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实验二 用透射光栅测定光波的波长

衍射光栅是利用多缝衍射原理使光波发生色散的光学元件，由大量相互平行、等宽、等间距的狭缝或刻痕所组成。由于光栅具有较大的色散率和较高的分辨本领，故它已被广泛地装配在各种光谱仪器中。现代高科技技术可制成每厘米有上万条狭缝的光栅，它不仅适用于分析可见光成分，还能用于红外和紫外光波。在结构上有平面光栅和凹面光栅之分，同时光栅分为透射式和反射式两大类。本实验所用光栅是透射式光栅。
一、实验目的：
1、进一步熟悉掌握分光计的调节和使用方法；
2、观察光线通过光栅后的衍射现象；
3、测定衍射光栅的光栅常数、光波波长和光栅角色散。
二、仪器和用具：
分光计，透射光栅，汞灯，钠灯等。
三、实验原理：
若以单色平行光垂直照射在光栅面上（图1），则光束经光栅各缝衍射后将在透镜的焦平面上叠加，形成一系列间距不同的明条纹（称光谱线）。
根据夫琅和费衍射理论，衍射光谱中明条纹所对应的衍射角应满足下列条件：
（1）
式中称为光栅常数（为狭缝宽度，为刻痕宽度，参见图1-2），k为光谱线的级数，为k级明条纹的衍射角，是入射光波长。该式称为光栅方程。
如果入射光为复色光，则由（1）式可以看出，光的波长不同，其衍射角也各不相同，于是复色光被分解，在中央处，各色光仍重叠在一起，组成中央明条纹，称为零级谱线。在零级谱线的两侧对称分布着级谱线，且同一级谱线按不同波长，依次从短波向长波散开，即衍射角逐渐增大，形成光栅光谱。

由光栅方程可看出，若已知光栅常数d，测出衍射明条纹的衍射角，即可求出光波的波长。反之，若已知，亦可求出光栅常数d。
将光栅方程（1）式对微分，可得光栅的角色散为
（2）
角色散是光栅、棱镜等分光元件的重要参数，它表示单位波长间隔内两单色谱线之间的角距离。由式（2）可知，如果衍射时衍射角不大，则近乎不变，光谱的角色散几乎与波长无关，即光谱随波长的分布比较均匀，这和棱镜的不均匀色散有明显的不同。
分辨本领是光栅的另一重要参数，它表征光栅分辨光谱线的能力。设波长为和的不同光波，经光栅衍射形成的两条谱线刚刚能被分开，则光栅分辨本领R为
（3）
根据瑞利判据，当一条谱线强度的极大值和另一条谱线强度的第一极小值重合时，则可认为该两条谱线刚能被分辨。由此可以推出
（4）
其中k 为光谱级数，N是光栅刻线的总数。
四、实验内容：
1、分光计及光栅的调节

图3
（1）按要求调节好分光计。
（2）调节光栅平面与分光计转轴平行，且光栅面垂直于准直管
先把望远镜叉丝对准狭缝，再将平面光栅按图3置于载物台上，转动载物台，并调节螺丝a或b，直到望远镜中从光栅面反射回来的绿十字像与目镜中的调整叉丝重合，至此光栅平面与分光计转轴平行，且垂直于准直管、固定载物台。
（3）调节光栅刻痕与转轴平行
转动望远镜，观察光栅光谱线，调节栽物台螺丝c，使从望远镜中看到的叉丝交点始终处在各谱线的同一高度。调好后，再检查光栅平面是否仍保持与转轴平行，如果有了改变，就要反复多调几次，直到两个要求都满足为止。
2、测定光栅常数d
用望远镜观察各条谱线，然后测量相应于级的汞灯光谱中的绿线（）的衍射角，重复测5次后取平均值，代入式（1）求出光栅常数d
3、测定光波波长
选择汞灯光谱中的蓝色和黄色的谱线进行测量，测出相应于级谱线的衍射角，重复5次后取平均值。将测出的光栅常数d代入式（1），就可计算出相应的光波波长。并与标称值进行比较。
4、测量光栅的角色散
用汞灯为光源，测量其1级和2级光谱中双黄线的衍射角，双黄线的波长差为2.06nm，结合测得的衍射角之差，用式（2）求出角色散。

六、实验数据
表（一）、绿色线光谱 波长

表（二）、紫色线光谱

表（三）双黄线1级谱线

表（四）双黄线2级谱线

七、 数据处理：
1、标准偏差
(1)、对于表（一）的标准偏差：

(2)、对于表（二）的标准偏差：

(3)、对于表（三）的标准偏差：

(4)、对于表（四）的标准偏差：

2、根据所测量的数据代入公式
对于表（一）绿色光谱线的数据 衍射角：
由公式（1-1），得

对于表（二）紫色光谱线的数据 衍射角：
由公式（1-1)，得

对于表（三）双黄线1级谱线的数据 衍射角：
由公式（1-1)，得

对于表（四）双黄线2级谱线的数据 衍射角：
由公式（1-1)，得
双黄线的衍射角之差：
双黄线的波长差：
光栅的角色散：
3、 标准不确定度
对于A类不确定度：
对于B类不确定度：
合成公式：

对于表（一）：绿色光谱线的衍射角的不确定度

对于表（二）：紫色光谱线的衍射角的不确定度

对于表（三）：双黄线1级谱线的衍射角的不确定度

对于表（四）：双黄线2级谱线的衍射角的不确定度

对于表（一）绿色光谱的光栅常数的不确定度

对于表（二）紫色光谱的波长的不确定度

对于表（三）双黄线1级光谱的波长的不确定度

对于表（四）双黄线2级光谱的波长的不确定度

双黄线的衍射角之差的不确定度

双黄线的波长之差的不确定度

光栅角色散的不确定度

光栅角色散的间接测量结果：

实验注意事项:
1、放置或移动光栅时，不要用手接触光栅表面，以免损坏镀膜。
2、从光栅平面反射回来的绿十字像亮度较弱，应细心观察。
3、从光栅平面反射回来的双黄线像亮度也很弱，应细心观察。
4、在双黄线中，测量两黄线的衍射角之差时，应细心观察。
五、实验说明：
1、光栅
光栅也称衍射光栅。是利用多缝衍射原理使光发生色散(分解为光谱)的光学元件。它是一块刻有大量平行等宽、等距狭缝(刻线)的平面玻璃或金属片。光栅的狭缝数量很大，一般每毫米几十至几千条。单色平行光通过光栅每个缝的衍射和各缝间的干涉，形成暗条纹很宽、明条纹很细的图样，这些锐细而明亮的条纹称作谱线。谱线的位置随波长而异，当复色光通过光栅后，不同波长的谱线在不同的位置出现而形成光谱。光通过光栅形成光谱是单缝衍射和多缝干涉的共同结果。
　　衍射光栅在屏幕上产生的光谱线的位置，可用式表示。式中a代表狭缝宽度，b代表狭缝间距，为衍射角，为光的入射方向与光栅平面法线之间的夹角，k为明条纹光谱级数（k=0，±1，±2……），λ为波长，称作光栅常数。用此式可以计算光波波长。光栅产生的条纹的特点是：明条纹很亮很窄，相邻明纹间的暗区很宽，衍射图样十分清晰。因而利用光栅衍射可以精确地测定波长。衍射光栅的分辨本领。其中N为狭缝数，狭缝数越多明条纹越亮、越细，光栅分辨本领就越高。增大缝数N提高分辨本领是光栅技术中的重要课题
　　最早的光栅是1821年由德国科学家J.夫琅和费用细金属丝密排地绕在两平行细螺丝上制成的。因形如栅栏，故名为“光栅”。现代光栅是用精密的刻划机在玻璃或金属片上刻划而成的。光栅是光栅摄谱仪的核心组成部分，其种类很多。按所用光是透射还是反射分为透射光栅、反射光栅。反射光栅使用较为广泛；按其形状又分为平面光栅和凹面光栅。此外还有全息光栅、正交光栅、相光栅、炫耀光栅、阶梯光栅等。
2、光栅的分光原理
或
称为光栅公式.它表明,不同波长的同级主极强出现在不同方位.长波的衍射角大,短波的衍射角小.如果入射光里包含几种不同波长λ,λ',…的光,则除0级外各级主极强位置都不同(图4(a)),因此用缝光源照明时,我们看到的衍射图样中有几套不同颜色的亮线,它们各自对应一个波长(图示4(b)).这些主极强亮线就是谱线,各种波长的同级谱线集合起来构成淘汰的一套光谱.如果光源发出的是具有边续谱的白光,则光栅光谱中除0级仍近似为一条白色亮线外,其它级各色主极强亮线都排列成连续的光谱带.可以看出,光栅光谱与棱镜光谱有个重要区别,就是光栅光谱一般有许多级,每级是一套光谱,而棱仅有1套光谱。
3、光栅的色散本领和色分辨本领
（1）色散本领
实际中很关心的问题之一，是对于一定波长差的两条谱线,其角间隔或在幕上的距离有多大,这就是仪器的色散本领问题.角色散本领定义为:,线色散本领定义为:设光栅后面聚焦物镜的焦距为f,则,所以线色散本领与角色散本领之间的关系是:.
现在来计算光栅的色散本领.仍从光栅公式出发,取它两端的微分,得光栅的角色散本领: 和线色散本领:.上面的结果表明,光栅的角色散本领与光栅常数d成反比,与级数k成正比,此外,线色散本领还与集中f成正比.但色散本领与光栅中衍射单元的总数N无关.为了增大角色散本领,近代光栅的缝是很密的每毫米数百条到上千条.为了增大线色散本领,光栅的集中f常达数米,这样其线色散本领 Dl可达0.1--1mm/埃以上.
2.色分辨本领
如图5所示,在(a),(b),(c)三种情形里的色散本领都一样,即波长分别为λ和的两条谱的角间隔一样,但每条谱线的半角宽度△θ不同.在图(a)中,两条谱线的全成强度如粗谱线无异,因此无法分辨它们本来有两条谱线.在图(c)中,合成强度在中间有个很明显 的极小。我们可以分辨出这是两条谱。通常规定(图(b))是两谱线刚好能分辨的极限,这便是所谓"瑞利判据".
对于每个光栅,谱线的半角宽度是一定的,根据瑞利判据,这也是能够分辨的两条谱线的色散角,由此可以推断出能够分辨的最小波长差越小,说明仪器的色分辨本领越大,通常一个分光仪器的色分辨本领定义为.由此求得光栅的色分辨本领公式R=kN.上式表明,光栅的色分辨本领正比于衍射单元总数N和光谱的级别k,与光栅常数d无关.
（2）光栅常数
　　光栅的重要参数。是光栅两刻线之间的距离，用d表示。
　　通常所讲的衍射光栅是基于夫琅禾费多缝衍射效应工作的。描述光栅结构与光的入射角和衍射角之间关系的公式叫“光栅方程”。 波在传播时，波阵面上的每个点都可以被认为是一个单独的次波源；这些次波源再发出球面次波，则以后某一时刻的波阵面，就是该时刻这些球面次波的包迹面。
即：

  上式即为光栅方程。当平面波以入射角入射时，光栅方程写为

面，就是该时刻这些球面次波的包迹面（惠更斯原理）。 　　　
一个理想的衍射光栅可以认为由一组等间距的无限长无限窄狭缝组成，狭缝之间的间距为d，称为光栅常数。当波长为λ的平面波垂直入射于光栅时，每条狭缝上的点都扮演了次波源的角色；从这些次波源发出的光线沿所有方向传播（即球面波）。由于狭缝为无限长，可以只考虑与狭缝垂直的平面上的情况，即把狭缝简化为该平面上的一排点。则在该平面上沿某一特定方向的光场是由从每条狭缝出射的光相干叠加而成的。在发生干涉时，由于从每条狭缝出射的光的在干涉点的相位都不同，它们之间会部分或全部抵消。然而，当从相邻两条狭缝出射的光线到达干涉点的光程差是光的波长的整数倍时，两束光线相位相同，就会发生干涉加强现象。以公式来描述，当衍射角满足关系时发生干涉加强现象，这里d为狭缝间距，即光栅常数，m是一个整数，取值为0，±1，±2，……。这种干涉加强点称为衍射极大。因此，衍射光将在衍射角为时取得极大