拉格日中值定理及函数的单调性.doc

拉格日中值定理及函数的单调性（全面版）资料
§4.2 拉格日中值定理及函数的单调性

教学内容
1.拉格朗日中值定理；
2.函数增减性判别法；
3.不等式的各种证明方法.
教学目的
1.熟练掌握拉格朗日中值定理；
2.熟练掌握函数增减性判别法，熟练不等式的证明方法.
教学重点
拉格朗日中值定理. 函数增减性判别法，不等式的证明方法
教学难点
函数增减性判别法，不等式的各种证明方法.

复习
1.柯西中值定理；
2.罗必塔法则及其应用.
3.应用罗必塔法则需要注意的问题
一 、格朗日中值定理
1.定理：
条件：（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间 内可导.
结论：至少存在一点∈，使.
2、几何意义：在满足（1）、（2）的曲线段上，至少有一点处的切线平行于弦.

3、证明：（教材P110）
4、拉格朗日结论式的另外几种形式
（1），.
（这是因为，
令 即可.）
（2），
（取即可）
（3）， .
注：（3）式是的精确表达式，而只是的近似表达式.故拉格朗日中值定理也称为有限增量定理或微分中值定理.
二、两个重要推论
推论1 若，有，则.反之也真（显然）.即
.
证：取一定点，，只须证明即可.因为在内可导，所以在以和为端点的闭区间上连续，开区间内可导，从而由拉格朗日中值定理知，存在在与之间，使
，
即 .
再由的固定性和的任意性知，，均有，（常数）.
推论2 若，有，则
（作，用上面的定理即可得证）.
例1 验证在上拉格朗日中值定理的正确性.
解 显然在上连续，在内可导，故至少存在一点，使，
下面求出具体的，由
，
即确实存在，使成立.
三、函数的单调性
1.判定法
定理：设在[a,b]上连续，在（a,b）内可导
1. 若对（a,b）,有>，则在[a,b]上；
2. 若对（a,b），有<，则在[a,b]上.
证： [a,b]，且<，在[，]运用拉格朗日定理得，=（-）>，即>.
由定义在[a,b]上.
同理证2.
2.举例
例1 （P111例1.）
例2 确定函数的单调区间
解：定义域为（），=3（1-，
令=得，无不存在的点.
用=和不存在的点从小到大将定义分区列表（见下页）：

（-1，1）
1

-
0
+
0
-

于是在上，在[-1，1]上.
例3 证明当时，
证：方法1 用中值定理，作函数取区间[0,]( )
显然在[0,]上连续，在（0，）内可导，于是有

即
证法2 ：用单调性，作函数，
∵=1 （对），∴在上，由单调性的定义知，对，有
而, ∴,即（对x>0）.
例4 设在有二阶导数,并且求证是一次函数.
证 存在常数,使.
存在使得.
例5 求证当时恒有.
证 研究函数, 我们有
,
当,在单调增.
及 当时, .
即，当时, 恒有 .
例6 求证对于任意,都有.
证 设, 不等式变成：,
（方法一） 设,
今要证: , .
, ,
其中： ,

（方法二） 设,
今要证: ,.
,
,
其中，,
因.
(方法三) 把不等式变成：, .
设, 今要证: , ，
因为：>0
故.

小结
1.拉格朗日中值定理；
2.函数极值的概念和必要条件；
3.函数增减性判别法，不等式的证明方法.
作业
作业:：p138 3，5，6
预习：§4.3
第三章 中值定理及导数应用
3.1 C 3.2 C 3.3 A 3.4 A 3.5 D
3.6 C 3.7 B
解：例如在上不满足罗尔定理,仍存在使得
3.8 A 3.9 B 3.10 C
解：在(或)上满足拉格朗日中值定理.
3.11 C 3.12 D
解：在与处不一定连续,故在上未必满足拉格朗日中值定理.
3.13 D
解：因为未必成立,故未必存在
3.14 C 原因与(12)相同
3.15 C 因为不存在,故不可用洛必达法则,但原式极限存在.
3.16 C 理由同(15)
3.17 B 3 .18 B “”型未定式极限,由洛必达法则可得结果.
3.19 B 3.20 C
3.21 A 3.22 B 3.23 B 3.24 C 3.25 B
3.26 B
3.27 A
3.28 C 时,, 时,
3.29 B 3.30 D 3.31 B 3.32 C 3.33 A
解：令,当,,∴,当时, ,∴
3.34 B 3.35 B
解；,故为上的凹函数
3.36 A 3.37 B
解：,∴时,为凹函数,时, 为凸函数
3.38 A 3.39 C
解：,时,, 为凸函数, 时,, 此时为凹函数.
3.40 A
解：,,得,,解之得,.
3.41 B 3.42 D
解：当时,,无拐点
3.43 C 3.44 A 3.45 C
解：为垂直渐近线,为斜渐近线
3.46 C 3.47 C 3.48 B 3.49 C 3.50 B
3.51 C 3.52 A 3.53 C 3.54 B 3.55 B
3.56 B 3.57 B 3.58 C 3.59 A 3.60 A
3.61 A 3.62 B

第四章 中值定理，导数的应用

（A）
1、设f(x)=lnx，在[1, e]上求ξ的值使拉格朗日定理的结论成立.
2、不求导数，判断函数的导数有几个实根，以及其所在范围.
3、证明：方程在[0, 1]上至多有一个实根（c为任意常数）.
4、不求导数而根据罗尔定理证明：函数在区间内必有一点c，使= 0.
5、设多项式P(x)=ao+a1x+…+an x n的系数满足
证明：在(0, 1)内必有根.
6、证明方程只有一个实根.
7、设f (x)在（a, b）内二阶可导，且f″(x)≠0，, f(x)在(a, b)内至多有一个驻点.
8、试证明：如果函数y=ax3+bx2+cx+d满足条件b2－3ac<0，则这函数没有极值.
9、若f(x)是[a, b]上的正值可微函数，到有点ξ∈(a , b) ，使.
10、设f(x)在[0 ,]上连续，在(0 , )内可导，求证存在一点，使得

11、设f(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，证明存在ξ∈(0, 1)，使得：

12、对函数f(x)=sinx，g(x)=1+cosx在区间上验证柯西中值的正确性.
13、设f(x)在[0,1]上可微，证明：一定存在ξ∈(0,1)，使得
=2ξ[f(1)－f(0)].
14、设ab>0，f(x)在[a ,b]上连续，在(a ,b)内可导，证明存在ξ∈(a ,b)使得
.
15、证明：, x∈[－1, 1]
16、设x>－1，证明不等式
17、当x>1时试证不等式ex>ex成立.
18、利用罗彼塔法则求下列极限：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）（a>0, a≠1） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
19、求下列函数的增减区间
（1）y = x3－3x +1 （2）
（3） （4） （5）
20、证明下列不等式
（1）当x>0时， （2）当时，
21、证明议程sinx=x只有一个实根.
22、求下列函数的极值
（1） （2）
（3） （4）
23、试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.
24、求下列函数在给定区间上的最大值和最小值.
（1） （2）
（3）， （4），
（5），
25、证明：
（1）周长一定的矩形中，正方形面积最大；
（2）面积一定的矩阵中，正方形周长最小.
26、有一块等腰直角三角形钢板，斜边长为a，欲从这块钢板中割下一块矩形，使其面积最大，要求以斜边为矩形的一条边，问如何载取？
27、某客商以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为Q = 40－2P，问应将价格定为多少时，才能获得最大利润？
28、设商品需求量Q = 75－P2，其中P为商品的价格，求最大总收益.

29、确定下列函数的凹向及拐点：
（1）y=x3－x4 （2）y = x2+lnx
（3）y = 3x （4）y = 3x
30、求下列曲线的渐近线
（1） （2）
（3） （4）
31、作下列函表的图形
（1） （2） （3）
32、试确定p的取值范围，使得与x轴
（1）有一个交点 （2）有两个交点 （3）有三个交点

（B）
一、选择题
1、设f (x)，g (x) 在点x0处可导，且f (x0) = g (x0) = 0,g(x)，f (x)在x0处二阶导数存在，则点x0（ ）.
（A） 不是f (x)g(x)的驻点； （B）是f (x)g(x)的驻点，但不是极值点；
（C） 是f (x)g(x)的极大点； （D）是f (x)g(x)的极小点；
2、设x0是f(x)的驻点，g(x)在x0处可微，且g(x0)≠0，则x0是（ ）.
（A）f(x)g(x)的驻点； （B）的驻点；
（C）的驻点； （D）的驻点
3、设f(x)有二阶连续导数，且 则（ ）.
（A）f(0)是f(x)的极大值； （B）f(0)是f(x)的极小值；
（C）(0，f(0))是曲线y = f(x)的拐点 ；
（D）f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y = f(x)的拐点.
4、设f(x)在x=0处的一个邻域内有定义，且f（0）=0，如果 ，则f(x)在x=0处（ ）.
（A）不可导； （B）驻点 （C） （D）
5、设函数y=y(x)由方程所确定，要使x=1是y=y(x)的驻点，且曲线y=y(x)通过(1，1)，则（ ）.
（A）a=2，b=3 ; （B）
（C）; （D）
6、设常数则方程f(x)=0在区间（）内的实根个数（ ）.
（A）0； （B）1； （C）2； （D）随a而定
提示：因f (0)≠0, 故φ(x)=与f (x)的实根相同，讨论φ(x)的实根.
7、在区间()内方程的实根个数是（ ）.
（A） 0； （B） 1； （C）2； （D）无穷多
提示：令，是偶函数，先讨论内的实根个数。
8、函数的图形是（ ）.
（A）( )是上凹的； （B）() 是下凹的；
（C）( )是下凹的；() 为上凹的；
（D）() 是上凹的；() 为下凹的；
9、若在区间（a,b）上函数f(x)的一阶导数，二阶导数，则函数f(x)在此区间内是（ ）
（A）单调减少，曲线上凹； （B）单调增加，曲线上凹；
（C）单调减少，曲线下凹； （D）单调增加，曲线下凹；
10、曲线 （ ）
（A）没有渐近线； （B）仅有水平渐近线；
（C）仅有铅垂渐近线； （D）既有水平渐近线，又有铅垂渐近线；
二、综合题
1、证明：若函数f(x)在()内满足关系式且f(x)=1,那么f(x)=ex. 2、设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可微，f(a)=f(b)=0且g(x)≠0，试证在(a,b) 内至少存在一点，使得.
3、设f(x)在[0,a]上连续，在（0，a）内可导，f(a)=0，试证在（0，a）内至少存在一点，使 （n为正整数）
4、设f(x)，g(x)在[a,b]上存在二阶导数，且,
证明（1）在开区间（a,b）内g(x)≠0；
（2）至少存在一点使得.
5、设f (x)在[a，b]上连续，在(0，a)内可导，(a,b＞0)试证在(a,b)内至少存在一点，使得 .
6、设0＜a≤ b, 证明 .
7、证明 在其定义域内有唯一零点.
8、证明方程至少有一个小于1的正根（a,b,c是三个正常数）.
9、证明：当x＞1不等式成立.
10、已知
（1）f(x)在0 ≤ x ≤ 1上，最大值M(n);
（2）.
11、设f(x)在（）内二阶导数存在，且试证函数
在（）内是单调增加的.
12、利用罗彼塔法则求下列函数的极限
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10） (f(a)≠0，f(x)可导)
13求函数在区间[0，2]上的最大值和最小值.
14、设函数的增减区间.
15、作函数的图形.
16、求点(0，b)到抛物线4y = x2的最短距离（b为常数）.
17、某产品总成本C（单位：万元）为年产量x（单位：百吨）的函数
其中a、b为待定系数，已知固定成本为4万元，且当年产量x=9百吨时，总成本C=31万元，问年产量为多少时才能使平均单位成本最低？
18、某厂生产某种产品，年产量为x（百台），总成本为c（万元）其中固定成本为2万元，每生产1百台成本增加1万元，市场上每年可销售此种商品4百台，其销售收入R（x）是x的函数

问每年生产多少台时，总利润最大？最大利润是多少 ？
19、某工厂生产过程中每年需要一种零件8000个，分若干批进货，已知每个零件每年的库存费为4元，每批进货费为40元，如果零件的销耗是均匀的（即零件的库存是批量的一半），问零件分几批进货，能使库存费和进货费之和最少？
20、设某种商品的需求量Q=12000-8P，其中P是商品的价格，商品的总成本C=25000+50Q，每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品的单价和最大利润.
21、一商家销售某种商品的价格满足关系P=7－0.2x（万元/吨），x为销售量（单位：吨），商品的成本函数是c=3x+1（万元），若每吨商品征税t（万元），问该商品获得最大利润时的销售量是多少？此时，t为何值时， 税收总额T最大？
22、设某种商品的单价为P时，售出的商品的数量可以表示成其中 a ，b，c均为正数，且a＞bc。
(1)求P在何范围变化时，使相应销售额增加或减少；
(2)要使销售额最大，商品单位P应取何值？最大销售额是多少？
23、设某产品需求函数为Q=Q(P)，收益函数为R=PQ，其中P为产品的价格，Q为需求量（产品的产量），Q(P)是单调减函数。如果当价格为P0，对应产量为Q0时边际收益，收益对价格的边际效应，需求对价格的弹性Ep=b＞1 ，求P0，Q0
24、某商品进价为30（元/件），根据经验，当销售价为80（元/件）时日销售量为100（件），市场调查表明，销售价每下降10%，可使日销售量增加30%，该商家在以每件72元的价格售出一种商品后，决定再作一次性降件，售出余货，试问，当这次的销售价格定为多少时，商家才能获得最大利润？
提示：若该商品的售价从P1降为P2时对应的日销售量Q1升为 Q2，应满足关系 即 .
25、设某种商品的销售量Q与价格P的关系是 成本C与产量Q的函数关系是C=Q2+6Q+50，
（1） 求利润L与销售量Q的函数关系L(Q) ；
（2） 求使利润最大的销售量及最大利润.
第四章 中值定理与导数应用
作业题
一、计算下列函数的极限
1、解：==3=1
2、解：====2
3、解：==
==
4、解：===
5、解：====
6、解：=
===
原式=1
二、解： 驻点x1=0，x2=1

增区间，（0，1）减区间，增区间
x1=0 极大值点，极大值f（0）=0
x2=1 极小值点，极小值f（1）=-1
三、解： 驻点x1=1，x2=-1

凸区间，（-1，1）凹区间，凸区间
（）为拐点。
四、解： （0 最大值是 80 最小值是 -5
9. 必要 条件
10. 此题有误删掉
11. 在点 1 处有极大值，拐点是
12. 极大值是 12
13. 有 2 个实根
二、选择题
1. D 2.A 3.A 4.C 5.C 6. D 7.D 8.C 9.B 10.A 11. D 12. D
注：第10道选择题题干有误，改为若在可导……
三、计算下列极限：
1、原式 = = ==0
2、原式 ===1
3、原式 = =1
4、原式 ==
又=
从而原式=
5、原式 ==
又

从而原式=
6、原式 ==
又
从而原式=
7、原式 =
又

从而原式=
8、原式
又

从而原式=
9、原式 =
10、原式 =
11、原式 =
12、原式 =

13、原式 = =

14、原式 =
15、原式 =
16、原式 =
17、原式 =
又
从而原式=

四、解：
令得
当时 ；当时
即为斜率的极大值点，极大值
五、讨论下列函数的单调性
1.解：（注本题已知条件有误改为）
且 得驻点 和
时 即单调递增；
时 即单调递减；
时 即单调递增。
2.解：且 得不存在的点
时 即单调递增；
时 即单调递减。
六、求下列函数的极值。
1.解：且 得不存在的点
时 即单调递增；
时 即单调递减。
即为函数的极大值点，极大值
2解：且 得驻点和（舍去）
时 ；时
即为函数的极小值点，极小值
七、解：且
得驻点和不存在的点
时，即单调递增；
或或或时，即单调递减；
时，即单调递增。
并且 为函数的极大值点，极大值；
为函数的极小值点，极大值
不是极值点。
七、讨论下列函数的凸凹区间及拐点
1.解：且
令 得
时 即为的凸区间；
时 即为的凹区间；
并且，曲线的拐点为。
2.解：且
令 得和
时 即为的凸区间；
时 即为的凹区间；
时 即为的凸区间。
并且，曲线的拐点为。
八、解：

解得
九、求函数在指定区间上的最大值和最小值：
1.解： 得驻点 （舍去）

最大值26，最小值-6
2.解： 得驻点

最大值13，最小值4
十、解：

十一、求下列曲线的渐近线：
1.解： 为曲线的垂直渐近线
2.解：，，为曲线的垂直渐近线
，为曲线的水平渐近线
十二、解：设圆柱底面半径为，高为，由已知条件有 即
表面积
令 驻点唯一
此时 ，即当底面半径和高均为时所用材料最省。
十四、解：设铁丝被折成的两段程度分别为和，则正方形的边长和圆的半径分别为和，则面积的和

令 得 驻点唯一，此时
即两段长度分别为和时围成的正方形和圆面积和最小。
提高题
一、 证明下列各问题
1.证明：令，
当时，在上连续，在内可导，
则由拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得
即，又，则 即
再由
当时，
综上有
2.证明：令，，则在上连续，在内可导，
则由拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得
，即
又，则 即
从而
3.证明：当时，等式成立
令，，
当时，在上连续，在内可导，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得
即
情况同理可证
4. 证明：令，则
又时，，即单调递增
所以，即时
5. 证明：令 则

即在时单调递增，则
从而

第三章 中值定理.导数的应用
§3.1 微分中值定理
1、设，=，则在内，使=成立的有（ ）．
A、一点； B、有两点 ； C、不存在； D、与a、b取值有关.
2、在内有 个零点.
3、验证函数在区间上是否满足罗尔定理的条件，若满足，求定理结
论中的数值．
4、不用求出函数的导数，说明方程=0有几个实
根，并指出它们所在的区间．
5、验证函数㏑x在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，并求定理结论中的
数值．
6、证明不等式．
7、证明恒等式，．

§3.2 洛必达法则

1、下列各式正确的是（　　　）
A、； B、；
C、 D、
2、

3、求下列极限
（1）（为任何实数）； （2）
（3）； （4）．
4、求下列极限
（1）； （2）.

§3.3 函数单调性与极值
1、函数在区间 单调增加.
2、函数的极大值是 .
3、判定函数的单调性.
4、判定函数的单调性。
5、确定下列函数的单调区间
（1）； （1）
6、证明不等式： 当时，．
7、证明方程只有一个实根．
8、求下列函数的极值
（1）； （2）．
（3）．

§3.4 曲线的凹向与拐点
1、设，，，则曲线弧在内（　）．
A、沿轴正向下降且向上凹   B、沿轴正向下降且向下凹
C、沿轴正向上升且向下凹    D、沿轴正向上升且向下凹    
2、 下列函数对应的曲线在定义域内是上凹的是      。
A、；　　 B、； 　　 C、； 　　　D、.
3、曲线的下凹区间是（　）．
A、[0，2]　　　  B、[－2，2] 　　 C、（－∞，0）  　　　 D.、[0，+∞]．
4、 曲线在内是（　）．
A、上凹   　 　　B、下凹　　　　C、既有上凹，也有下凹　　D、直线
5、是点为拐点的（　）条件．
A、充要 B、充分 C、必要    D、无关
6、求下列曲线的凹向与拐点.
（1）； （2）　；
（3）．

§3.5 函数的最值及其应用

1、求函数在区间[-1，1]的最大值、最小值。
2、、求函数的最大值、最小值．
3、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20长的墙壁，问应围成怎样的
长方形才能使这间屋的面积最大？
4、圆柱形罐头盒，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？
5、.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强
度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？
6、求内接于抛物线与x轴所围图形内的最大矩形的面积.
7、某种产品的总成本C（单位：万元）是产量x（单位：万件）的函数：
，
试问：当生产水平为x＝10万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？