2.3-距离空间的可分性与完备性(课堂PPT).ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束,第,*,页,距离空间的可分性,有理数在实数集中的稠密性,第三节 距离空间的可分性与完备性,距离空间的完备性,实数的完备性,一般距离空间的完备化,已知：在实直线上，,存在一个处处稠密的可数子集,Q,且成立完备性定理（即柯西收敛原理,),。,问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密,的可数子集？完备性定理是否总成立？,一、距离空间的可分性,1.,距离空间中的稠密子集,注,:,1),B,在,A,中稠密,x,A,0,S,(,x,),内含有,B,中的点,x,A,有,x,B,或,x,B,A,B,2),B,在,X,中稠密 ,x,X,0,S,(,x,),内含有,B,中的点,x,X,有,x,B,或,x,B,X,B,B,=,X,定义,1,（稠密性,),设,X,是距离空间,，,A,X,B,X,.,(1),B,在,A,中稠密,若对于,x,A,x,n,B,使,x,n,x,(,n,),(2),B,在,X,中处处稠密,(,或,B,是,X,的一个稠密子集,),若对于,x,X,x,n,B,使,x,n,x,(,n,).,例,1,有理数集在,R,中处处稠密,.,例,2,R,n,中的有理点集在,R,n,中稠密可数,.,例,3,多项式集合,P,在,C,a,b,L,p,a,b,中处处稠密,.,(,魏尔斯特拉斯一致逼近定理,:,x,(,t,),C,a,b,p,n,(,t,),P,使,pn,(,t,),x,(,t,)(,n,),即,p,n,(,t,),按,C,a,b,中的距离收敛于,x,(,t,).),例,4,a,b,上的有界可测函数集合,B,a,b,在,L,p,a,b,(,p,1,),中处处稠密,.,证,:,x,(t),L,p,a,b,定义,函数列,x,n,(,t,)(,n,=1,2,),是,a,b,上的有界可测函数,且有,x,(,t,),L,p,a,b,x,(,t,),p,L,1,a,b,0,0,使当,E,0,E,=,a,b,m,(,E,0,),N,时,m,(,E,(,x,n,)0,=(/2,K,),p,y,(,t,),C,a,b,使得,m,(,E,(,x,(,t,),y,(,t,)(,由鲁金定理,),不妨设,y,(,t,),K,E,0,=,E,(,x,(,t,),y,(,t,),(,x,y,)0,p,(t),P,C,a,b,使,(,x,p,)=max|,x,(t),-,p,(t)|0,p,0,(t),P,0,P,使,(,p,p,0,)=max|,p,(t)-,p,0,(t)|0,p,0,(t),P,0,P,C,a,b,使,(,x,p,0,)=max|,x,(t),-,p,0,(t)|,max|,x,(t),-,p,(t)|+max|,p,(t),-,p,0,(t)|,0,有理系数多项式,p,0,(t),P,0,，使,C,(,x,p,0,)=max|,x,(t)-,p,0,(t)|/(b-a,)1/,p,例,5,L,p,a,b,是可分的,.,（多项式集合,P,在,C,a,b,L,p,a,b,中稠密,有理系数多项式集合,P,0,在,L,p,a,b,中稠密可数）,例,6,l,p,(,p,1),与,c,都是可分的,.,（有理点集,A,=,x,=(,x,1,x,n,0,)|,x,i,Q,在,l,p,(,p,1),和,c,中都处处稠密）,例,7,设,X,是离散距离空间,证明,X,可分,X,是可数集,证：在离散距离空间中设有稠密真子集，所以,X,中唯一的稠密子集只有,X,自身,。,故,X,可分,X,可数。,注：可见并非所有的距离空间都是可分的。,注：定义在任何一个势为,(,即不可数,),非空集合上的离散距离空间一定是不可分的。,(,上例中的,A,也是不可分的。,),2,）证明,m,中没有可数稠密子集,(,反证法,).,设,m,可分,A,0,=,x,=(,1,2,n,),|,i,|,K,m,可数,且在,m,中稠密,A,0,=,x,k,x,k,=(,1,(k),2,(k),n,(k),),A,0,，且,A,m,S,(,x,k,1/3,）,(,k,=1,2,),A,0,可数,A,不可,x,y,A,x,y,并,x,0,A,0,使,S,(,x,0,1/3),x,y,1=,(,x,y,),(,x,x,0,)+,(,x,0,y,)0,N,=,N,(),当,m,nN,时,有,(,x,m,x,n,)0,N,当,m,n,N,时,同时有,(,x,n,x,)/2,(,x,m,x,)N,时,有,(,x,m,x,n,),(,x,n,x,)+,(,x,m,x,)0,N,=,N,(),当,m,nN,时,有,(,x,n,x,m,)=max,|,x,n,(t)-,x,m,(t)|N,时,，,有,|,x,n,(t)-,x,m,(t)|,N,时,有,设,x,i,(,k,),x,i,(,k,)(,i,=1,2,n),令,x,=(,x,1,x,n,),R,n,（,k,）,R,n,按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的,.,x,i,(,k,),是基本列,因而,x,i,(,k,),收敛,0,N,当,k,jN,时,有,0,N,当,kN,j,时，有,例,6,空间,L,p,a,b,、,l,p,、,l,(or,m,),、,c,均为完备的距离空间。,证,:,x,(,k,),l,为一基本列,对于,i,=1,2,n,当,k,j,N,时,有,|,x,i,(,k,),x,i,(,j,),|N,时，有,x,(k),l,x,i,(k),M,k,(,k,=1,2,),x,i,x,i,-,x,i,(k,),+,x,i,(k),+,M,k,i,=1,2,x,=,x,1,x,2,x,n,),l,0,N,当,k,j,N,时,有,例,7,有理数集,Q,按距离,(,x,y,)=,|,x,-,y,|,是距离空间,但不完备,.,事实上，在有理数集,Q,中，有理数列,(1+1/,n,),n,收敛,因而是基本列,但其极限为,e,Q,，故,Q,不完备,.,例,8 a,b,上实系数多项式全体,P,a,b,按,C,a,b,中通常的距离构成,C,a,b,的子空间,但它是不完备的距离空间。,事实上,存在多项式列,p,n,(t),一致收敛于,x,(t):,x,(t),Ca,b.,x,(t),P,a,b,(,但是确实存在着不完备的距离空间,),例,9 C0,1,按距离 构成的距离空间,是,L,1,0,1,的子空间，但它按,1,(,x,y,),不完备,.,(,m,=1,2,),x,m,C,0,1,是基本列。,0,1,1/2a,m,0,1,1/2,a,m,a,n,证,:,构造函数列,x,m,(t),C,0,1:,如果存在,x,(t),使,1,(,x,m,x,)0(,m,),由于,显然,x,(t),C,0,1,，所以,C,0,1,按距离,1,(,x,y,),不完备。,可以证明,x,m,在,C,0,1,中按,1,(,x,y,),不收敛。,例,10,C,a,b,按距离 构成的距离,空间是,L,2,a,b,的子空间，但它按,2,(,x,y,),不完备,.,证,:,构造函数列,x,n,(t),C,a,b:,|,x,n,(t)|0,N,0,当,nN,时,(,x,n,x,)N,mN,时,(,x,n,x,m,)(,x,n,x,)+(,x,x,m,),x,n,是基本列,“必要性”设,x,n,X,是基本列,X,完备,x,n,X,是收敛点列（完备性定义）,2,）“必要性”设,x,n,F,X,是基本列，,F,是,X,的闭子空间,.,X,完备，,x,n,是基本列,x,X,使,x,n,x,(,n,),F,闭,x,F,=,F,x,n,在,F,中收敛,F,完备,“,充分性”设,F,完备,.,x,n,F,，,x,n,x,x,n,F,是基本列，,F,完备,x,F,F,是闭的。,3.,完备距离空间的两个基本定理,定义,5,（稀疏集与第二纲集）设,X,是距离空间,1,）若,X,中任一个球都含有某一个球，使后者不含,A,的点，则称,A,为,X,中的稀疏集（疏朗集）。,2,）若,A,=,A,n,，每个,A,n,都在,X,内稀疏，则称,A,是在,X,内的第一纲集,而,X,内的非第一纲集的集合称为第二纲集,.,注：,1,在稀疏集定义中，“任意球”可以是开球或闭球,.,2,在,R,中，有理数集是第一纲集，而无理数集是第二纲集。,定理,3,设,X,是距离空间，,A,是稀疏集,A,不在,X,的任意球中稠密。,证“”设,A,稀疏,S(x,0,),S(x,1,)S(x,0,),使,S(x,1,)A=,A,不在,S(x,0,),中稠密,“”设,A,不在任一球中稠密,S(x,0,),x,1,S(x,0,),但,x,1,A,S(x,1,)S(x,0,),使,S(x,1,)A=,定理,4(,第二纲集定理,),设,X,是完备的距离空间，则,X,是第二纲集。,推论,:,给定完备的距离空间,X,若,A,X,是第一纲集,则,A,C,是第二纲集。,例如,:,由于有理数是,R,内的第一纲集，故无理数是,R,内的第二纲集。,注：,1,）闭球套定理是完备距离空间中的重要定理之一；刻划了距离空间的完备性；是实数中的康托区间套定理的推广。,2,）第二纲集定理是完备距离空间的重要定理之二。,完备性可以使空间具有很好的性质和广泛的应用，对于不完备的距离空间，它在应用上将会造成很多困难。,4.,距离空间的完备化,问题,：能否在不完备的距离空间中补充一些新“点”，使之成为完备的距离空间？,例如在有理数集,Q,中加入“无理数”，便得到完备度量空间,R,，并且,Q,在,R,中稠密。这就是所谓的距离空间完备化问题。,定义,6,（等距映射与等距同构）设,(,X,X,),和,(,Y,Y,),是两个距离空间,如果存在一个满射,T,:,XY,使得,x,y,X,有,Y,(,Tx,Ty,)=,X,(,x,y,),则称,T,使,X,到,Y,的等距映射，并称,X,与,Y,是等距同构的。,定义,7,（完备化空间）设,(,X,X,),是距离空间,(,Y,Y,),是一个完备的距离空间，,Y,1,Y,如果,(1),X,与,Y,1,等距同构,;(2),Y,1,在,Y,内稠密,则称,Y,是,X,的完备化空间,定理,4,（完备化空间的存在性）设,(,X,X,),是任一距离空间,则必存在唯一完备的距离空间,(,Y,Y,),，使,X,与,Y,的一个稠密子集,Y,1,等距同构,注：泛函分析中，把两个等距同构的距离空间不加区别而视为同一。,