2
MyA/l2
+MyB/l2

6FxB/5l

1.1MyA/l
-MyB/10l
MxB/l
FxB/10
-MzA/l2
-MzB/l2
-6FxB/5l

-MyA/10l
+1.1MyB/l
-MxB/l
FxB/10
MyA/10

-MyB/10

6FxB/5l
1.1MzA/l
-MzB/10l
-FxB/10
MxB/l
MyA/l2
+MyB/l2

-6FxB/5l
-MzA/10l
+1.1MzB/l
-FxB/10
-MxB/l
MzA/10
-MzB/10

6/5l
MzA/10
+MzB/5
-MyA/10
-MyB/5

-1.1MyA/l
+MyB/10l
-1.1MzA/l
+MzB/10l
-6/5l
-MzA/5
-MzB/10
MyA/5
+MyB/10
/10
/10

2FxB l /15

-MxB/l
FxB/10
-MzA/10
-MzB/5
-FxB l /30
MxB/2
-MzAl/10
+MzBl/30
MzAl/30

2FxB l /15

-FxB/10
-MxB/l
MyA/10
+MyB/5
-MxB/2
-FxB l /30
MyAl/10
-MyBl/30
-MyAl/30

MzA/l2
+ MzB/l2
-MyA/l2
-MyB/l2

6FxB/5l

MyA/10l
-1.1MyB/l
MxB/l
-FxB/10
-MyA/10
MyB/10

6FxB/5l
MzA/10l
-1.1MzB/l
FxB/10
MxB/l
-MzA/10
MzB/10

6/5l
MzA/5
+MzB/10
-MyA/5
-MyB/10
-/10
-/10

(SYMMETRICAL)

2FxB l /15

-MzBl/30
-MzAl/30
+MzBl/10

2FxB l /15
MyBl/30
MyAl/30
-MyBl/10

2/15
-/30

2/15
表中=Fx(Iy+Iz)/A 为Wagner系数。

2.Aura Conci文章中给出的完整几何刚度矩阵（推导时考虑了轴向应变中的项）：
uxA uyA uzA θxA θyA θzA uxB uyB uzB θxB θyB θzB
FxB/l

-(BA+BB)/l2
-MyA/l
-MzA/l
-FxB/l

(BA+BB)/l2
-MyB/l
-MzB/l
-BA/l
-BB/l

12FxBIz/Al3
+6FxB/5l

1.1MyA/l
-MyB/10l
MxB/l
6FxBIz/Al2 +FxB/10

-6FxB/5l
-12FxBIz/Al3

-MyA/10l
+1.1MyB/l
-MxB/l
6FxBIz/Al2 +FxB/10
MyA/10
-MyB/10

12FxBIy/Al3
+6FxB/5l
11MzA/l
-MzB/10l
-FxB/10
-6FxBIy/Al2
MxB/l

-6FxB/5l
-12FxBIy/Al3
-MzA/10l
+1.1MzB/l
-FxB/10
-6FxBIy/Al2
-MxB/l
MzA/10
-MzB/10

12FxBCw/Al3
+6/5l
MzA/10
+MzB/5
-MyA/10
-MyB/5
BA/l2
+BB/l2
-1.1MyA/l
+MyB/10l
-1.1MzA/l
+MzB/10l
-6/5l
-12FxBCw/Al3
-MzA/5
-MzB/10
MyA/5
+MyB/10
6FxBCw/Al2
+/10
6FxBCw/Al2
+/10

2FxBl/15
+4FxBIy/Al
(2α-1)
·MxB/2
MyA/l
-MxB/l
6FxBIy/Al2
+FxB/10
-MzA/10
-MzB/5
2FxBIy/Al -FxBl/30
MxB/2
-MzAl/10
+MzBl/30
MzAl/30

2FxBl/15
+4FxBIz/Al
MzA/l
-FxB/10
-6FxBIz/Al2
-MxB/l
MyA/10
+MyB/5
-MxB/2

2FxBIz/Al -FxB l /30
MyAl/10
-MyBl/30
-MyAl/30

FxB/l

-(BA+BB)/l2
MyB/l
MzB/l
BA/l
BB/l

12FxBIz/Al3
+6FxB/5l

MyA/10l
-1.1MyB/l
MxB/l
-FxB/10
-6FxBIz/Al2
-MyA/10
MyB/10

12FxBIy/Al3
+6FxB/5l
MzA/10l
-1.1MzB/l
6FxBIy/Al2
+FxB/10
MxB/l
-MzA/10
MzB/10

12FxBCw/Al3
+6/5l
MzA/5
+MzB/10
-MyA/5
-MyB/10
-/10
-6FxBCw/Al2
-/10
-6FxBCw/Al2

(SYMMETRICAL)

2FxBl/15
+4FxBIy/Al
(1-2α)
·MxB/2
-MzBl/30
-MzAl/30
+MzBl/10

2FxBl/15
+4FxBIz/Al
MyBl/30
MyAl/30
-MyBl/10

2/15
+4FxBCw/Al
2FxBCw/Al -/30

2/15
+4FxBCw/Al
表中=Fx(Iy+Iz)/A 为Wagner系数；Cw为截面翘曲常数；BA、BB为单元A端和B端的双力矩。

§ 两种形式的对比
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
=
指数形式
（2）两种频谱图的关系
三角形式：， 单边频谱
指数形式：，双边频谱
两者幅度关系 =
指数形式的幅度谱为偶函数
指数形式的相位谱为奇函数
（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质

注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
（4）引入负频率
对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率?
f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对，才能保证f(t)的是函数的性质不变。

第17卷第3期2021年6月
塑性工程学报
J OU RNAL O F PL ASTICIT Y EN GIN EERIN G
Vol 117　No 13J un 1　2021

六辊轧机刚度特性有限元3
(11燕山大学机械工程学院,秦皇岛　066004　杜凤山
1,2
　张尚斌1　黄华贵1
(21燕山大学亚稳材料制备技术与科学 重点实验室,秦皇岛　066004
　王贵国1　任新意1
摘　要:板带轧机的横向刚度和纵向刚度对于板形、板厚控制十分重要,研究不同状态下的刚度变化规律对提高板形、板厚综合控制的精度具有重要意义。在三维弹塑性有限元模型的基础上,基于某厂1420末机架六辊CVC 轧机实际参数,建立了板带轧制整体有限元模型。利用该模型研究板宽、窜辊、辊径和弯辊力的变化对轧机横向刚度的影响,以及中间辊的窜辊量变化对轧机纵向刚度的影响,为轧机的板形、板厚控制量的调整,提供了参考依据,也为板带轧制过程中板形、板厚在线设定,以及控制模型的研究和优化,提供了理论基础。关键词:六辊轧机;有限元法;横向刚度;纵向刚度

Finite element study of the rigidity characteristics of a six 2high mill
DU Feng 2shan 1,2　ZHAN G Shang 2bin 1　HUAN G Hua 2gui 1　Wang Gui 2guo 1　REN Xin 2yi 1
(11Mechanical Department of Yanshan University ,Qinhuangdao 　066004　China
(21Yanshan University Metastable Materials Science &Technology State Key Laboratory ,Qinhuangdao 　066004　China Abstract :The vertical and transverse rigidity of the strip mill are important to the gauge and shape control of the rolled strip.The 32D finite element whole model of six 2high mill was established based on the practical parameters of 1420at the final stand.The effects of strip width ,roll shifting ,roll diameter and bending force on the transverse rigidity of the six 2high mill were studied.The effect of roll shifting of the middle roll on the vertical rigidity was also calculated.The results provide reference for regulating con 2trol value of strip gauge and strip shape ,and also provide theoretical basis for online setting of strip gauge and strip shape.K ey w ords :six 2high mill ;finite element ;transverse rigidity ;vertical rigidity
3 自然科学 重点资助项目(50534020; 支撑计划资助项目(2007BAF02B12;河北省自然科学 资助项目(E2021000418;教育部博士点 资助项目
20060216001。
杜凤山　E 2mail :f sdu @ysu 1edu 1cn
作者简介:杜凤山,男,1960年生,博士生导师收稿日期:2021211216;修订日期:2021211227
　引　言
随着现代板材加工工业向高度自动化方向发展,
以及冷轧板带材的使用范围日益广泛,用户对冷轧板材的几何形状和尺寸精度的要求越来越高,从而促进了科研工作者对板形、板厚影响因素的深入研究[1]。对于普通的四辊轧机,当轧机的结构一定时,轧机的横向刚度和纵向刚度基本上保持不变[2]。但是在六辊轧机上,为了消除有害接触以实现对板形
的有效控制,采用的工作辊和中间辊的轴向移动和弯辊控制会改变轧机的横向和纵向刚度[3],而这一问题对于六辊轧机的板形、板厚控制十分重要。但目前对六辊轧机刚度特性分析的研究比较少,且主要依靠压靠法和轧制法等实验手段。
本文在现有的对六辊轧机刚度特性研究的基础上,利用三维弹塑性有限元法[4],在考虑机架和轴承座的弹性变形的条件下,建立了包含机架、辊系和板带的板带轧制过程整体有限元分析模型。研究板宽、窜辊、辊径和弯辊力的变化对轧机横向刚度的影响,以及中间辊的窜辊量变化对轧机纵向刚度的影响,为轧机的板形、板厚控制量的调整提供参考依据。
1　综合分析模型的建立
在三维弹塑性有限元模型的基础上,建立包含机架、辊系和板带的板带轧制过程整体有限元仿真
模型在板带和工作辊之间附加一层摩擦元,以处理板带与轧辊的接触关系。模型中轧辊、轴承座和机架为弹性体,轧件为弹塑性体。整体有限元模型如图1所示。机架、辊系和板带的物理参数如表1所示,模型的基本几何参数如表2所示

。
图1　六辊轧机三维有限元整体模型
Fig 11　The 3D finite element whole model of 62roll mill
表1　物理性能
Tab 11　Physical properties
参数
数值
机架和辊系
弹性模量/MPa
2115×105
泊松比0.3密度/kg/m 37.85×103带　钢
弹性模量/MPa
211×105
泊松比0.3密度/kg/m 3
7.85×103
变形抗力,σ/MPa
σ=629+522・ε
0176
表2　模型的几何参数/mm
Tab 12　Parameters of the model in mm
参数
数值支承辊
轧辊直径
1200
辊身长度1350辊径直径600轴承间距2150中间辊
轧辊直径550辊身长度1510辊径直径280轴承间距2230横移量-80~+80
工作辊
轧辊直径400辊身长度1350辊径直径240轴承间距2230带钢
入口厚度
0.802
该模型具有位移加载、力加载两种加载方式,可以用来实现定辊缝和定轧制力两种轧制情况下的
仿真。轧制压下,通过调整压下螺丝长度,施加y 向的位移实现;定轧制力轧制,通过机架和轴承座上对应的压下螺丝位置,施加相应的轧制力实现。工作辊依靠粘贴在端部的刚性面带动旋转,在摩擦力的作用下带动中间辊和支承辊旋转。为便于板带的咬入,在轧件靠尾部的刚性面,以略小于轧辊线速度的速度向前推进,以实现板带咬入。在带钢咬入后,刚性面与带钢分离,带钢在摩擦层单元的带动下完成轧制过程。为提高计算精度以及减小计算费用,在板带轧制仿真过程中,仅对轧辊的接触区域以及工作辊与带钢之间的可能接触区域网格进行细化,模型选用8节点六面体等参单元。利用该模型,可以得到轧制过程的力能参数,以及辊系、机架、板带在轧制过程的各种位移、应力应变结果和分布规律。
2　轧机横向刚度特性分析
211　横向刚度特性
在轧制压力的作用下,轧辊将产生弯曲变形,
呈凹形(假设轧辊为平辊。由于轧辊的弯曲变形,沿带钢宽度方向的厚度会出现不均,即出现横向厚差。轧机抵抗横向弹性变形的能力称为轧机的横向刚度,轧辊的横向刚度一般用横向刚度系数K S 表示,即
K S =
P
Φ
(1
式中　P ———轧制压力的波动值
　　　Φ———板凸度的波动值
一般情况下,轧制力P 与板凸度Φ的关系比较复杂,凡是对工作辊变形产生影响的因素,如轧件宽度、张力分布、轧辊直径、辊凸度等均对其产生影响。但当其他条件均不变,且轧制力在正常的工作范围之内波动时,则可以近似地认为轧制力P 与
Φ之间的关系为线性,因此,可以近似地将式(1改写成差分形式,即
K S =
P 1-P 2Φ1-Φ2
(2
式中　P 1,P 2———分别为在工作范围内的轧制力
　　　Φ1,Φ2—
——与轧制力P 1,P 2相对应的板凸度轧机的横向刚度系数K S 反映了轧机承载辊缝凸度抵抗轧制力波动而保持不变的能力,K S 越大,承载辊缝越稳定,对轧制过程的板形控制也越有利。212　不同参数变化对横向刚度的影响21211　板宽变化对横向刚度的影响
在其他条件不变的情况下,根据板带宽度在实
9
41　第3期杜凤山等:六辊轧机刚度特性有限元

际工艺能力范围内,对板宽分别取760mm 、810mm 、860mm 、910mm 、960mm 、1010mm 、1060mm 、1110mm 和1160mm 进行建模,利用所建
六辊轧机整体有限元模型进行分析,通过仿真计算得到不同板宽情况下的横向刚度值,并得到板宽变化对轧机横向刚度的影响规律。不同板宽情况下的轧机横向刚度特性如图2所示

。
图2　板宽变化对横向刚度的影响
Fig 12　The effects of plate width on transverse rigidity
由图2可知,板宽760mm 时横向刚度为4371t/mm ,板宽960mm 时横向刚度为5746t/mm ,
板宽1160mm 时横向刚度为10027t/mm 。横向刚度系数随着板宽的增加而不断增大,其关系近似于二次曲线。这说明在板宽变化范围内,板带的宽度值越大,轧制力对板带凸度的影响越不明显,因此单位凸度所需的轧制力越大。
21212　中间辊窜辊量变化对横向刚度的影响
在其他条件不变的情况下,在该六辊轧机中间辊窜辊量变化范围内,分别取0mm 、10mm 、20mm 、30mm 、40mm 、50mm 、60mm 、70mm 和80mm 进行建模,利用所建六辊轧机整体有限元模
型进行分析,通过仿真计算,得到不同窜辊量情况下的横向刚度值,并得到窜辊量变化对轧机横向刚度的影响规律。不同窜辊量情况下的轧机横向刚度特性如图3所示。
图3　窜辊量变化对横向刚度的影响
Fig 13　The effects of plate width on transverse rigidity
由图3可知,窜辊量从0mm 变化到80mm 时,横向刚度对应着从5746t/mm 增加到9226t/mm 。横向刚度系数随着窜辊量的增加而不断增大,其关系近似于二次曲线,且窜辊量越大,横向刚度增加幅度越大。21213　辊径变化对横向刚度的影响
为考虑辊径变化对六辊轧机横向刚度的影响,在其他条件不变的情况下,在该六辊轧机辊径变化范围内,把工作辊、中间辊和支撑辊分别取5个不同的辊径进行建模,利用所建六辊轧机整体有限元模型进行分析,通过仿真计算,得到不同辊径情况下的横向刚度值,并得到辊径变化对轧机横向刚度的影响规律。不同辊径情况下的轧机横向刚度特性如图4所示

。
图4　辊径变化对横向刚度的影响
a 工作辊;
b 中间辊;
c 支撑辊
Fig 14　The effects of roll diameter on transverse rigidity
由图4可知,无论是工作辊辊径、中间辊辊径,还是支撑辊辊径,随着辊径的增加,轧机的横向刚
度都呈现近似线性的增加。工作辊辊径从380mm 增加到420mm 时,对应轧机横向刚度从5111t/mm 增加到7194t/mm ;中间辊辊径从540mm 增加到
051塑性工程学报第17卷
550mm时,对应轧机的横向刚度从5586t/mm增加到5746t/mm;支撑辊辊径从1150mm增加到1250mm时,对应轧机的横向刚度从5075t/mm增加到6423t/mm。辊径增加单位毫米使轧机横向刚度改变最大的是工作辊,由此得到工作辊辊径变化,对轧机横向刚度的影响最大。这一结论符合轧辊直径增大,轧辊弯曲变形刚度增大,从而使轧机横向刚度增大的规律。同时也说明,轧辊直径越大,轧辊的横向刚度越大,随着板带轧制生产的进行,磨辊会使整个轧机的横向刚度发生变化。因此,设定板形参数应该考虑辊径变化因素的影响。
21214　弯辊力变化对横向刚度的影响
弯辊力横向刚度是指在其他工况条件不变的情况下,带钢凸度发生单位变化所需要调节的弯辊力值,用弯辊力横向刚度系数K W表示,即
K W=W1-W2
Φ
1-
Φ2(3
式中　W1,W2———在工作辊范围内的两个弯辊力　　　Φ1,Φ2———与弯辊力W1,W2相对应的板凸度弯辊力的作用效果与轧制力的作用相反,施加正弯辊力可以减少板带凸度。因此,弯辊力横向刚度系数的值越大,表示弯辊力对凸度的调节能力越强。不同中间辊横移量的情况下,中间辊弯辊力横向刚度系数K W1和工作辊弯辊力横向刚度系数K W2的变化情况如图5所示。
图5　弯辊力横向刚度特性曲线
a中间辊;b工作辊
Fig15　The characteristic curve of transverse
rigidity of bending force
图5分别给出中间辊弯辊力横向刚度和工作辊弯辊力横向刚度随中间辊窜辊量变化情况。由图5a 可知,随着中间辊横移量增大,工作辊弯辊力横向刚度和中间辊弯辊力横向刚度都随之增加,且工作辊端部与中间辊端部越接近时,弯辊的影响也越明显。由此验证了,联合使用中间辊横移和加大弯辊力可以明显增大凸度控制能力的结论。由图5a还可知,在同一中间辊横移量的情况下,工作辊弯辊横向刚度值大于中间辊弯辊横向刚度,这说明工作辊弯辊对板带凸度的调节能力大于中间辊弯辊。
3　轧机纵向刚度特性分析
轧机的弹性变形是辊系的弹性变形和机架(包括轴承的弹性变形之和,如果设轧辊及机架的纵向刚度系数分别为K1和K2,则轧机的纵向刚度系数K 为
1
K
=
1
K1
+
1
K2
(4　　当机架的结构一定时,K2为常数。此时的轧机刚度系数K的变化就只取决于轧辊辊系刚度系数K1。不同中间辊横移情况下的辊系刚度有所不同,因此轧机总的纵向刚度值也会受到影响。为研究窜辊量对轧机纵向刚度的影响,应用所建有限元模型,在不同窜辊量的情况下对轧机的纵向刚度进行研究。在1420末机架六辊轧机中间辊窜辊量变化范围内,中间辊横移量分别取0mm、20mm、40mm、60mm、80mm进行仿真计算,得到不同窜辊量下轧机的纵向刚度,如图6所示

。
图6　轧机纵向刚度变化图
Fig16　The change of rolling millπs toughness
由图6可以看出,在中间辊横移的过程中,轧机的纵向刚度随中间辊的横移量的增大而减小,且呈现较好的线性关系。窜辊导致辊间接触状态、压力分布及辊间弹性压扁的随之变化,使辊系的弹性弯曲挠度发生变化。这也是中间辊横移影响轧机纵向刚度的原因。
151
　第3期杜凤山等:六辊轧机刚度特性有限元
4　结果验证
以某厂1420五机架冷连轧的末机架六辊轧机为例,调用本文所计算的弯辊力横向刚度和轧制力横向刚度计算出口板凸度与实际检测结果比较。轧机基本参数见表2。所轧带钢为Q235钢板,宽度为113m,轧制速度为25m/s,前张力为86168M Pa,后张力为76152M Pa,来料厚度为017793mm,出口厚度为01735mm。结果如表3所示。
表3　六辊轧机板凸度结果比较
Tab13　Comparison of actual values with
calculated in62roll mill
弯辊力/ MN 轧制力/
MN
实际凸
度/μm
计算凸
度/μm
相对误
差/%

0.3 1.98-11.2-11.9 6.25
0.4 1.98-13.4-14.2 5.90
0.5 1.98-15.7-16.5 5.10
通过对某厂1420五机架末机架[5]的分析,当弯辊力分别取011MN,012MN,013MN,014MN, 015MN,轧制力取1198MN时,对板凸度计算值和现场检测结果比较,计算结果的相对误差在8%以内,表明本文计算的弯辊力和轧制力的横向刚度真实有效。此计算结果已在某厂1100双机架冷连轧可逆轧机上得到现场应用。
5　结　论
1在板宽变化范围内,板带的宽度值越大,轧制力对板带凸度的影响就越不明显,因此需要增大改变单位凸度所需的轧制力。
2六辊轧机的横向刚度系数随着窜辊量的增加而不断增大,其关系近似于二次曲线,且窜辊量越大,横向刚度增加幅度越大。
3无论是工作辊、中间辊,还是支撑辊的辊径,随着辊径的增加,轧机的横向刚度都呈现近似线性的增加。辊径增加,使轧机横向刚度改变最大的是工作辊,由此得到,工作辊辊径变化对轧机横向刚度的影响最大。
4随着中间辊横移量的增大,工作辊弯辊力的横向刚度和中间辊弯辊力的横向刚度都随之增加,且工作辊端部与中间辊端部越接近时,弯辊的影响越明显。在同一中间辊横移量的情况下,工作辊弯辊横向刚度值大于中间辊弯辊横向刚度,说明工作辊弯辊对板带凸度的调节能力大于中间辊弯辊。
5在中间辊横移的过程中,轧机的纵向刚度随中间辊的横移量的增大而减小,且呈现较好的线性关系。
该研究结果为六辊轧机的板形、板厚控制量的调整提供了参考依据,也为板带轧制过程中板形、板厚在线设定和控制模型的研究、优化,提供了理论基础。
参考文献
[1]　李学通,吴志贺,杜凤山,孙静娜.四辊平整机轧制过程
辊系变形有限元分析[J].塑性工程学报,2021.15(2:
1262130
[2]　魏娟,杨荃,何安瑞,王晓东.六辊轧机刚度特性有限元
分析[J].塑性工程学报,2007.14(6:51254
[3]　詹会彬,任学平,赵祖德.轧机刚度的有限元模拟[J].
塑性工程学报,2007.14(2:50253
[4]　盛蕾,刘军营,高磊.基于有限元的轧机机架的机械性
能分析[J].锻压技术,2021.34(11252129
[5]　孙登月,杜凤山,朱光明等.冷轧带钢轧制力高精度快
速仿真模型的研究[J].钢铁,2003.38(6:32235
251塑性工程学报第17卷
（二） 异面直线所成角
1. 定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助辅助平面。
1. 定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线和，我们把和所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角。
2. 范围：(0°，90°】
(★空间两条直线所成角范围：【0°，90°】)

（三） 线面角
1. 定义：当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，直线l叫做平面α的斜线。设直线l与平面α斜交与点M，过l上任意点A，做平面α的垂线，垂足为O，把点O叫做点A在平面α上的射影，直线OM叫做直线l在平面α上的射影。
1.定义：把直线l与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l和平面α所成的角。
2. 范围【0°，90°】
（★斜线与平面所成角范围：【0°，90°】）

（三）二面角
1. 定义：
（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2. 表示：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q
3. 范围为【0°，180°】

（五） 六种距离
1. 点到点的距离：两点之间的线段PQ的长。
2. 点到线的距离：过P点作，交于，线段的长。
3. 点到面的距离：过P点作，交于，线段的长。
两条平行线的距离
4.线到线的距离：
异面直线的距离：公垂线段PQ， PQ，则 线段PQ的长。
（★两条异面直线有且只有一条公垂线。）
5.线到面的距离（//）：过上一点P作，交于，线段的长。
面到面的距离（α//β)：过上一点P作，交于，线段的长。

二．证明（位置关系）
一）点与直线
外（）
点在直线
上（）

“上”的判定：
（1）借助法：公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。
{}

（二） 点与平面
外（）
点在平面
上（）

“上”的判定：
（1） 借助法：（线在面上点在面上）
{}
（2）借助法：（同一平面内点在面上）

（三） 直线与平面
上（）： 斜交
直线在平面 相交（）
外（） 垂直（）
平行（）

“上”的判定：
（1） 定义法：直线与平面有无数个公共点。
（2）判定法：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（）
（3）其它法：公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。
{}
（4其它法：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
{}

“垂直”的判定：
（1）定义法：如果一条直线和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面 互相垂直.
（2）判定法：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线线垂直线面垂直）
{}
（3） 推理法：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）
{}
（4） 借助法：两条平行直线，若其中一条垂直于一个平面，则另一条必定也垂直于这个平面。
{}
（5） 借助法：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
{}

“平行”的判定：
（1） 定义法：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
（2） 判定法：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线线平行线面平行）
{}
（3）推理法：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（面面平行线面平行）
{}
（4）借助法：两条平行直线，若其中一条平行于一个平面，则另一条必定也平行于这个平面。
{}

（四）点与点
1.不重合
2.重合（符合某一共同特征，适合用“同一法”）

（五） 直线与直线
不垂直
异面
垂直（异面直线）
直线与直线 不垂直
相交
共面 垂直（）

平行（）

“异面垂直”的判定：
（1） 定义法：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直。
（2）其它法：三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
{}

“共面垂直”的判定：
（1） 定义法：如果两条直线所成的角是直角，那么这两条直线互相垂直。
（2） 推理法：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线。（线面垂直线线垂直）
{}
（2）借助法：两条平行线，若一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。
{}
（3）其它法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。
{}

“平行”的判定：
（1）定义法：如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行。
（2）推理法：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行线线平行）
{}
（3）推理法：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）
{}
（4）借助法：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
{}
（5）借助法：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
{}

（六） 平面与平面
平行（）
平面与平面 不垂直
相交
垂直（）

“平