自回归过程的性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.1 自回归过程的性质,一、一阶自回归过程AR(1)的性质,二、二阶自回归过程AR(2)的性质,三、p阶自回归过程AR(p)的性质,返回本节首页,下一页,上一页,1,一、时间序列模型的平稳性（Stationarity）,平稳性的定义：,如果一个时间序列模型可以写成如下形式：,其中，x,t,为零均值平稳序列，a,t,为白噪声，,且满足条件,就称该模型是,平稳的,。（上式又称,Wold展开式,）,返回本节首页,下一页,上一页,2,3,时间序列模型的,可逆性(ivertibility),如果一个时间序列（,未必平稳,）的模型可以写成如下形式：,其中：a,t,为白噪声，且有,那么，就称这个模型是,可逆,的。,返回本节首页,下一页,上一页,4,对于一个有限阶的自回归模型AR(P),总有：,所以，一个,有限阶,的AR(p)模型总是可逆的。,5,自回归表示有助于理解,预测机制,，Box和Jenkins,证明,在预测时，一个非可逆过程是毫无意义的。,6,一、一阶自回归过程AR(1)的性质,一阶自回归模型的形式为：,或,返回本节首页,下一页,上一页,7,1、平稳性和可逆性,A.可逆性：,一个,有限阶的自回归模型总是可逆,的，,所以，AR(1)模型总是可逆的。,B.平稳性：,为满足平稳性，的根必须在单位圆外，,于是有：,8,9,上式说明系统是怎样记忆扰动,a,t,上式中的系数客观的描述了该系统的动态性，故这个系数称为,记忆函数（格林函数），,AR(1),模型的格林函数可表示为,平稳序列的这种表示形式，称为“,传递形式,”，（用无穷阶,MA,模型来逼近有限阶,AR,模型）,10,格林函数的意义,是前,j,个时间单位以前进入系统的扰动对系统现在的影响；,客观的刻划了系统动态响应衰减的快慢程度；,是系统动态真实描述；,格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数,11,对于AR(1)来说：,若系统受到扰动后，该扰动的作用逐渐减小，直至趋于零，即系统随着时间的增长回到均衡位置，那么该系统就是,渐近稳定的，也就是平稳的,。,系统平稳对于格林函数来说，,就是随着,j,的增加，趋近于零；,若格林函数趋于无穷大，那么任意小的扰动，只要给定足够的时间，就会使系统响应正负趋于无穷，永远不会回到其均衡位置，这时系统便是不稳定的，当然是非平稳的。,12,2.AR(1)过程的自相关函数,13,14,15,16,通过上述推导可看出，当过程平稳即 时，AR(1)过程的自相关函数（ACF）呈指数衰减。,如果 ，那么所有的自相关系数都为正，,并逐渐衰减。,如果 ,自相关系数的符号以负号开始，,并呈正、负交替逐渐衰减。,17,例1，下面两图表分别是模拟生成的249个数据,如下AR(1)过程趋势图和自相关图,18,-6,-4,-20,2,4,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,例1，模拟生成的AR(1)过程趋势图,19,例1：模拟生成的,AR(1)过程自相关图,:,:,呈指数衰减,20,例2，下面两图表分别是模拟生成的249个数据,如下AR(1)过程趋势图和自相关图,21,-6,-4,-2,0,2,4,6,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,Y,例2，模拟生成的AR(1)过程趋势图,22,例2：模拟生成的,AR(1)过程自相关图,:,:,呈正负交替,指数衰减,23,3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）,A.偏自相关函数的一般公式,24,25,26,27,28,BAR(1)过程的偏自相关函数,29,上述结论说明：,AR(1)过程的偏自相关函数(PACF),在滞后一阶有一峰值，其符号取,决于 。,滞后一阶以后PACF截尾,。,30,例1：模拟生成的,AR(1)过程自相关图,:,:,滞后一阶,以后截尾,31,例2：模拟生成的,AR(1)过程自相关图,:,:,滞后一阶,以后截尾,32,二、二阶自回归AR(2)过程的性质,二阶自回归模型的形式为：,或,返回本节首页,下一页,上一页,33,B.平稳性：,为满足平稳性，的根必须在单位圆外.,1、平稳性和可逆性,A.可逆性：,AR(2)模型总是可逆的。,34,35,注：我们下面对AR(2),性质的讨论中都,假定平稳性条件满足.,36,-2,0,2,-1,0,1,实根,复根,AR(2),过程的平稳性区域如下图三角域所示,37,2.AR(2)过程的,自相关函数,38,39,40,41,通过上述推导可以如下结论，,在AR(2)过程的平稳性条件满足时，,如果特征方程的根为实根，即 时，,AR(2),的自相关函数呈,指数衰减,。,如果特征方程的根为复根，即 时，,AR(2),的自相关函数呈,阻尼正弦波衰减,。,42,3.AR(2)过程的偏自相关函数,43,44,通过上述证明可以得出如下结论：,45,例1，下面两图表分别是模拟生成的250个数据,如下AR(2)过程趋势图和自相关图,46,-4,-2,0,2,4,8284,86,88,90,92,94,96,98,00,例1.模拟生成的AR(2)过程趋势图,47,例1.模拟生成的,AR(2)过程自相关图,呈混合指数衰,滞后二阶以后截尾,48,例2，下面两图表分别是模拟生成的250个数据,如下AR(2)过程趋势图和自相关图,49,-6,-4,-2,0,2,4,6,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,例2.模拟生成的AR(2)过程趋势图,50,例2.模拟生成的,AR(2)过程自相关图,呈混合指数衰减,滞后二阶以后截尾,51,例3，下面两图表分别是模拟生成的250个数据如下AR(2)过程趋势图和自相关图,52,-4,-2,0,2,4,82,84,86,88,90,92,94,96,98,00,模拟生成的AR(2)过程趋势图,53,模拟生成的,AR(2)过程自相关图,呈阻尼正弦波,衰减,滞后二阶以后,截尾,54,三、p阶自回归过程AR(p)的性质,二阶自回归模型的形式为：,或,返回本节首页,下一页,上一页,55,B.平稳性：,为满足平稳性，,的根必须在单位圆外.,1、平稳性和可逆性,A.可逆性：,AR(p)模型总是可逆的。,即如果,1,，,2,，,p,是,的根，那么它们的绝对值,|,i,|,1,56,其实也就是要求特征方程,的特征根都在单位圆内。,即如果,1,，,2,p,是上述特征方程的p个特征根，,那么为满足平稳性条件，必须有,|,i,|1,注：下面对AR(p)性质的讨论，都假定,平稳性条件满足。,57,对于高阶的自回归过程，其平稳性条件,用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最,基本的一点：,这是自回归过程平稳的,必要条件,之一。,58,一个可逆过程不一定是平稳的，,对于一个有限阶的AR(P)模型：,自回归过程的平稳性条件(stationarity condition),它是平稳过程的必要条件是:的根,都在单位圆外，即如果,1,，,2,，,p,是,的根，那么它们的绝对值必须大于1,返回本节首页,下一页,上一页,59,注,60,移项得,推导过程如下,由,根据数学知识，上式可以展开为幂级数，即,61,根据平稳性的条件有：,即级数,必须收敛。,而要满足这个条件，则必须有:的根,都在单位圆外。,62,通过上述推导，可以得出如下结论：,一个有限阶的AR(p)模型，可以,表示成一个无限阶的MA模型,63,2.AR(p)的自相关函数ACF,64,65,通过上述推导有如下结论：,对于平稳过程，有,|,i,|p时，上式分母行,列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。,于是当kp时,有,kk,=0。,所以，AR(p)过程的偏自相关函数(PACF)滞,后p阶截尾。,68,例如,对于一阶自回归过程,：,它的特征方程为,：,它的特征根为：,则平稳性条件为：,69,谢谢！,Thank you very much!,70,