贴片电容的计算方法.doc

贴片电容的计算方法（全面版）资料
贴片电容的计算方法
贴片电容在主板、高压板中、采用的主要有贴片陶瓷电容和钽电容。电容一般多为黄色，电解电容稍大，陶瓷电容很小。有的电容在，其中间标出有两个字符表示容量，大部分电容则未标出其容量。主板、高压板中的电解电容，在其一端有一较窄的暗条，表示该端为其正极。 1、贴片陶瓷电容的容量标识码一般由1个或2个字母及1位数字组成。当标识码是2个字母时，第一个字母标识生产厂商代码，例如，当第一个字母是K时，表示此陶瓷电容是由Kemet公司生产的。3位代码的第二个字母或两位代码的第一个字母代表电容容量中的有效数字，字母有效数字的对应关系见下表。代码中最后的数字代表有效数字乖以10幂次，最后计算结果得到的电容量单位为PF。例如，当电容上标识是S3时，查表可知“S”所对应的有效数字为4.7，“3”表示103，因此，S3表示此电容的容量为4.7×103PF，或4.7nF，面制造商不明。再如，电容上的标识为KA2，K表示电容由Kemet公司生产，A2表示1.0×102PF，即100PF。
2、有些贴片电容采用3位数表示，单位为PF，前两位数字为有效数字，后一位数为有效数字乘以10的幂次。若有小数点，则用P表示，如1P5表示1.5PF。100表示10PF等。误差用字母表示，C为±0.25PF，D为±0.5PF，F为±1%，J为±5%，K为±10%，M为±20%I为－20%~80%。
3、贴片电解标示方法，采用3位数进行标注，单位为PF。前两位为有效数，后一位数为有效数乘以10的幂次，如475表示4700000PF，即4.7uF。直接进行标示，标出的参数主要有容量和耐压值，如10V6代表电解电容的容量为10uF，耐压为6V。使用代码法，通常由1个字母和3个数字组成，字母表示电解电容的耐压值，而数字用来标明电解电容的电容量，单位为PF。前两位数字代表电容量有有效数字，第3位数字代表有效数字乘以10的幂次。贴片电解电容上面的指示条标明此端为电解电容的正极。贴片电解代码中字母与耐压的对照见下表2：

表2贴片电解电容代码与耐压值的关系

逆矩阵的Jordan标准形的计算方法
周永安， 秦建国，王力
（郑州轻工业学院数学与信息科学系, 郑州， 450002， 中国）

摘要 方阵A的Jordan标准形是与A相似的矩阵中最简单的矩阵。本文以为基础，求得了与相似的的表达式，求得了的Jordan分解式，还给出了对进行相似变换将其变成其Jordan标准形的相似变换矩阵Q的优雅表示。

关键词 逆矩阵/相似矩阵/Jordan标准形

Calculation Method for the Jordan Canonical form of An Inverse Matrix
Yongan ZHOU，Jian-guo QIN， Li WANG
(Department of mathematics and information science, Zhengzhou University of Light Industry, Zhengzhou,450002, China )

Abstract Jordan canonical form of square matrix A is the most simplest matrix similar to A. Based on the result that , which is similar to and the Jordan decomposition formula of are found, as well as the graceful expression of the similar transformation matrix Q turning to its Jordan canonical form is also obtained.
Keywords inverse matrix , similar matrix, Jordan canonical form
1 引言与概念
矩阵已成为各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而与方阵A相似的矩阵中，A的Jordan标准形是最简单的. 它堪称A的一张名片，因为A的行列式，谱，A的特征值的代数重数与几何重数及其指标，A的最小多项式等A的固有的属性都可以从方阵A的Jordan标准形上一眼看出.
文[1]给出了方阵A有Jordan分解的结论，文[2]从新的角度研究了A的Jordan分解(其中是A的Jordan标准形),文[3]将这一结果推广至四元数矩阵，本文以已知结果A有Jordan分解出发，研究的求法及其表达方式，给出的Jordan分解式，使得我们可以直接得到的Jordan分解式；还将给出对进行相似变换并将其变成其Jordan标准形的相似变换矩阵Q的优雅表示.本文仅研究可逆矩阵的情形，并以分别表示n阶单位矩阵与n阶上位移矩阵.

2 相关概念及性质
定义1 称形如
（为复数） (1)
的m阶方阵为Jordan块，其中为m阶上位移矩阵.
定义2 设为n阶方阵，为m阶方阵，则称（n+m）阶方阵为A与B的直和，记作,其中
. (2)

定义3 若矩阵J是若干个Jordan块的直和：
. (3)
其中，则称n阶方阵J为Jordan矩阵.与矩阵A相似的Jordan矩阵称为矩阵A的Jordan标准形.
3 逆矩阵的Jordan标准形
3.1 逆矩阵的Jordan标准形
众所周知，对于n阶矩阵A，若，依次有代数重数及几何重数时，存在n阶可逆矩阵P，使
, (4)
其中
，.
定理1：设(4)为已知，则
，
其中
. （5）
证明： 由(4)式，得
.
经过计算，可得下述Toeplitz矩阵：
=， （6）

.
定理2 ，存在阶的可逆矩阵，使,. (7)
证明 （a）对于形如(6)式的矩阵，取为如下形式
（8）
其中的第k()列为
，
是第个维的单位坐标列向量.
直接计算可知，
，。
（b）利用（8）式，有n阶可逆矩阵
，
使的Jordan标准形为
(9)
其中，是个阶数分别是且以为主对角线上的元素的Jordan块作成的的子Jordan矩阵,.
3.2 例 设，.由定理1，

试求定理2中的，使.
解 按定理2
,
使
.
参 考 文 献

[1] 陈公宁. 矩阵理论与应用[M]. 北京：科学出版社，2007.08，25-26.
[2] 王 英. 若而当标准形问题新探[J] 湖南理工学院学报(自然科学版), 2007, 20(1)::17-19.
[3] 陈龙玄, 侯仁民, 王亮涛. 四元数矩阵的Jordan标准形[J]. 应用数学和力学, 1996, 17(6): 533-542.
[4] 于寅. 高等工程数学[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2001. 10，82
[5] R A Horn, C R Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge: Cambridge University, Press, 1994
主排水泵工序能耗计算方法及等级划分
2.1工序能耗定义
在统计期内主排水装置在正常运行时把1t矿井水的位置提高100m需要消耗的电能。
主排水装置是指涌入矿井的各种水依靠自重沿大巷排水沟排入水仓，集中起来，再排到地面的排水装置，凡用于井下局部排水和地面其它排水的装置均不属于该标准范围内。
2.2　工序能耗基准及边界
基准:主排水装置在统计期内处于正常运行时的各种参数。
边界:以控制电动机启动、停止及运行的开关柜为电能计量始点，以排水管路出口处为装置终端。整个装置包括电动机、传动装置、水泵、进水管、排水管和管路上其它附件。
3　统计期
主排水工序能耗计算以统计数据为基础，统计期为一年。
4　工序能耗计算方法
4.1　单台排水装置工序能耗计算公式：
　　　　　Ｅｓ＇=
式中：Ｅｓ＇——统计期内单台排水装置工序能耗，　kW·h/ｔ·hm；
　Ｗ——统计期内单台排水装置耗电量，kW·h
　Ｑ——统计期内单台排水装置排水量，ｔ；
Ｈc——单台排水装置排水垂高,m；
——斜井排水工序能耗修正系数，见附表， 对竖井=1。
4.2　综合工序能耗计算公式
　　　　　　　ＥＳ=
式中：ＥＳ——统计期内企业排水综合工序能耗，kW·h/ｔ·ｈｍ；
　Ｗ——第个水泵房统计期内耗电量，kW·h；
　Ｑ——第个泵统计期内排水量，ｔ；
　ＨＣ——第个水泵房排水垂高，ｍ；
　——第个水泵房工序能耗修正系数；
　n——企业水泵房个数,个。
泵房总排水量为泵房内单台水泵排水量之和。
Ｑ＝
式中：Ｑj——统计期内某泵房内单台水泵排水量，ｔ；
　　　ｍ——某泵房内水泵运行台数，台。
泵房耗电量为单台水泵耗电量之和。
　　　　　Ｗ＝
式中：Ｗ——统计期内某泵房内单台水泵耗电量，kW·h 。　　
在同一水泵房内排水垂高为相同值。
计算斜井排水工序能耗时，其排水垂高为
　　　　Ｈc ＝ L· sin + ＨＣ
式中：Ｈｃ——斜井排水垂高，m；
　　　 L——斜井排水排水管长度，m；
　　　——斜井倾角，度；
　　　ＨＣ——斜井排水单台水泵吸水平均高度,ｍ。
5　参数统计方法
5.1　耗电量:统计期内电度表累计电量。电度表安装在控制每台水泵运行的开关柜上，电度表必须在校验周期内，精度符合计量规定的要求。
5.2　排水量:统计期内流量计累计排水量。流量计安装在排水管直管段上，安装位置符合流量计安装要求，其精度符合有关规定。
5.3　排水垂高:为吸水井平均水面至排水管出口中心处的垂直高度，查水泵房设计图纸或矿井设计资料。
5.4 耗电量只包括水泵电动机和该电动机至开关柜之间线损电量,不包括泵房内照明、电动启动闸阀及泵房配电室到地面中央变电所的线损等其它辅助用电量。
5.5 排水量原则上以流量计累计流量为准。若目前无累计流量表，允许采用测试平均流量与水泵统计期内运行时间乘积计算，测试流量要求每季度测定一次，取四次算术平均值，流量测试方法参照煤炭工业出版社《矿山固定设备技术测定》中规定的测试方法和 目前允许的测试流量仪表进行。
5.6　斜井倾角是指水泵出口至排水管出口连线与水泵房水平面的夹角，可查水泵房设计图纸。
6　主排水工序能耗等级划分
主排水工序能耗等级划分如下
等 级
一 等
二 等
三 等
工序能耗值（kW·h/ｔ·hm）
≤0.401
0.402～0.441
0．442～0．50
斜井排水工序能耗修正系数值 附表
γ
Hc
α
100（m）
200（m）
300（m）
400（m）
500（m）
600（m）
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
1．18
1．11
1．07
1．05
1．04
1．03
1．02
1．02
1．01
1．01
1．00
1．25
1．15
1．10
1．07
1．05
1．04
1．03
1．02
1．02
1．01
1．01
1．29
1．18
1．12
1．08
1．06
1．05
1．03
1．03
1．02
1．01
1．01
1．32
1．19
1．13
1．09
1．07
1．05
1．04
1．03
1．02
1．01
1．01
1．34
1．21
1．14
1．10
1．07
1．07
1．05
1．03
1．02
1．02
1．01
1．35
1．21
1．14
1．10
1．07
1．07
1．05
1．03
1．02
1．02
1．01

逆矩阵的Jordan标准形的计算方法
周永安， 秦建国，王力
（郑州轻工业学院数学与信息科学系, 郑州， 450002， 中国）

摘要 方阵A的Jordan标准形是与A相似的矩阵中最简单的矩阵。本文以为基础，求得了与相似的的表达式，求得了的Jordan分解式，还给出了对进行相似变换将其变成其Jordan标准形的相似变换矩阵Q的优雅表示。

关键词 逆矩阵/相似矩阵/Jordan标准形

Calculation Method for the Jordan Canonical form of An Inverse Matrix
Yongan ZHOU，Jian-guo QIN， Li WANG
(Department of mathematics and information science, Zhengzhou University of Light Industry, Zhengzhou,450002, China )

Abstract Jordan canonical form of square matrix A is the most simplest matrix similar to A. Based on the result that , which is similar to and the Jordan decomposition formula of are found, as well as the graceful expression of the similar transformation matrix Q turning to its Jordan canonical form is also obtained.
Keywords inverse matrix , similar matrix, Jordan canonical form
1 引言与概念
矩阵已成为各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而与方阵A相似的矩阵中，A的Jordan标准形是最简单的. 它堪称A的一张名片，因为A的行列式，谱，A的特征值的代数重数与几何重数及其指标，A的最小多项式等A的固有的属性都可以从方阵A的Jordan标准形上一眼看出.
文[1]给出了方阵A有Jordan分解的结论，文[2]从新的角度研究了A的Jordan分解(其中是A的Jordan标准形),文[3]将这一结果推广至四元数矩阵，本文以已知结果A有Jordan分解出发，研究的求法及其表达方式，给出的Jordan分解式，使得我们可以直接得到的Jordan分解式；还将给出对进行相似变换并将其变成其Jordan标准形的相似变换矩阵Q的优雅表示.本文仅研究可逆矩阵的情形，并以分别表示n阶单位矩阵与n阶上位移矩阵.

2 相关概念及性质
定义1 称形如
（为复数） (1)
的m阶方阵为Jordan块，其中为m阶上位移矩阵.
定义2 设为n阶方阵，为m阶方阵，则称（n+m）阶方阵为A与B的直和，记作,其中
. (2)

定义3 若矩阵J是若干个Jordan块的直和：
. (3)
其中，则称n阶方阵J为Jordan矩阵.与矩阵A相似的Jordan矩阵称为矩阵A的Jordan标准形.
3 逆矩阵的Jordan标准形
3.1 逆矩阵的Jordan标准形
众所周知，对于n阶矩阵A，若，依次有代数重数及几何重数时，存在n阶可逆矩阵P，使
, (4)
其中
，.
定理1：设(4)为已知，则
，
其中
. （5）
证明： 由(4)式，得
.
经过计算，可得下述Toeplitz矩阵：
=， （6）
.
定理2 ，存在阶的可逆矩阵，使,. (7)
证明 （a）对于形如(6)式的矩阵，取为如下形式
（8）
其中的第k()列为
，
是第个维的单位坐标列向量.
直接计算可知，
，。
（b）利用（8）式，有n阶可逆矩阵
，

使的Jordan标准形为
(9)
其中，是个阶数分别是且以为主对角线上的元素的Jordan块作成的的子Jordan矩阵,.
3.2 例 设，.由定理1，

试求定理2中的，使.
解 按定理2
,
使
.
参 考 文 献

[1] 陈公宁. 矩阵理论与应用[M]. 北京：科学出版社，2007.08，25-26.
[2] 王 英. 若而当标准形问题新探[J] 湖南理工学院学报(自然科学版) 2007, 20(1)::17-19.
[3] 陈龙玄, 侯仁民, 王亮涛. 四元数矩阵的Jordan标准形[J]. 应用数学和力学, 1996, 17(6): 533-542.
[4] 于寅. 高等工程数学[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2001. 10，82
[5] R A Horn, C R Johnson. Matrix Analysis[M]. Cambridge: Cambridge University, Press, 1994
第九章 矩阵特征值与特征向量计算方法
教学目的 1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法；2. 掌握求矩阵特征值的QR方法。
教学重点及难点 重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法求矩阵特征值的QR方法；难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。
教学时数 12学时
教学过程
§2 幂法及反幂法
2．1幂法
在一些工程、物理力学部标题中，需要我们求矩阵的按模最大的特征值（称为A的主特征值）和对应的特征向量。
幂法是一种计算矩阵的主特征值的一种迭代法，它最大优点是方法简单，适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值。
设，其特征值为，对应特征向量为即

且线性无关。设特征值满足：（即为强占优）
（2.1）
幂法的基本思想，是任取一个非零初始向量，由矩阵的乘幂构造一向量序列
(2.2)
称为迭代向量。
下面来分折。
由设为中一个基本，于是，有展开式 （且设）
且有
(2.3)

由假设（2.1）式,则

即

且收敛速度由比值确定。且有
（2．4）

这说明，当充分大时，有，或越来越接近特征向量。
下面考虑主特征值的计算。
用表示的第个分量，考虑相邻迭代向量的分量的比值。

从而是
(2.5)
说明相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征且收敛速度由比值来度量,越小收敛越快,但越小收敛越快,但,而接近于1时,收敛可能很慢。
定理7 （1）设n个线性无关的特征向量：
（2）设特征值满足

（3）幂法：
）
则 （1）；
（2）
如果主特征值为实的重根，即有

又设A有个线性无关的特征向量，其中

对于任意初始向量

则由幂法有

且有
（设不全为零）

由此，当充分大时，接近于与对应的特征向量的某个线性组合。
应用幂法计算的主特征值及对应的特征向量时，如果），迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋于无究（或趋于零），这样电算时就可能溢出。为此，就南非要将迭代向量加以规范化。
设有非零向量

其中表示向量绝对值最大的元素，即如果有草药则

其中为所有绝对值最大的分量中最小指标。
显然有下面性性质：
设，则

在定理7条件下幂法可改进为：
任取初始向量。
迭代： 规范化：
，
（2．6）

于是，由上式产生迭代向量序列及规范化向量
且改进幂法计算公式为：
设
对于
（2.7）
下面考查与计算的关系。
由
且有 （2.8）
其中
(1) 考查规范化向量序列:
由(2.7)及(2.8)式,则有

(2) 考查迭代向量序列:

于是，

定理8 (改进幂法)
(1) 设有个线性无关特征向量;
(2) 设特征值满足

且
(3)由改进幂法得到((2.7)式),则有
(a)

(b)
且收敛速度由比值确定。
实现幂法，每迭代一次主要是计算一次矩阵乘向量，可编一个子程序。
例2 计算矩阵主特征值及主特征向量

解 特征值为。由改进幂 法计算公式计算得（见表9-1）。

表9-1

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
[0，0，1]
[2，4，1]
[4.5,9,7,75]
[5.7222222,11. ,8.3611111]
[5.461165,10.92233,8.2535556]
[5.500238,11.0004696,8.2501174]
[5.4987088,10.9974176,8.2493544]
[5.5002348,11.000469,8.2501174]
[5.4999574,10.9999148,8.2499787]
[5.5000076,11.0000152,8.2500038]
4
9
11.444444
10.92233
11.0142224
10.9974176
11.0004694
10.9999148
11.0000152
[0.5,1,0.25]
[0.5,1,0.8611111]
[05,1,0.7305825]
[0.5,1,0.75355556]
[0.5,1,0.7493544]
[0.5,1,0.7501174]
[0.5,1,0.7499787]
[0.5,1,1.700038]
[0.5,1,0.7499978]
于是,得到A的主特征值及近似主特征向量

2.2 加速方法
原点平称法.
应用幂法计算主特征值的收敛速度主要由比值来确定,当但接近于1时,收敛可能很慢,一个补救的办法是采用加速收敛的方法。引进矩阵

其中是可选择的参。
设的特征值为，则的特征值为的且特征向量相同。
如果需要计算主特征值，就要适当选择使满足：
（2）
对应用幂法，使得在计算的主特征值的过程中得到加速。这种方法通常称为原点平移法。对于特征值的某种分布，它是十分有效的。
例3 计算的主特征值，

解 （1）应用改进幂法计算（见表9-2）
表9-2

0
1
15
20
（1，1，1）
（0．9091，0．8182，1）
（0．7483，0．6497，1）
（0．7482，0．6497，1）

2．75
2．5366256
2．5365323
（上述结果是用8位浮点数运算得到的分量值是舍入值）主特征值近似值为
～

（近似特征向量）
真值（8位数字）为

（2）用原点平移法
作变换取

对应用改进幂法（见表9-3）
表9-3

0
9
10

（1，1，1）
（0.7483，0.6497，1）
（0.7482，0.6497，1）

1.7866587
1.78654914
所以
与(1)比较,加速计算迭代10次结果比(1)不加速幂法计算迭代15次结果还好。
原点位移的加速方法，是一个矩阵变换方法，这种变换容易计算，又不破坏矩阵的稀疏性，但的选择依赖于对A的特征值分布原大致了解，对于特征值的某些分布情况常常能够选择有利的值使用幂法计算主特征值得到加速。
当的特征值得实数时，怎样选择使应用幂法计算得到加速。
设的特征值是实数且满足：
（2.9）
显然,不管如何选取,矩阵的主特征值为或。
当要求计算及时，应选取满足

且使
或求极值问题

显然，当

时，即 时，值达到最小。
由此，当满足（2.9）式时，最佳的值为

说明，当能初步估计时，就可选择的近似值。
同理特征值为实数且满足
（2.10）
时，且要求计算。
最佳的参数为

2.3 反幂法(或逆迭代)
(1) 反幂法可用来计算矩阵按模最小的特征值及对应的特征向量。
设为非厅异矩阵，特征值满足

对应特征向量为线性无关，则特征求值为

特征向量为
因此计算的按模最小的特征值的部题就是计算按模最大的特征值部题。
对于应用幂法迭代（称为反幂法），可求矩阵的主特征值。
反幂法迭代公式：
任取初始向量，
1，2，…
（2.11）
其中迭代向量可通过解方程组求得:

如果个线性无关特征向量且特征值满足:

则由反幂法(2.11)构造的向量序列满足

且收敛速度由比值确定。
（2）应用反幂法求一个的似特征值对应的特征向量。
～
设已知的特征值的一个近似值（通常是用其它方法得到），现要求对应的特征向量（近似），在反幂法中也可用原点平移法来加速收敛。
如果存在，显然，特征值为

对应的特征向量。
～
现取（但不能取），且设与其它特征值是分离的，即
《
即 》
说明是的主特征值。
现对应用幂法得到反幂法计算公式：
取初始向量

（2.12）
与定理8证明类似,可得下述结果。
～
定理10 （1）设有个线性无关特征向量即。
（2）取（为特征值一个近似值），设存在且
《
则由反幂法迭代公式（2，12）构造向量序列满足：

或
且收敛速度由比值

确定。
由定理10可知，反幂法计算公式（2.12）可用计算特征向量。选择是的一个近似且的特征值分离情况较好，一般很小，所以迭代过程收敛较快，同时改进特征值。
反幂法迭代公式中是以通过解方程组

求得。为了节省计算量，可先将进行三角分解。

其中为置换阵，于是每次迭代求相当于求解两个三角形方程组

可按下述方法取，即选使

回代求解即求得。
反幂法计算公式：
1．分解计算
，且保存及信息
2．反幂法迭代
（1）

（2）
1）求
求
2）
3）
～
对于计算对称三对角阵，或计算Hessenberg阵对应于一个给定的近似特征值的特征向量，反幂 法是一个有效方法。
例4 用反幂法计算对应于近似特征值（精确特征值为）的特征向量

解 取，用部分选主元分解法实现，
其中

（1）求解

（2）求解

（3）求解特征向量（真解）是

由此，相当好的近似。
§3 豪斯荷尔德方
定义3 （1）设如果当时，则，称为上Hessenberg阵，即

（2）如果称为不可约上Hessenberg阵。
本世讨论两个问题：
（1）用正交相似变换（即用Householder矩阵）约化对称矩阵为对称三对角阵。
求原矩阵特征值问题，就转化为求上Hessenberg阵或对称三对角阵的特征值问题。
3．1 正交相似变换约化一般矩阵为上Hessenberg阵
设。考虑用初等反射阵作正交似变换来约化，那未能并将约化到什么形式
（3.1）
选择初等反射阵使经正交相似约化为一个上
Hessenberg矩阵。
（1） 设

其中不妨设，否则这一步不需要约化。于是，可选择初等反射使

令
于是，

=
其中。
（2）第步：重复上述过程，设对A已完成第1步，…，第—1步正交相似变换，即

或
且有

其中，为阶上Hessenberg阵，。
设于是，可选择初等所射阵使

其中
（3.2）
令

则

其中为阶上Hessenberg阵（当为对称阵时，只需计算）。
（3）继续上述过程，最后有

总结上述讨论有下述结论。
定理11 （Householder约化矩阵为Hessenberg阵）
设,则存在初等反射阵使
=
由 需要计算:
（1）计算初等反射阵:(公式(3.2)),使

（2）约化计算
令 即计算
或 （a）左变换

（b）右变换

算法 1（Householder约化矩阵为上Hessenberg型）
给定，本算法计算=且覆盖其中…为初等反射阵的乘积，为上Hessenberg阵。
1．；
2．对于：
（1）计算初等反射阵，使，

（2）约化计算

（3）
本算法约需要次乘法运算，要明显形成还需要附加次乘法。
例5 设

试用初等反射阵正交相似约化为上Hessnberg阵。
解
（1）选取使

其中
（2）约化计算，计算。其中

于是

计算

从而

-4 7.602634 -0.447212
-4.472136 7.800003 -0.399999
0 -0.399999 2.200000

=

为上Hessenberg阵。
3.2交相似变换约化对称阵为对称三对角阵
定理12 设为对称矩阵，则存在初等反射阵使

证明 令，由定理11即存在正交阵使=T（对称的三对角阵）
用Householder变换正交相似约化对称矩阵为对称三对角阵计算公式

（）
第步计算：。
（1）计算初等反射阵

（2）约化计算：。其中

由设A为对称阵，所以亦是对称阵，只需计算对角线以下部分。
记

则

计算公式：
（1）计算
（2）计算
（3）计算

算法2 （Householder约化对称阵为对称三对角阵）
设为对称矩阵，本算法确定初等反射阵，…，
使，…，=T，其中
T=
为对称三对角阵，计算中间结果覆盖A。
对于k=1,2…，n-2,
(1)计算使

（2）正交相似约化

（即计算的下三角部分）
本算法大约需要次乘法运算。HouseHolder方法（用初等反射阵将矩阵正交相似约化为简单形式即算法1，算法2）是一个数值稳定方法。

布置作业 P.490-493. 习题9 1. (1) (2)、5、6 、12 .

第 33 卷 　第 6 期 　　　　　　刘明尧 , 柯孟龙 , 周祖德 , 等 : 裂纹尖端应力强度因子 的有限元计算方法分析 121 20 mm 的平板为例 , 采用 ANSYS 命令流的方法 , 得出外推法和虚拟裂纹闭 合法所需的暂存空间分别为 2. 172 M B 、0 . 873 M B , 所需的总计算时间分别为 7 33 s 、3 . 55 s , 虚拟裂纹闭合法的效率更高 。 综上所述 , 虚拟裂纹闭合法能达到解析法 、 1/ 4 节点法和位移外推法的计算精度 , 且由于其对裂纹尖端 单元性质要求低 , 计算简单易行 、 效率更高 , 适合各种单元类型和结构的计算 , 是计算裂纹尖端应力强度因子 很好的选择 。 4　 结　 论 a. 采用逐节点建模和实体建模相结合方法建立了含裂纹板有限元模型 , 说明了该方法的可行性 。 b. 分析了 1/ 4 节点法 、 位移外推法 、 虚拟裂纹闭合法的特点 , 1/ 4 节点法精度高但难以进行数值模拟 , 位 移外推法相比于 1/ 4 节点法更节约计算资源 , 虚拟裂纹闭合法间接求解应力强度因子且不受裂纹尖端单元 性质的影响 。 根据有限元计算的节点位移和节点力 , 分别用 1/ 4 节点法 、位移外推法 、虚拟裂纹闭合法计算 应力强度因子并与手册值比较 , 3 种方法都能达到较高的精度 。 计算的过程表明 , 虚拟裂纹闭合法的效率最 高 , 1/ 4 节点法最低 。 c. 研究了裂纹长度 、 平板几何尺寸对裂纹尖端应力强度因子 K I 的影响 。 K I 与平板受的载荷成线性关 系; 当平板宽度和高度分别满足 a/W >0 . 2 、a/ H > 0. 1 时 , K I 受 W 、H 的影响较大 ; 当 a/W < 0. 2 或 a/ H < 0