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1、两类非线性发展方程的新精确解（全面版）资料 第２５卷 第２期２０１２年６月自然科学版） 聊城大学学报（ （）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬｉａｏｃｈｅｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔＮａｔ．Ｓｃｉ． ｇｙ Ｖｏｌ．２５Ｎｏ．２ Ｊｕｎ．２０１２ 两类非线性发展方程的新精确解 李 宁 （）聊城大学数学科学学院，山东聊城２５２０５９ ＊ ／摘 要 利用扩展的（方法，得到广义的ＯＧ′Ｇ）ｓｔｒｏｖｓｋＬｅｖｉ方程组的一些新的精确解，ｙ方程、包括双曲函数解，三角函数解，有理函数解等． ／关键词 扩展的（方法，广义的Ｏ精确解Ｇ′Ｇ）ｓｔｒｏｖｓｋＬｅｖｉ方程组，ｙ方程， （）中图分类号 Ｏ１７５
2、．２ 文献标识码 Ａ 文章编号 １６７２６６３４２０１２０２０００１０５－－－ ０ 引言 偏微分方程的求解的问题一直是数学和物理学工作者关注的热点问题．为了得到非线性发展方程的精 ］［，］１，２ ，（／确解，学者们提出了许多行之有效的方法，如经典和非经典李群方法［修正的Ｃ方Ｋ直接方法３４，Ｇ′Ｇ）］５，６，７ ／法［等．这些方法已经成功应用于计算不同类型非线性方程的精确解．本文将利用扩展的（方法，得Ｇ′Ｇ） 包括双曲函数解，三角函数解，有理函数解．到广义的ＯｓｔｒｏｖｓｋＬｅｖｉ方程组更多的新精确解，ｙ方程、 ／展开法的概述１ 扩展的（Ｇ′Ｇ） 考虑如下偏微分方程 …）（
3、ｕ，ｕｕｕｕｕ＝０，１ｐ（ｘ，ｔ，ｘｘ，ｘｔ，ｔｔ， ）／是未知函数，方法的应用步骤包括：ｕ＝ｕ（ｘ，ｔＧ′Ｇ）ｐ是关于ｕ及其偏导数的已知多项式．扩展的（ ），，）第１步，作行波变换．令ｕ（则（就变为一个关于ｕ＝的常微分方程ｘ，ｔ＝ｕ（ｋｘ＋ｌｔ１ｕ（ξ）ξ＝ξ） ２２ …）ｕ，ｋｕ′，ｌｕ″，ｋｕ″，ｋｌｕ″，ｌｕ″，＝０．ｐ（ ）／第２步，假设（有关于（的下述形式的解２Ｇ′Ｇ） （）２ ｍ－ｍ ｕ（＝ααα－ｍ）．ｍ）＋…＋０＋…＋ξ）ＧＧ ／关于（的项共有２这里的Ｇ＝Ｇ（满足二阶常微分方程Ｇ′Ｇ）ｍ＋１项．ξ） （）３ （）Ｇ″＋Ｇ′＋Ｇ＝０，４λμ …，）
4、其中α将（带入（用最高阶导数项的阶数与最高阶非线性４２）αα－ｍ，λ，ｍ，ｍ－１，μ和ｍ都是待定的常数． 项的次数平衡以确定ｍ的值． ／第３步，确定超定代数方程组．把（和（带入到（中，令（各项的系数为零，得到关于α３）４）２）Ｇ′Ｇ）ｍ，…，αα－ｍ，λ，ｍ－１，μ的代数方程组Ｆ＝０． …，））第４步，确定精确解．解代数方程组Ｆ＝０，得到α利用（的解得到（的行波解．４２αα－ｍ，λ，ｍ，ｍ－１，μ， ２ 广义Ｏｓｔｒｏｖｓｋｙ方程的精确解 ［８］ 考虑如下广义Ｏｓｔｒｏｖｓｋｙ方程 ＊ 收稿日期：２０１１１２２０－－ ） 项目： 自然科学 和中国工程物理研究院联
5、合 资助（１１０７６０１５：通讯 李宁，Ｅ－ｍａｉｌｌｎ１０１１＠１６３．ｃｏｍ． ２ 聊城大学学报（自然科学版） ２ 第２５卷 （２（），（）ｕ３ｕｕｕ＋ｕ５δｔ＋ｘ－ｘｘｘ）ｘ＝ ４２ ——并给出了此时的洋流运动方程—ＬＡ．Ｏｓｔｒｏｖｓｋ９７８年提出考虑地球自转影响下洋流的运动问题， ｙ在１反映了旋转影响的强度，是常数参数），该式中ε为度量旋转效应的无量纲参数Ｏｓｔｒｏｖｓｋ５．δｙ方程（β２ ］）决定了色散的类型．文献［中用Ｆ展开法求出了（当β＝±１，以及４种Ｊ８５ａｃｏｂｉ椭圆δ＝±１时的精确解，／函数表示的周期波解．下面用扩展的（方法得到广义ＯＧ′Ｇ）
6、ｓｔｒｏｖｓｋｙ方程更多新的精确解． ），，）作行波变换ｕ（其中ξ＝带入（得到方程ｘ，ｔ＝ｕ（ｋｘ＋ｌｔ５ξ） ４２２ （２２２４） （）ｋｌｕ″＋３ｋｕ′＋３ｋｕｕ″－－－＝０．４２２ ２ ２ （）６ ｍ＋４…，４）２ ））（（（假设（有（式表达的解，把（带入（得ｕ（６３４）６）＝ｍ（ｍ＋１）ｍ＋２）ｍ＋３）＋ｕ′）＝αｍ） Ｇ２２２ｍ＋２２ｍ＋２４）２ ），）平衡ｕ（与（可得ｍ＝２，此时（写成ｍ２＋…，ｕｕ″＝ｍ（ｍ＋１＋…，ｕ′）３ααｍ）ｍ） ＧＧ ２－１－２ ｕ（＝＋αααα－１）＋α－２），２）＋１）０＋ξ）ＧＧＧＧ 可以得到以下三组解 ２２ ，
7、其中μ，＝－＝０＝－＝０＝－ｋ＝ｋｌ＝－ｋ为任意实数；αααα－１α－２λ，２１０ ３２ｋ８４８δδδδμμ ２２２２ １８ｋ－６＋，２２＋，，，，，，）其中μ，ｋｌ＝ｋ，８αααλαα－１＝０α－２＝０ｋ＝λ，α２＝２α１＝２０＝２为任意实数；（ ４１２ｋδδ２２２２２２２２２ （）（）（），，，，其中０，０，ｋ＝ｋ，ｌ＝αααα－１＝α２＝１＝０＝－２＝２２ ４４１２１６ｋβδδδδ ｋ为任意实数．λ，μ， （）７ ））／，把（带入（并令（相同次幂的系数为０，得到相关的代数方程组（见附录）求解上述１７６Ｇ′Ｇ）３个方程组 ）））限于篇幅，仅写出对应（的结果，
8、其他情况类似可写出．把（带入到（可以得到８８７ －６＋，２２ ｕ（＝＋ααλ）２）＋２ξ）ＧＧ４δ ２））这里的ξ＝把（式带入到（式中可以得到３种广义Ｏｋｘ＋．９４ｓｔｒｏｖｓｋｙ方程的行波解． １２ｋδ２ 情况１ 当λ－４μ＞０， ２ －６＋ｃｓｉｎｈ＋ｃｃｏｓｈｃｓｉｎｈ＋ｃｃｏｓｈ，１１２１１１２１２２）＋）ｕ＝－＋－＋＋ααλ（１（２（２ξ）２ｃｃｏｓｈｃｓｉｎｈ２ｃｃｏｓｈｃｓｉｎｈ４ωωωωδ１１２１１１２１ξ＋ξξ＋ξ ２２ ２ ２ （）９ ，，２２这里的ω这是广义Ｏ＝ｋｘ＋ｃｓｔｒｏｖｓｋ－４ｙ方程的双曲函１＝１ｃ２都是任意的常数，μξ２１２ｋδ数解．
9、 ２ 情况２ 当λ－４μ＜０， ２ ，１２２２１２２２２２）＋）ｕ＝－＋－＋＋ααλ（２（２（２ξ）２ｃｃｏｓｈｃｓｉｎｈ２ｃｃｏｓｈｃｓｉｎｈ４ωωωωδ１２２２１２２２ξ＋ξξ＋ξ ２２２ １８ｋ２＋２ 这里的ω这是广义Ｏ－ｋｘ＋，ｃｃｓｔｒｏｖｓｋλξ＝ｙ方程的三角函２＝１，２都是任意的常数，２μ１２ｋδ 数解． ２ ｃｃ－６＋，２２２２ ）＋）情况３ 当λ－４ｕ＝－＋－＋＋ααλ（３（２（２μ＝０，ξ）２ｃｃ２ｃｃ４δ１＋２１＋２ξξ ２ ２２２ ，，２这里的ξ＝这是广义Ｏｋｘ＋ｃｓｔｒｏｖｓｋｙ方程的有理函数解．１ｃ２是任意的常数． １２ｋδ］注１ 文献［
10、中用Ｆ展开法求出了广义Ｏ以及４种Ｊ８ｓｔｒｏｖｓｋａδ＝±１时的精确解，－ｙ方程当β＝±１， ２２２ 第２期 李宁：两类非线性发展方程的新精确解 ３ ］以上解除情况２在文献［中被提到过，其余解都是新解．ｃｏｂｉ椭圆函数表示的周期波解．８ ３ Ｌｅｖｉ方程组的精确解 ［］ 考虑如下Ｌｅｖｉ方程组９ ｕｕ２ｕｕ＋２ｖｔ＝－ｘｘ＋ｘｘ， ｖｖ２ｖｕ２ｖｕ．ｔ＝－ｘｘ＋ｘ＋ｘ ］文献［中，利用修正的Ｃ获得了Ｌ同时得到了Ｌ９Ｋ方法，ｅｖｉ方程组的对称群和李代数，ｅｖｉ方程组的 ／某些新精确解．下面用扩展的（方法得到ＬＧ′Ｇ）ｅｖｉ方程组更多精确解． 设 ），），，ｕ（ｘ，ｔ
11、＝ｕ（ｖ（ｘ，ｔ＝（ｋｘ＋ｌｔξ）ξ）ξ＝ ））把（代入（得到１１１０ ２ ｌｕ′＝－ｋｕ″＋２ｋｕ′ｕ＋２ｋｖ′， ２ ｌｖ′＝－ｋｖ″＋２ｋｕ′ｖ＋２ｋｖ′ｕ， （）１０ （）１１（）１２ （）１３ ）））平衡（式中ｕ式中的ｖ可设方程组（有以下形式的解１２″与ｕ′ｕ和（１３″与ｕ′ｖ得到ｍ＝１，１２ －１（））－１ ｕ（＝＋ｖξ＝＋ααα－１），２）０＋１０＋－１），ξ）βββＧＧＧＧ 其中ααα－１，１，０，１，０，βββ－１是待定的常数． 仿照前面单个方程的求解过程，可以得到下述三组系数关系． 第一组： ，ｋ＝ｋ，ｌ＝ｌ ααααα－１＝０，１＝１
12、０＝０，β－１＝０， （）１４ ２２（）１５ｌ２ｋ２ｋ＋ｋｋｋ＋－＋２１－１－１１０１（１），，０＝－１＝－ββｋ＋２ｋｋ＋２２αα１１ ，这里的ｋ，ｌααα－１是任意的常数；１，０， －１－１（－１）１ ，，，，第二组：ｋ＝（ｌ＝ｌ００，αααααΔ１＝０＝０，－１＝－１，－１＝－１，０＝１＝１２ββββ２２α－１）α－１（α－１）μβ－１＋β－１＋４３３２２２２２２２２ ＝４ｌｕ－２４λαα－１λ－２α－１αα－１α－１α－１α－１λα－１αα－１α－１α１＋００＋０β－１－４β－１μ＋β－１μ－６β－１μμβ－１－４β－１μ＋２ ２２２ ，ｌｌｕαα－１，０，β－１μ＋
13、β－１且ｌβ－１是任意的常数； ２－１＋－１（－１），，ｋ＝ｌ＝ｌ 第三组：ααα－１＝α－１，１＝１，β－１＝β－１，＋α－１－１μβ ２ ， α０＝２３３２２ （）２＋３＋＋３＋２＋２ααα－１α１１１μα－１μμβ－１α－１α－１β－１α－１β－１α－１μβ－１ ２ ＋＋－１－－１＋－１－１＋２－１１１１（１－１１－１），，０＝１＝－２ββ＋＋２＋２＋２αα１－１ααααα－１－１－１１－１１－１μβμβμ ５４４４３３２３２３３ 其中Δｌα－１λ＋４α－１λα－１α－１αλα－１αλα－１λα－１α－１α－１２＝１１β－１－２μ＋８μ＋４β－１＋μ＋３β－１μ－６
14、μβ－１－２ ３２２２２２２２２２２２２ ｌ６ｌ －２α－１αα－１λαλα－１α－１α－１αα－１α－１＋１１１－１μ＋４μβ－１＋２μβ－１－４μμαμβ－１＋μβ－１ ２２３３２ ｌｌｕ －４α－１α－１α１１１μαβ－１＋２μαβ－１＋β－１， ，）））这里的ｌ以下利用第一组的结果写出（的解，把（带入到（中得到１０１５１４αα－１，１，β－１是任意的常数． ２２ ｋ＋ｌ２ｋ２ｋ＋ｋｋ＋２））－１（１）１－１－１１０ （），（），ｕξ＝＋－αα１０ｖξ＝－Ｇｋ＋２Ｇｋ＋２ｋ２αα１１，）这里的ξ＝以下是方程（的三组解．ｋｘ＋ｌｔ１０ｓｉｎｈｃｃｏｓｈｋ＋１１２１１（１
15、ｃ２＋），（）（，（）（情况１ 当λ－４０ｕ＝－＋＋ｖ＝－－＋＞αα１０μξξ２ｃｃｏｓｈｃｓｉｎｈｋ＋２２ωωα１１２１１ξ＋ξ ２２ ｃｓｉｎｈｃｃｏｓｈｌ２ｋ２ｋ＋ｋｋ－＋２１１２１１－１－１１０＋），，这里的ω－ｘ＋ｌｔｃｃ－４１＝１，２，μξ＝ｋｃｃｏｓｈ＋ｃｓｉｎｈ２ｋ＋２ｋ２ωωα１１２１１ξξ ，这是Ｌｋ，ｌｅｖｉ方程组的双曲函数解．ααα－１是任意的常数，１，０， ４ 聊城大学学报（自然科学版）第２５卷 ｃｓｉｎｃｃｏｓｋ＋１２２２１（１）－２＋））（情况２ 当λ－４ｕ（＝α－＋＋αｖ（＝－－＋１（０，μ＜０，ξ）ξ２ｃｃｏｓｃｓｉｎｋ＋２２ωωα１２２２１ξ＋ξ
16、 ２２－ｃｓｉｎｃｃｏｓｌ２ｋ２ｋ＋ｋｋ＋２１２２２１－１－１１０２＋），，这里的ω－－ｘ＋ｌｔｃｃｋ，λ２＝１，２，μξ＝ｋｃｃｏｓｃｓｉｎｋ＋２ｋ２２ωωα１２２２１ξ＋ξ ，这是Ｌｌｅｖｉ方程组的三角函数解．ααα－１都是任意的常数，１，０， ２１（１）２２，（）（），（）（）情况３ 当λ＋－４＝０ｕ＝－＋ｖ＝－－＋－αα１０μξξ２ｃｃｋ＋２２ｃｃ２α１＋２１１＋２ξξ ２２１１１１０，，，这是Ｌｋｘ＋ｌｔｃｃｋ，ｌｅｖｉ方程组的ααα－１都是任意的常数，１，２，１，０，ξ＝（）ｋ＋２α１ｋ 有理函数解． 注２ 以上解都是在其他文献中都没有出现过的新解． ４ 结论 ／本
17、文利用扩展的（方法得到广义的Ｏ并通过此方法得到Ｇ′Ｇ）ｓｔｒｏｖｓｋＬｅｖｉ方程组的精确解，ｙ方程， 了一些新解． 附 所得到同次幂的代数方程组： ２２４４ ２６：３０ｋａ０ｋａ－２－２μ－３βμ＝０； ２２４４２２３ ２５：３６ｋａａ－２ｋａ－１４ｋａ４ｋａ－２λλ－１－２μ－６βμ＋５μ－８βμ＝０； ２２４２２４２３２２ ４：－ａ－２－ａ－２５ｋａｋｌａ－２＋６３ｋａａ－２δλμ－１λ＋６λ－１－１μ＋ββμμ２２ ２２２２２２４３２ ２ ２ ２ｋａ８ｋａａ－２ｋａ０ｋａ－２８ｋａ２４λ＋１－２－１－２０μ＋９μ－６βμ＋４μ＝０；录 ４２２２２２２２２ ２ ３：－
18、ａ－１ａ－２－１０ｋｌａ－２ｋｌａ－１ｋａａ－２５ｋａａ－１４ｋａａ－２εδλλλμ＋５１－１－１μ＋２μ＋６μ＋１μ－２βμ ２２２４２２４３２２ ２ ＋３０ｋａａ－２７ｋａａ－２１０ｋａ－２２ｋａ０ｋａ－１ｋａａ－１λλ－１λλ－１０－１０－２μ＋２βμ＋４βμ＋６μ４３－ａ－２λμ＝０；β２ ４２２２２４２２２２ ２ ２２：－３４ｋａ－２５ｋａａ－２４ｋａａ－２ａａ－２－５８ｋａ－２２ｋａｋａλ＋２εδλμ＋１λ－１００－１－１βμ＋４μ－βμ＋６ ２２２２４４２４２ ＋３ｋｌａ－１２ｋａａ－２ｋａａ－２ｋｌａ－２ｋａ－２ｋｌａ－２５ｋａ－１λλ＋９λλ－４λ０１μ＋１μ
19、＋４μβμ＋８μ－１β ２４２２３２２ ２－ａβａｋａａ－１－ａ－１＋１８ｋａ０；λμ＋９λδ－２＝－２－１０μ４２２ ４２２２２２２ ２ １：－３０ｋａ－２ａａ－２＋６ｋａａ－２ｋａａ－１ｋｌａ－２ｋａ８ｋａａ－２λεδλ＋９λ＋１λ１１００－１βμ－μ＋６μ＋６ ４２４２２２２２３２ －ａ－１３ｋａａ－１ｋｌａ－１＋１８ｋａａ－２ａ－２ｋｌａ－１λμ－ａλ＋２λ－βλ＋λ－１＋０－１βμ２２２ ４４２４２２２ －４ｋａ－１βａ－２ａａ－１＋３ｋａａ－２λ－εδλ＝０；０－１βμ－４ ２４２２２３４３２２２ ２ ０：３ｋａａａ－１－ａａ－２－ａ－１ｋａ＋２ｋｌａ＋ｋｌ
20、ａ－１ｋａａεδεδλ－４λ＋６－１－ａ０－１２２２０２ββμμμ２４ ４４４２２４４３２２２３ ＋３ｋａａ－１ａｋａ－２－２ｋａ－１－２ｋａ－ａａλ－βλ－４λλλ－βλ０２１２１βμβββμμμμ２２４ ２２２２２２２ ２＋３ｋａａｋａａ－１ｋｌａ－１ｋｌａ－２＋６ｋａａａ３ｋａ＝０；λλλδ０１２２０－０＋－１μ＋３μ＋μ＋２μ２ ４２２３２２２２２４２ ２ －１：６ｋａａ－１ａｋａａｋａ３ｋａａｋｌａ０ｋａλμ＋３λ＋９λａλ＋２２２－１２１１＋０１１２μ－２βμ－２μ－３βμλ４４２２２２２２４ ＋６ｋｌａａａａ－１＋６ｋａａａａ１８ｋａａｋｌａａλλμ－εδεδ
21、λ－βλλ＋２１２０１０１＋０２１１μ－２βμ－μ４ ２２４２ ＋１８ｋａａｋａ１２１μ－４βμ＝０； 第２期李宁：两类非线性发展方程的新精确解５ ２２４２４２２２４４ ２２ －２：６ｋａｋａａ－１４ｋａ８ｋａｋａａａ４ｋａｋｌａλ＋９λ－３λμ＋９λ－εａλ＋３λ１２２２０１０２－２１βμ－５ββ ２２４２２２２２２ ２ －１５ｋａａ８ｋｌａ＋２４ｋａａ＋１２ｋａ＋４５ｋａａ＋１２ｋａａｋｌａλλ＋４λλ－δ１２０２１１０２２１＋１μβμμμμ２ ４２２３ ２ ＋１８ｋａλλ＝０；２１μ－４ａ ３４４３２２２２ ２ ２ －３：－１０ｋａ１０ｋａ１０ｋａ０ｋｌａ５ｋａ２
22、ｋａａ６ｋａａλλ＋１λ＋１λ＋４λεａ１２２２１２＋－１２１２μ－２μ－βμ－１ββ ４２２２２２ ＋５４ｋａａ７ｋａａｋｌａａｋａａ３０ｋａａλ＋２λ＋６λ＝０；１２１２１－２０１＋０２μ＋２２ ４２４２２２２２４ ２ ２ ２ －４：－１５ｋａ８ｋａａβａ８ｋａ＋９ｋａ６３ｋａａ０ｋａｋｌａλ＋１λ＋４λ－６１０２－２１２２２２１－ａ２＋βμμ＋６２２ ２ ２２＋２４ｋａλ＝０；２ ４２４２ ２ －５：－８４ｋａ４ｋａｋａ３６ｋａａ０；λ＋５λ－６２２１＋１２＝ββ ２４ ２－６：３０ｋａ３０ｋａ０．２－２＝β 参考文献 ［］（）］（）：王玲．维Ｂ约化、群不变解及守
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26、ｎｅｗｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＯｓｔｒｏｖｓｋｅ Ｕ－ －ｇｐｇｙ ，，ｕａｔｉｏｎａｎｄＬｅｖｉｅｕａｔｉｏｎｓｉｎｃｌｕｄｉｎｔｈｅｈｅｒｂｏｌｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｔｈｅｔｒｉｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｒａ －ｑｑｇｙｐｇ ｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． ，，，Ｋｅｗｏｒｄｓｔｈｅ－ｅｘｓｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＯｓｔｒｏｖｓｋｅｕａｔｉｏｎＬｅｖｉｅｕａｔｉｏｎｓｎｅｗｅｘａｃｔｓｏ －ｐｇｙｑｑｙ ｌｕｔｉｏｎｓ 中 国 公 路 算； 但在工况
27、 ５承载力极限状态） 几何非线性、 （ 时， 双 重非线性影响系数分别达到了 １１８ ． ４说 ． ２ ０ 和１１２ ９ ， 明此时结构计算的非线性影响不能忽略。 表１ 为各工况下弦杆跨中挠度值对比。根据表 １ 的对比可看出： 考虑双重非线性影响的挠度计算 学 报 １ （ ） ５ －４ ７ ４ ：０５ ． ２０ ０ ６年 Ｙ Ｏ ｏ ｕ ｇ Ｈ ｎ ， Ｎ ｎｈｉ ｅｅｒ ｏ Ａ ｐ ｅ Ａ Ｇ －ａ ｕｈ Ａ Ｌ －ａ Ｒ ｓ ｃ ｎ ｌｄ ｉ ． ａ ｈ ｐ ｉ Ｃａｃ ｌｔ ｎ ｅ ｏ ｏ ｏ ｄ ｒ ｕ Ｄ ｆｒ ｔ
28、 ｈ ｄ Ｌ ａ Ｖｅｓ ｓ ｅｏ ｍａｉｎ － ｌｕａｉ Ｍ ｔ ｏ ｆ ｏ Ｒｅ ｌｉ Ｃ ｒｅ Ｆ Ｔ ｊ ｔ ｔ ｘ ｌ ｐｅ ｉ Ｃ Ｓ Ｓ ｂ ｃ ｄ Ａ ｉ Ｃ ｍ ｒ ｓ ｎ ａｏ ｕｖ ｏ ｔ ｎ ｆ ｕ ｅ ｅ ｏ ａ ｏ ｓｏ ａｄ ｒ Ｂ ｎ ｎ Ｊ． ｎ ｏｒａ ｏ ｉ ａ ａｄ ｉ 仁］Ｃ ｉ Ｊｕｎｌ Ｈｇ ｗ ｙ ｎ Ｐ ｅ ｄ ｇ ｕ ｅ ｈ ａ ｆ ｈ ｎ Ｔ ａｓｏｔ２０ ，７４ ：０５． ４ １ （）５－４ ｒ ｐ ｒ， ｎ ０ ［ ］ 邵旭东， ２ 成尚锋， 李立峰． 钢管混凝
29、土拱肋节段模型试 值与试验结果非常接近， 平均相对误差为 ６７ 线 ． ％； 性和仅考虑几何非线性影响的挠度计算结果与试验 验［ ． ［ 长安大学学报： 然科学版， ０， （） ３． Ｊ ］ 自 ２ ３２ ４： －７ ０ ３ ３ ４ Ｓ Ｏ ｕ ｏ ， Ｎ Ｓ ａｇｆ ｇ Ｌ ｉｅ ． ｇ Ｃ Ｅ Ｇ ｈｎ－ ｎ ， Ｌ ｆ ｇ ＨＡ Ｘ － ｎ Ｈ ｄ ｅ Ｉ ｎ － Ｍｏ ｅ Ｔｅｔ Ｃ ｎ ｒｔ－ ｉｅ Ｓ ｅ Ｔｕ ｅ ｃ Ｒ ｂ ｏ ｃｅｅＦｌ ｄ ｅｌ ｂ Ａｒｈ ｉ ｄ ｌ ｓ ｏ ｆ ｌ ｔ 值的平均相对误差分别为
30、 １． ７７ ０２ ％和 ． ％。可见， 计算大跨径钢管混凝土拱桥极限强度时不仅要考虑 其几何非线性， 更主要的是要考虑它的材料非线性 。 通过对上述计算结果的分析可以看出， 由于同 时考虑了结构的几何非线性和材料非线性的藕合作 用， 并且引用 了能较好反映钢管混凝 土材料特性 的 本构关系， 因此本文程序能较好地反映大跨径钢管 混凝土拱桥结构受力、 变形的实际情况。 表 １ 各工况下弦杆跨中挠度对 比 Ｔ ｂ １ ｏ ａｉ ｎ Ｄ ｆ ｃ ｏ ｓ Ｍｉｄｅ ａ ｏ Ｌ ｗ ｒ ａ． Ｃ ｍｐｒ ｏ ｏ ｅｌ ｔ ｎ ａ ｄ ｌ Ｓ ｎ ｏ ｅ
31、 ｓ ｆ ｅ ｉ ｔ ｐ ｆ Ｃｈ ｒ Ｕｎ ｅ Ｖ ｒｏ ｓ ｓｓ ｏ ｄ ｄ ｒ ｉｕ Ｃ ｅ ａ ａ 工 况 １ Ｓｇ ｅｔ ］Ｊ ｒ ｏ Ｃ ａｇ ｎ ｖ ｓｙ Ｎ ｔｒ ｕｎｌ ｈｎ＇ Ｕ ｉ ｒｔ： ｕａ ｅｍ ｎ［ ． ａ ｆ ａ ｎ ｅ ｉ ａ ｌ Ｊ ｏ Ｓｉ ｃ Ｅ ｉｏ ２０ ２（） － ． ， ，３４ ．４ ７ ｃ ｎｅ ｔ ｎ ０３ ｅ ｄｉ ３３ ［ ］ 胡大琳 ， ３ 艾夫 ・ 哈依姆 ， 黄安录， 大跨径钢管混凝 等． 土拱桥 空 间几 何 非线性 分 析
32、「］ 中国公 路 学 报 ， Ｊ． １ ９ ，１ ２ ：５ １ ５ ． ９ ８ １ （ ）４ － ＨＵ ａｌ ， ＨＲ Ｍ ＡＩ Ｈ，ＨＵＡＮ Ａｎｌ， ａ． Ｄ －ｎ Ｅ ｉ Ｐ Ｇ － ｅ ｌ ｕ ｔ Ｔ ｒｅ ｎ ｏ ｌ ｍｅｒ Ｎ ｌ ａ Ａｎｌｓ ｏ ｉ ａ Ｇ ｏ ｔ ｃ ｎｉｅｒ ａｙｉ ｆｒ ｈｅ Ｄｍｅｓ ｎ ｅ ｉ ｉ ｏ ｎ ｓ Ｌｎ Ｓ ａ Ｃ Ｔ ｒ ｒ ｇｓＪ． ｎ ｏ ｒａ ｏ Ｓ Ａ ｃ Ｂｉ ｅ［］ Ｃ ｉ Ｊｕｎｌ ｏｇ ｎ ｐ Ｆ ｈ ｄ ｈ ａ ｆ Ｈｉ ｗ ｙ
33、ｒｎｐｒ， ８ １（）４－１ Ｔ ａｓｏｔ１９ ，１２ ：５５． ｇ ａ ａｄ ｈ ｎ ９ ［ ］ 卜 ４ 一之， 单德山， 雷． 赵 大跨度钢管混凝土拱桥非线 ２ ３ ４ ５ 性分析［ ． Ｊ 桥梁建设， ０ ，１５ ： ９ ］ ２ １３（）５ ． ０ － Ｂ Ｙ －ｈ， ＨＡＮ ｅｓ ａ ， ＨＡＯ ｅ Ｎｏ ｌ ｅｒ Ｄ －ｈ ｎ Ｚ Ｕ ｉ ｉＳ ｚ Ｌ ｉ ｎｉ ａ Ａ－ ． ｎ 试验值 挠度／ ｃｍ ００４ ．７ ００５ ．６ ００７ ．６ ００７ ．６ ０１９ ． ３ ０ １８ ． ３ ０ １２ ． ４ ０ １３ ．
34、 ４ ０ １９ ． ８ ０ １０ ． ６ ０ １５ ． ６ ０ １３ ． ９ ０ １０ ． ９ ０ １７ ． ９ ０２６ ． ０ ０２２ ． ５ 线 性 ０ ２０ ．０ ０２１ ．２ ０ ２８ ． ３ 几何非线性 双重非线性 ０ １２ ． ７ ｎｌ ｉｏ Ｌ ｎ Ｓａ Ｃ ｃ ｔ Ｆｌ Ｓｅｌ ｅ ｈ －ｐｎ ｎｒ ｅ ｉ ｄ ｅＴ ｂ Ａ ｃ ａ ｓ ｆ ｇ ｙ ｓ ｏ ｏ ｅ－ ｌ ｔ ｕ ｒ ｅ Ｂｉ ｅＪ． ｅ ｓ ｕｔ ｎ２０ ， ５ ： ９ ｇ Ｃ ｎｔ ｃｏ ， １３ （） ． ｒ ｇＥ］Ｂｉ ｄ ｒ ｄ ｏ ｒ
35、ｉ ０ １ ５ － ［ 〕 李延强， ５ 武兰河， 安蕊梅． 材料性质对钢管混凝土拱桥 ４ 结 语 （） １建立的钢管混凝土几何、 材料非线性分析方 法力学概念明确， 计算工作量小； 计算值与试验结果 的对比证明了非线性有限元程序的准确性， 为精确 分析此类结构提供了有力工具。 （） ２在钢管混凝土拱肋承受荷载较小时， 结构的 荷载一 挠度曲线基本上呈直线 ， 说明结构处于弹性阶 段， 可按弹性理论计算 。 （） ３在正常使用极限状态和承载力极限状态下， 钢管混凝土结构的非线性影响较大， 计算时不能忽 略其影响。 （） ４几何、 材料非线性分析计算挠度
36、值与试验结 果非常接近， 而仅考虑几何非线性影响得到的挠度 值却小得多， 说明钢管混凝土拱桥极限强度主要是 受钢管混凝土材料非线性引起截面刚度降低的影 响， 而不单纯受几何非线性的影响。 参考文献 ： Ｒｅｅｅ ｃｓ ｆｒｎ ｅ ： 动力性质的影响［］交通运输工程学报，０１１４ ： Ｊ． ２０ ，（） ５ －４ １５ ． Ｌ Ｙ ｎｇ ｎ ＷＵ ａ－ｅ Ａ ， Ｌ ｎｈ ， Ｒ ｉ ｉ Ｄ ｎｍ ｃ Ｉ －ｉ ｇ ａ ａ Ｎ ｕ ｍｅ ｙａ ｉ － ． Ｐｏｅｔ ｓ ｔ Ｐ ｅ ｃｓｄ ｏ ｃｅ Ａ ｃ Ｓｅｌ ｐ
37、－ ｎａｅ Ｃ ｎｒｔ ｒｈ ｒｐｒｅ ｏ ｉ ｆ ｅ ｉ Ｅ ｅ Ｂｉ ｅ ｅｔ ｙ ｔ ｉｓＪ． ｒａｏ Ｔ ａ ｉ ｂ Ｉ Ｍａｅａ ［］Ｊｕｎｌ ｒｆｃ ｒ ｇ Ｅｆ ｅ ｄ ｆ ｃ ｄ ｔ ｓ ｒ ｌ ｏ ｆ ｆ ａｄ ａｓｏ ａｉ Ｅ ｉｅｒ ， １ １４ ：１５ ． ｔｔ ｎ ｇｎｅｉｇ ２０ ，（ ）５－４ ｎ Ｔ ｎｐ ｒ ｏ ｎ ｒ ｎ ０ ［ 〕 Ｃ Ａ Ｅ Ａ Ｃ Ｕ Ｃ ＩＬ ． ｌｅ Ｆａ ｅ ｌ ６ Ｈ ＪＳ Ｈ Ｒ ＨＬ Ｊ ｏ ｉ ａ ｒ Ａ ａ － ， Ｅ Ｎ ｎｎ ｒ ｍ ｎ ｙ ｓ ｂ Ｆ ｉ Ｅｅ
38、 ｎ Ｍｅ ｏ ［］Ｊｕｎｌ ｔ ｃ ｒ ｌ ｅｔ ｔ ｄ Ｊ． ｒａ ｏ Ｓｒ ｔ ａ ｉ ｙ ｔ ｍ ｓ ｉ ｅ ｎ ｈ ｏ ｆ ｕ ｕ ｌ Ｅ ｇ ｅ ｉ ， Ｅ １ ７１３６ ： ２１ ３． Ｃ ， ８ ，１（）ｌ － ２５ ｎｉ ｅｎ Ａ ｎ ｒｇ Ｓ ９ ２ １ ［ 〕 韩林海． ７ 钢管混凝 土结构 ［ ． Ｍ］ 北京 ： 学 出版社 ， 科 ２０． ００ ＨＡＮ ｉ－ ａ Ｃ ｎ ｒｔ Ｆ ｌ Ｓ ｅ Ｔｕ ｅ ｕ ｔｒｓ ｏ ｃｅｅ ｌ ｄ ｅ ｌ ｂ Ｓ ｒ ｃｕ ｅ Ｌ ｎｈ ｉ ．
39、ｉｅ ｔ ｔ ［ ． ｉ ： ｎｅ ｓ， ｉ ｃ Ｐｅｓ２０． Ｍ］Ｂｉ ｇＳ ｅ ｅｎ ｃ ｊ ｒ ００ ［ ］ Ｃ Ｉ ＩＬ Ｍ ． ｌｅｒ ｉ Ｅｅ ｅｔ ａ ｓ ８ ＲＳ Ｅ Ｄ Ａ Ｎ ｎｎａ Ｆｎ ｅ ｍ ｎ Ａ ｌ ｉ Ｆ ｏｉ ｉｔ ｌ ｎ ｙｓ ｏ Ｓｌｓ Ｓｒ ｔ ｅ Ｍ］ Ｃ ｉ ｓ ｒＪｈ Ｗｉｙ ｔ ｃ ｒ ［ ． ｃｅｔ ： ｎ ｌ ｆ ｉ ａｄ ｕ ｕ ｓ ｏｄ ｎ ｈｈ ｅ ｏ ｅ ＆ Ｓ ｎ ， ，９７ １９． ｏ ｓＩｃ ｎ． 仁 ］ ＭＥ Ｋ ， Ｈ Ｇ ｏ ｅ ｉ ｌ Ｎ ｎｎａ Ａ ａ ９
40、 Ｅ Ｊ Ａ ＬＴ Ｎ Ｓ ｅｍ ｔｃｌ ｏｌｅｒ ｌ ． ｒａｙ ｉ ｎ－ ｙｉ ｏ Ｓａｅ ｍ ｓ ｎ ｒ ｅｔｌ ａ ｖ Ｆａ ｅ ｂ ａ Ｉｃ ｍ ｎａ Ｉ ｒ ｉ ｓ ｆ ｃ ｒ ｓ ｐ ｙ ｎ ｅ ｔ ｔｅ ｅ Ｔ ｃｎ ｕ ［ Ｃ ｍ ｕ Ｍｅ Ａ ｌ ｃ Ｅ ｒ， ． ｏ ｐｔ ｔｓ ｐ Ｍｅｈ ｇｇ ｅｈｉ ｅ ｑ Ｊ ］ ｈ ｐ ｎ １ ８ ，７ １ ；６ ２ ２ － ８ ． ９ ４ ４ （ ）２ １ ［０ Ｌ Ｕ ， Ｇ ＢＥｆｔｏＲｇ Ｂｄ ａｄ ｅ－ １］ Ｅ ＩＪＹ Ｎ Ｙ ｆｃ ｆ
41、 ｉ ｏｙ Ｓ ｔ ． Ａ ． ｓ ｉｄ ｎ ｔ ｃ ｅ ｒ ｈ ｇ Ｎ ｎｎ ｒ ｌ ｉ ｆ ｓ ｓ ． ｒ ｌ ａ Ａ ａ ｓ ｏ Ｔｕｓ ［］ Ｊｕｎ ｏ ｉ ｏ ｏｌｅ ｎ ｙ ｓ ｒ ｅ ｊ ｏ ａ ｆ ｎ ｎ ｉ Ｓｒｃ ｒ Ｅ ｇ ｅｒ ｇ Ａ Ｅ １９ ， （０ ： ５２ ｉ ｅｎ ， Ｃ ， ０ １６ １ ） ２ － ｔ ｔａ ｎｎ ｉ ｕ ｕ ｌ Ｓ ９ １ ８ ２ ８ ５ ． ９ ［ ］ 尧国皇， １ 韩林海． 钢管混凝土轴压与纯弯荷载一 变形关 系曲线实用计算方法研究「ｌ 中国公路学报 ，０４
42、 ｉ． ２０ ， 第二章 非线性方程（组）的数值解法 2.1 方程（组）的根及其MATLAB命令 求解方程（组）的solve命令 求方程f(x)=q(x)的根可以用MATLAB命令: >> x=solve('方程f(x)=q(x)','待求符号变量x') 求方程组fi(x1,…,xn)=qi(x1,…,xn) (i=1,2,…,n)的根可以用MATLAB命令: >>E1=sym('方程f1(x1,…,xn)=q1(x1,…,xn)'); ……………………………………………………. En=sym('方程fn(x1,…,x
43、n)=qn(x1,…,xn)'); [x1,x2,…,xn]=solve(E1,E2,…,En, x1,…,xn) 求解方程（组）的fsolve命令 fsolve的调用格式： X=fsolve(F,X0) 2.2 搜索根的方法及其MATLAB程序 作图法及其MATLAB程序 作函数在区间 [a,b] 的图形的MATLAB程序一 x=a:h:b; % h是步长 y=f(x); plot(x,y) grid, gtext('y=f(x)') 说明：⑴ 此程序在MATLAB的工作区输入，运行后即可出现函数的图形.此图形与轴交点的横坐标即为所要求的
44、根的近似值. ⑵ 区间[a,b] 的两个端点的距离 b-a 和步长h的绝对值越小，图形越精确. 作函数在区间 [a,b]上的图形的MATLAB程序二 将化为，其中是两个相等的简单函数. x=a:h:b; y1=h(x); y2=g(x); plot(x, y1, x, y2) grid,gtext(' y1=h(x),y2=g(x)') 说明：此程序在MATLAB的工作区输入，运行后即可出现函数的图形.两图形交点的横坐标即为所要求的根的近似值. 逐步搜索法及其MATLAB程序 逐步搜索法的MATLAB主程序 function [k,r]=zhubuss(a,b,h,
45、tol) % 输入的量--- a和b是闭区间[a,b]的左、右端点； %---h是步长； %---tol是预先给定的精度. % 运行后输出的量---k是搜索点的个数； % --- r是方程 在[a,b]上的实根的近似值，其精度是tol； X=a:h:b;Y=funs(X);n=(b-a)/h+1;m=0; X(n+1)=X(n);Y(n+1)=Y(n); for k=2:n X(k)=a+k*h;Y(k)=funs(X(k)); %程序中调用的funs.m为函数 sk=Y(k)*Y(k-1); if sk<=0, m=m+1;r(m)=X(k);
46、end
xielv=(Y(k+1)-Y(k))*(Y(k)-Y(k-1));
if (abs(Y(k))
47、ss(-2,2,0.001,0.0001) 运行后输出的结果 k =4001 r = -1.2240 -1.0000 -1.0000 -0.9990 1.2250 即搜索点的个数为k =4 001，其中有5个是方程的近似根，即r = -1.224 0，-1.000 0，-1.000 0，-0.999 0，1.225 0，其精度为0.000 1. 在程序中将y=2.*x.^3+2.*x.^2-3.*x-3用y=sin(cos(2.*x.^3)) 代替，可得到方程在区间上的根的近似值如下 r = -1.9190 -1.7640 -1.5770 -1.33
48、00 -0.9220 0.9230 1.3310 1.5780 1.7650 1.9200 2.3 二分法及其MATLAB程序 2.3.2 二分法的MATLAB程序 二分法的MATLAB主程序 function [k,x,wuca,yx]=erfen(a,b,abtol) a(1)=a; b(1)=b; ya=fun(a(1)); yb=fun(b(1)); %程序中调用的fun.m 为函数 if ya* yb>0, disp('注意：ya*yb>0,请重新调整区间端点a和b.'), return end max1=-1+cei
49、l((log(b-a)- log(abtol))/ log(2)); % ceil是向 方向取整 for k=1: max1+1 a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2; yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1; [k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx] if yx==0 a=x; b=x; elseif yb*yx>0 b=x;yb=yx; else a=x; ya=yx; end if b-a< abtol , return, end end k=max1; x; wuca; yx=fun(x)
50、 例2.3.3 确定方程x3-x+4=0的实根的分布情况，并用二分法求在开区间 (-2,-1)内的实根的近似值，要求精度为0.001. 解 （1）先用两种方法确定方程x3-x+4=0 的实根的分布情况。 方法1 作图法. 在MATLAB工作窗口输入如下程序 >>x=-4:0.1:4; y=x.^3-x +4; plot(x,y) grid,gtext('y=x^3-x+4') 画出函数f(x)=x3-x+4的图像.从图像可以看出，此曲线有两个驻点都在x轴的上方，在(-2,-1)内曲线与x轴只有一个交点，则该方程有唯一一个实根，且在 (-2,-1)内.
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