代数第三册-第十二章《一元二次方程》提高测试题.doc

代数第三册 第十二章《一元二次方程》提高测试题（全面版）资料
《一元二次方程》提高测试

一 填空题（本题20分，每小题4分）：
1．方程4x2＋（k＋1）x＋1＝0的一个根是2，那么k＝ 　 ，另一根是 　　　；
2．方程 kx2＋1 ＝ x－x 2 无实数根，则k 　　　；
3．如果 x2 －2（m＋1）x＋m2＋5 是一个完全平方式，则m ＝ 　　；
4．若方程 x2＋mx－15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，则m ＝　　　　；
5．若方程 x2－x＋p ＝ 0 的两根之比为3，则 p＝　　　.
答案：
1．，；
2．＞；
　3．２；
　4．；
　5．．

二 选择题（本题24分，每小题4分）：
1．若一元二次方程 2x（kx－4）－x2＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是……（ ）
（A）－1 （B）2 （C）3 （D）4
2．若c为实数，方程x2－3x＋c＝0的一个根的相反数是方程x2＋3x－3＝0的一个根，那么方程x2 －3x＋c＝0的根是…………………………………………………………（ ）
（A）1，2 （B）－1，－2 （C）0，3 （D）0，－3
3．方程x2－3|x|－2＝0的最小一根的负倒数是…………………………………………（ ）
（A）－1 （B） （C）（3－） （D）
4．对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个…………………………………（ ）
（A）非负数 （B）正数 （C）整数 （D）不能确定的数
5．若一元二次方程ax2＋bx＋c ＝ 0 （a≠0） 的两根之比为2：3，那么a、b、c间的关
系应当是………………………………………………………………………………… （ ）
（A）3b2＝8ac （B） （C）6b2＝25ac （D）不能确定
6．已知方程3x2＋2x－6 ＝ 0 ，以它的两根的负倒数为根的新方程应是……………（ ）
（A）6x2－2x＋1＝0 （B）6x2＋2x＋3＝0 （C）6x2＋2x＋1＝0 （D）6x2＋2x－3＝0
答案：
　１．Ｂ；２．Ｃ；３．Ｂ；４．Ｂ；５．Ｃ；６．Ｄ．

三 解下列方程（本题24分，每小题6分）：
1．；
2．；
3．4x2＋19x－5＝0；
4．.
答案：
（1） x1＝，x2＝－；
（2） x＝－２；
（3） x1＝，x2＝；
（4） x1＝，x2＝．

四（本题10分）
若方程2x2－3x－1＝0的两根为x1和x2不解方程求x41＋x42的值；
答案：．
解：因为方程2x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，
由根与系数的关系知
　　，．
所以

五（本题10分）
两列火车分别从A、B两站同时发出，相向而行，第一列车的速度比第二列车每小时快10 km，两车在距A、B中点28 km处相遇，若第一列车比原来晚发出45分，则两车恰在A、B中点相遇，求A、B距离及两车的速度．
答案：A、B距离为840km，第一列车速度为80km／h，第二列车速度为70km／h.
解：设A、B两站相距为2S km，第一列车速度为（x＋10）km/h，第二列车速度为xkm/h．
依题意，得

解得　　　
所以　A、B两站相距为840km，第一列车速度为80km／h，第二列车速度为70km／h.

六（本题12分）
挖土机原计划在若干小时挖土220m3，最初3小时按计划进行，以后每小时多挖10m3，因此提前2小时超额20m3完成任务，问原计划每小时应挖土多少m3 ？
答案：原计划每小时挖土20m3．
解：设原计划每小时挖土x m3．
依题意，得

解得　　　　　　　．
所以原计划每小时挖土20m3．

九年级数学（上）单元评估试卷
1、下列方程是一元二次方程的是（ ）。
A、 B、
C、 D、
2、一元二次方程的根为（ ）。
A、x = 2 B、x = －2 C、x1 = 2 , x2 = －2 D、x = 4
3、已知2是关于x的方程：的一个解，则2а － 1的值是（ ）。
A、5 B、－5 C、3 D、－3
4、用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ）。
A、 B、 C、 D、
5、小丽要在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm，则x满足的方程是（ ）。A、 B、
C、 D、
6、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）。
A、m = 0 B、m ≠ 1 C、m ≥0且m ≠ 1 D、m 为任意实数
7、将方程2x2-4x-3=0配方后所得的方程正确的是
A、(2x-1)2=0 B、(2x-1)2-4=0 C、2(x-1)2-1=0 D、2(x-1)2-5=0
8、已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是
A、 ±5 B、 5 C、 4 D、 不能确定
9、已知3是关于x的方程的一个解，则2a的值是
A、11 B、12 C、13 D、14
10、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为
A B C D

二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。每小题3分，共24分）。
11、把一元二次方程：化成一般式是________________________。
12、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）
13、填空 x2-6x + = (x- )2
14、等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长是
15、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为
16、方程：的解为：____________________。
17、已知关于x的方程是一元二次方程,则m的值为：___________。
18、在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2-b2,根据这个规则，方程(x+2) ﹡5=0的解为
三、细心做一做：（按要求解下列一元二次方程）（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）
19、 （配方法） 20、（公式法）

21、(x+1)(x+8)=-12

22、已知关于x的一元二次方程的一个根为0，求k的值和方程的另外一个根。

23、对于二次三项式x2-10x+36，小颖同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值一定大于零。你是否同意她的说法？说明你的理由.

四、勇敢闯一闯：（列方程解应用题）（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分。）
24、某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？

25、如下图，在△ABC中，∠B= 90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动。
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8厘米2 ？
（2）如果P、Q两分别从A、B两点同时出发，并且P到B又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，△PCQ的面积等于12﹒6厘米2 ？

列一元二次方程，分式方程，分式方程组解应用题
　　一、内容综述：
　　1．列方程解应用题的一般步骤是：
　　（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。
　　（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。
　　（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。
　　（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。
　　（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意，最后做出符合题目要求的答案。
　　在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。
　　在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：
　　（1）方程两边表示同类量
　　（2）方程两边的同类量的单位一样
　　（3）方程两边的数值相等
　　二、例题分析：
　　例1．某人用1000元人民币购买一年期的甲种 ，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种 ，若乙种 的年利率比甲种 低2个百分点，到期后某人的乙种 可兑换人民币108元，求甲种 的年利率。
　　分析：利息=本金×利率×存期
　　本息=本金利息
　　甲种 利息×（1+乙种 利率）×存期=108
　　解：设甲种 的年利率为x，依题意，甲种 的利息为1000x元，乙种 的年利率为x-0.02，则
　　1000x(1+x-0.02)=108
　　整理得：250x2+245x-27=0
　　(10x-1)(25x+27)=0
　　x1=0.1　　 x2=-
　　∵x2=-不合题意，舍去
　　∴x=0.1=10%
　　答：甲种 的年利率为10%。
　　例2．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。
　　（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示）
　　（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：
月份
用电量（度）
交电费总数（元）
3月
80
25
4月
45
10
　　根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？
　　分析：本题是原于现实生活中的经济问题，情景熟悉，但问题有障碍，不能直接看出问题的答案，必须认真阅读和思考
    问题（1）较简单，超过部分应交电费(90-A)元，问题（2），从表中看到，45
　　10+(80-A)=25
　　整理得，A2-80A+1500=0
　　解得：A1=50　 A2=30
　　但A2=30<45，不合题意舍去
　　∴A=5
　　解略。
　　例3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
　　若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
　　解：设每件衬衫应降价x元，
　　由题意可得：
　　(40-x)(20+2x)=1200
　　整理，得x2-30x+200=0
　　x1=10　 x2=20
　　根据题意x=10不合题意，舍去　　　　
　　所以x=20
    答：每件衬衫应降价20元。
　　说明：此题是一元二次方程在市场经济中的应用，利用已知条件，列方程，解方程都比较简单，但得出方程的根后，考查它们是否符合题意是个难点，已知中有“尽快减少库存”的要求，而每降低1元，则平均每天可售出2件，所以x=10，不合题意舍去。
　　例4．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。
　　（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
　　（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。
　　分析：此题是用数学知识解决简单的生产问题，这也是初中数学的教学目的。
　　第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间。
　　第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少 钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少。
　　解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成
　　由题意可得：　
　　解这个方程组得：　
    经检验此解是所列方程组的解
　　答：甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成。
　　（2）设付给甲队一天a元，付给乙队一天b元，付给丙队一天c元

　　解这个方程组得　　　　

　　又∵规定时间要求不超过15天　　
　　∴不能用丙队，　　　　　　　　　　　　　
　　∵10a=8000（元）　　 15b=9750（元）
　　答：由甲队单独完成此工程花钱最少。
　　说明：数学教学新大纲中要求“能够运用所学知识解决简单的实际问题”。能够解决实际问题是指：能够解决带有实际意义和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题，展开交流，形成用数学解决实际问题的意识，以上四题就反映了新大纲要求，这种形式的问题频繁出现在近两年的中考试卷中，这应引起我们的重视。
　　例5．A、B两地间的路程为15千米，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲，乙两人同时到达B地？
　　分析：此题是行程问题，行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程，并且路程=速度×时间。此题若间接设元，设甲步行每小时走x千米，乙骑自行车每小时走(x+10)千米，又已知AB两地路程为15千米，则可利用甲乙所用的时间找等量关系。
　　解：设甲步行每小时走x千米，
　　则乙骑车每小时走(x+10)千米
　　由题意得：+1=
　　整理得：x2+25x-150=0
　　解这个方程得：x1=5,x2=-30
　　经检验：x1=5,x2=-30都是所列方程的根，
　　但x=-30不合题意舍去
　　∴x=5
　　这时 15÷5=3（小时）
　　答：上午9点整，甲、乙两人同时到达B地。
　　例6．甲、乙两车同时从A地出发，经过C地去B地，已知Ｃ、Ｂ相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B，求两车出发时速度？
　　分析：解决此题的关键是：从C地到B地，甲比乙多走半小时。
　　解：设乙速为x千米/时。
　　则甲速为(x+5)千米/时
　　 - =
　　整理得：x2+15x-1750=0
　　解这个方程：x1=35, x2=-50
　　经检验：x1=35,x2=-50都是所列方程的根
　　但x=-50不合题意，舍去
　　∴x=35
　　∴x+5=35+5=40
　　答：甲出发时速度为40千米/时，乙出发时速度为35千米/时。
　　例7．甲乙两人分别从A、B两地同时同向出发，甲经过B地后，再经过3小时12分在C地追上乙，这时两人所走的路程和为36千米，而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程，求A、B两地的距离？
　　分析：此题间接设元比较方便，如可设甲、乙两人速度分别为x千米/时，y千米/时，可以利用“两人所走的路程和为36千米”及“甲从A到C所用的时间与乙从B到C所用的时间相等”这两个等量关系建立方程组。
　　解：设甲速为x千米/时，乙速为y千米/时
　　则AC长5y千米，BC长为 x千米（3小时12分=小时）
　　AB长(5y-x)千米
　　由题意可得　
　　解这个方程组得：
　　经检验它们都是所列方程组的解
　　又∵　 不合题意舍去
　　∴ 　
　　∴　5y-x=5×4 =4
　　答：A、B两地长4千米。
测试
　　A组选择题（每小题２０分）
　　1.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为
　　（A）50(1+x)2=175　　　　　　　　　 （B）50+50(1+x)2=175
　　（C）50(1+x)+50(1+x)2=175　　　　　 （D）50+50(1+x)+50(1+x)2=175
　　2.甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用五天，两队单独工作，各需要多少天完成？
　　若设甲队单独工作需要x天完成，则根据题意得到的方程是（　　 ）.
　 （A） =6 　　　　 （B）=6　 （C）6( )=1　　　 （D）=1
　　B组选择题（每小题３０分）
　　1.某村有若干人准备用平均集资的方法筹集数万元开发小区，消息传出后，又有3位村民认为开发项目对头，申请参加，于是每人可少集资3000元；最后收款时，又增加1人，再次使每人的平均集资数减少600元，问该村开始时有多少人集资？共集资多少元？
　　解如下：设最初集资人数为x，每人平均集资y元，依题意，列出方程组：
　　解法一：

　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　解法三：由隐含着的出入相补”原理，得方程组：

　　以上有三种解法，其中错误的是：
　 （A）解法一　　 （B）解法二　　　 （C）解法三　　 （D）都正确。
　　2.甲、乙两列车，分别从相距300千米的A、B两车站同时相向出发，相遇后，甲车再经过4小时到B站，乙车再经过9小时到A站，求甲、乙各车的速度。
　　解法一：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，根据题意，得：

　　解法二：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，
　　根据甲乙两车相遇时间相等，而相遇后至停止相差9-4=5小时，亦为全程时间差为5小时，据此得方程：

　　解法三：间接设未知数，设相遇时，甲、乙各行了x小时。
　　根据题设得方程：×4+ ×9=300
　　即 +=1，
　　得x2=36, x=±6 (-6不合题意，舍去。)
　　所以v甲==30（千米/小时），
　　v乙==20（千米/小时），
　　以上解法正确的有：
　 （A）一种　 （B）两种　 （C）三种　 （D）没有正确解法。
答案与解析  
　　A组答案：1、D　　　 2、C　　　 B组答案：1、C　　　 2、C
　　B组解析：
　　1、解题策略：一是按有关的几个基本量列表，未知数用相应的字母代替，可有助于理清题意，如：

　　集资人数
　　平均集资数
　　总额

　　开始时
　　x
　　y
　　z
　　第一次增人后
　　x+3
　　y-3000
　　z
　　第二次增人后
　　x+4
　　y-3000-600
　　z
　　二是根据出入相补原理：原来集资每人减少总额（出），由新增集资人承担（入）。
　　解法一：设最初集资人数为x，每人平均集资y元，依题意，列出方程组：

　　解之得：
　　所以 z=xy=54000（元）。
　　答：原来有6人集资，出集资5.4万元。
　　解法二：由隐含着的“出入相补”原理，得方程组：

　　第三种解法错误，注意题中“再次使每人的平均集资数减少600元”是指在减少3000元的基础上再减少600元，实为减少3600元，不能理解为2400元。
　　2．解题策略：画出分析图，是解行程问题的有效办法。

　　利用不同线条区分不同速度的运动体是个好办法，便于弄清题目的条件。
　　解法一：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，根据题意，得：

　　由(2)得 9y2=4x2,
　　3y=2x　 （因x,y 都是正的，故舍去负的）。
　　解得：
　　经检验，这个解满足题设要求。
　　答：甲车速度为30千米/小时，乙车速度为20千米/小时。
　　解法二：如上所述，根据甲乙两车相遇时间相等，而相遇后至停止相差9-4=5小时，亦为全程时间差为5小时，据此得方程：
　　　　（以下略）。
　　解法三：间接设未知数，设相遇时，甲、乙各行了x小时。
　　根据题设得方程：×4+ ×9=300
　　即 +=1，
　　得x2=36, x=±6 (-6不合题意，舍去。)
　　所以v甲==30（千米/小时），
　　v乙==20（千米/小时）。
　　以上三种解法都正确。 
列方程解应用题
　　考点
　　1．会列出方程或方程组解应用题。
　　2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
　　考题评析　　
　　1．（广州市）某商场销售商品收入款，3月份为25万元，5月份为36万元，该商场这两个月销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？
　　考点：一元二次方程的应用
　　评析：首先用3月份收入款及增长率（x）表示5月份的收入款根据5月份的实际额列方程25(1+x)2=36。
　　答案：20%
　　注：（1）解一元二次方程要求出两解，根据实际再取舍。
    　　（2）结果要化成百分数的形式。
　　2．（成都市）某科技公司研制成功一种新产品，决定向银行 200万元资金用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%，该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清 的本金和利息外，还盈余72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。
　　考点：一元二次方程的应用。
　　评析：两年后的产值是列方程的难点，也是此题的难点，即两年后的产值为本息和加盈利[200（1+8%）+72]，由题意不难列出方程200(1+x)2=72+200(1+8%)，(x为所求百分数)。
　　解：设这个百分数为x。
　　依题意，列出方程为　 200(1+x)2=72+200(1+8%)。
　　化简，得200(1+x)2=288，
　　即(1+x)2=1.44。
　　解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）。
　　答：该公司资金增长的百分数为20　
　　3．（昆明）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善昆明市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同。
　　（1）求每期减少的百分率是多少？
　　（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问两期治理完成后共需投入多少万元？
　　解：（1）设每期减少的百分率为x.　　　　　　1分
　　据题意，得：450(1-x)2=288　　　　　　3
　　(1-x)2=0.64
　　解得：x=1±0.8
　　∴ x1=0.2, x2=1.8(不合题意舍去)　　　　　　5分
　　∴每期减少的百分率为20%。
　　（2）∵ 450·(1-20%)=360
　　∴第一期减少的废气450-360=90（万立方米）　　　　　　6分
　　又∵第二期减少的废气360-288=72（万立方米）　　　　　　7分
　　则共需投入3×90+4.5×72=594（万元）　　　　　　8分
　　答：（1）每期减少的百分率为20%，（2）两期治理完成后共需投入594万元　　　　　　9分
　　4．（辽宁省）列方程解应用题：
　　某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他比第一次多买了10件，这样，第二次共花去2元，且第二次买的小商品恰好成打，问他第一次买的小商品是多少件？
　　考点：列分式方程解应用题
　　评析：思路：设第一次买的小商品为x件，则第二次为（x+10）件分别表示出每件的价格，两次的价格差即为每件小商品所降的价格，列出分式方程，可解决此题。
　　说明：求出未知数的值，必须检验，不但使方程成立，还必须符合实际。
　　解：设他第一次买的小商品为x件.
　　根据题意,得

　　去分母,整理得x2-35x-750=0.
　　解得x1=50,x2=-15.
　　经检验x1=50,x2=-15都是原方程的根.
　　但x=-15不合题意,舍去,所以只取x=50
　　答:他第一次买小商品50件.
　　5．（北京市海淀区）列方程或方程组解应用题：
　　为了响应节水号召，小红家要使200m3的水比过去多用5个月，计划每月比过去少用水2m3，问小红家计划每月用多少水？
　　考点：列方程（组）解应用题。
　　评析：列方程（或组）解应用题的关系是通过审题，找到等量关系，设未知数列方程（组）就容易了，(其中x为原来每天的用水量)x=10m3，所以计划每月的用水量为8m3。
　　6．（山西省）列方程解应用题：
　　A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发，开往B地，2小时后，又从A地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两种车的速度。
　　解： 设公共汽车的速度为x千米/时,则小汽车速度为3x千米/时
　　依题意,得.　　
　　解之,得x=20
　　经检验:x=20是所列方程的解, ∴3x=60

代数综合题之二次函数与一元二次方程
与一元二次方程相结合，往往偏向于计算、数形结合，讨论参数范围；或整数根或特殊解或与坐标交点等。
1. 二次函数
（1）求其顶点坐标，及与两坐标轴的交点坐标．
（2）若是函数图象上的两点，且，请比较的大小关系．（直接写结果）
（3）把方程的根在函数的图象上表示出来．

2.已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．
（1）证明；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．

3.已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若没有，请说明理由；
（2）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．

4.已知：关于x的一元二次方程x＋（n－2m）x＋m－mn=0 ①
(1)求证：方程①有两个实数根. (2)若m－n－1=0,求证方程①有一个实数根为1；

(3)在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a。
当x=2时，关于m的函数y=nx＋am与y=x＋a(n－2m)x＋m－mn的图像交与点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y、y的图像分别交与点C、D.当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值.

5.（09天津）已知函数为方程的两个根，点M（t，T）在函数的图象上．
（1）若，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；
（3）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．

6. 关于的一元二次方程.
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

7. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于的二次函数的图象关于y轴对称．
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．求二次函数y3＝ax2＋bx＋c的解析式.

8. 已二次函数及一次函数.
(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标；
(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在坐标系里画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值：
(3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围．

练习1. 已知抛物线其中是常数．（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

2. 已知：关于的方程（为实数）．
（1）若与x轴有交点，求的取值范围；
（2）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向上平移个单位长度，求平移后的解析式．

3.已知抛物线。
（1）若，，求此抛物线与x轴交点坐标。
（2）若，且当时，抛物线与x轴交点有且只有一个，求c的取值范围。

4. 已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2＋1.
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y1＝2x

y2＝x2＋1

（2）观察第（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；
（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y3＝ax2＋bx＋c，其图象经过点（－5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由.
第二章一元二次方程单元测试
班级：__________________姓名：___________________得分：
一、填空题
1.方程x(2x－1)=5(x+3)的一般形式是___________，其中一次项系数是_________，二次项系数是_________，常数项是_________.
2.关于x的方程(k+1)x2+3(k－2)x+k2－42=0的一次项系数是－3，则k=_________.
3.3x2－10=0的一次项系数是_________.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为_________.
5.x2+10x+_________=(x+_________)2
6.x2－x+_________=(x+_________)2
7.一个正方体的表面积是384 cm2，则这个正方体的棱长为_________.
8.m_________时，关于x的方程m(x2+x)= x2－(x+2)是一元二次方程？
9.方程x2－8=0的解是_________，3x2－36=0的解是_________.
10.关于x的方程(a+1)x+x－5=0是一元二次方程，则a=_________.
11.一矩形的长比宽多4 cm，矩形面积是96 cm2，则矩形的长与宽分别为_________.

二、选择题
13.下列方程中，关于x的一元二次方程有（ ）
①x2=0 ②ax2+bx+c=0 ③x2－3=x ④a2+a－x=0 ⑤(m－1)x2+4x+=0 ⑥+= ⑦=2 ⑧(x+1)2=x2－9
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
14.方程2x(x－3)=5(x－3)的解是（ ）
A.x=3 B.x= C.x1=3，x2= D.x=－3
15.若n是方程x2+mx+n=0的根，n≠0，则m+n等于（ ）
A.－ B. C.1 D.－1
16.方程 (x+)2+(x+)(2x－1)=0的较大根为（ ）
A.－ B. C. D.
17.若2，3是方程x2+px+q=0的两实根，则x2－px+q可以分解为（ ）
A.(x－2)(x－3) B.(x+1)(x－6)
C.(x+1)(x+5) D.(x+2)(x+3)
18.关于x的方程 x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ）
A.m=0，n=0 B.m=0，n≠0
C.m≠0，n=0 D.m≠0，n≠0
19.某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（ ）
A.15% B.20% C.5% D.25%
20.2是关于x的方程x2－2a=0的一个根，则2a－1的值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
21.下列方程适合用因式方程解法解的是（ ）
A.x2－3x+2=0 B.2x2=x+4
C.(x－1)(x+2)=70 D.x2－11x－10=0
22.已知x=1是二次方程(m2－1)x2－mx+m2=0的一个根，那么m的值是（ ）
A.或－1 B