大学物理教程讲义第三章刚体力学基础(课堂PPT).ppt

Y,#,大学物理教程,1,第,3,章,刚体力学基础,3.1,刚体运动的描述,3.2,刚体的定轴转动定律,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,3.4,刚体定轴转动的动能定理,2,YOUR SITE HERE,3.1,刚体运动的描述,刚体的平动和转动,3.1.1,1.,刚体的平动,刚体在运动过程中,，,如果刚体上任意两点间所连的直线始终保持平行,，,则这种运动称为刚体的平动,。,例如,汽缸中活塞的运动,，,车床上车刀的运动,升降机运动等,，,都属于平动,。,显然,，,刚体做平动时,，,刚体上任意一条直线在刚体平动过程中始终保持平行,，,如图,3.1,所示,。,3,YOUR SITE HERE,3.1,刚体运动的描述,图,3.1,刚体的平动,4,YOUR SITE HERE,3.1,刚体运动的描述,2.,刚体的转动,刚体在运动过程中，如果刚体上所有的点都绕同一条直线做圆周运动，则这种运动称为转动，这条直线称为转轴,。,如果转轴的位置或方向随时间变化，这种转动称为非定轴转动；如果转轴的位置或方向是固定不动的，这种转动称为定轴转动,。,本章主要研究刚体的定轴转动,。,5,YOUR SITE HERE,3.1,刚体运动的描述,图,3.2,车轮的滚动,6,YOUR SITE HERE,3.1,刚体运动的描述,刚体的定轴转动,3.1.2,定轴转动是刚体转动中最简单的运动形式,。,刚体做定轴转动时，刚体上各点都绕同一转轴做圆周运动，而转轴本身在空间的位置不动，轴上各点始终静止不动,。,例如，门的开或关、机器上飞轮的转动等都是定轴转动,。,如图,3.3,所示，刚体上,P,点处任一个质元都将在通过该点且与转轴垂直的平面内做圆周运动，该平面称为转动平面，圆心,O,点是转轴与转动平面的交点,。,7,YOUR SITE HERE,3.1,刚体运动的描述,图,3.3,刚体的定轴转动,8,YOUR SITE HERE,3.1,刚体运动的描述,描述刚体定轴转动的物理量,3.1.3,我们已经知道，用角量来描述刚体的定轴转动比较方便,。,那么以前讨论过的角位移、角速度和角加速度以及有关公式，角量和线量的关系，对刚体的定轴转动都适用,。,设一刚体绕,z,轴做定轴转动，取轴的指向为正方向，如图,3.4,所示,。,9,YOUR SITE HERE,3.1,刚体运动的描述,图,3.4,刚体的角量描述,10,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,力对转轴的力矩,3.2.1,对于刚体的定轴转动而言，若作用在刚体上,p,点的力,F,在转动平面内，力的作用点,p,相对转轴的位矢为,r,，力臂为,d,，则力,F,对转轴的力矩为,M=r,F,其中，力矩的大小,M=Frsin,，如图,3.5,所示,。,11,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,图,3.5,力在转动平面内,图,3.6,力不在转动平面内,12,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,由分析可知，在讨论刚体的定轴转动中力矩的作用时，用到的只是,F,这个分量，因此，只需考虑垂直于转轴的作用力或分力,.,既然如此，可以约定：以下所涉及的外力都认为是位于转动平面内的,。,可以证明，一对相互作用力对同一转轴的力矩之和为零,.,如图,3.7,所示,。,13,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,图,3.7,一对内力的力矩,14,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,图,3.8,例,3.1,图,15,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,刚体定轴转动的转动定律,3.2.2,刚体的质量可以是连续分布的质点系，也可以是离散分布的质点系,。,对于质量连续分布的质点系，可将其看成由无数多个质元组成的，其中每一个质元都服从牛顿运动定律,。,把构成刚体的全部质点的运动加以综合，就可以得出刚体的整个运动所服从的规律,。,下面我们从牛顿第二定律出发推导出刚体做定轴转动的规律,。,16,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,力对转轴的力矩,3.2.3,图,3.9,转动定律,17,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,18,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,由转动定律的表达式,M=J,可以看出，在相同的外力矩作用下，刚体的转动惯量,J,越大，刚体所获得的角加速度越小，则刚体的转动状态不易改变；刚体的转动惯量,J,越小，刚体所获得的角加速度越大，刚体的转动状态容易发生变化,。,转动惯量,J,是和质量,m,相对应的物理量，物体的质量,m,是质点的平动惯性的量度，而刚体的转动惯量,J,是刚体转动惯性的量度,。,19,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,20,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,图,3.10,例,3.2,图,21,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,例,3.3,求质量为,m,、长为,l,的均匀细棒在下面两种给定的转轴的转动惯量,。,(1),转轴通过细棒的中心,O,并与棒垂直；,(2),转轴通过细棒的一端,O,并与棒垂直,.,解：细棒的质量可以认为是连续分布的，计算细棒对定轴的转动惯量,。,22,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,图,3.11,例,3.3,图,23,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,综上所述，刚体的转动惯量与以下因素有关,。,（,1,）刚体的质量,.,各种形状的刚体，总质量越大，转动惯量越大,。,（,2,）刚体质量的分布,。,总质量相同的刚体，质量分布不同，即刚体的形状不同，转动惯量也不同,。,质量分布离转轴越远，转动惯量越大,。,（,3,）转轴的位置,。,同一刚体，转轴的位置不同，质量对转轴的分布也不同,。,因而转动惯量也不同,。,24,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,图,3.12,平行轴定理,25,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,以上例子是根据转动惯量的定义式（,3-5,）计算规则几何形状的刚体的转动惯量，对于几何形状较复杂的刚体通常要用实验测定,。,表,3.1,列出几种几何形状简单、规则、密度均匀的物体对通过质心的不同转轴的转动惯量,。,26,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,27,YOUR SITE HERE,3.2刚体的定轴转动定律,转动定律的应用举例,3.2.4,应用刚体定轴转动的转动定律解题要特别注意以下问题,。,首先，定轴转动定律是合外力矩对刚体的瞬时作用规律，表达式,M=J,中各个物理量均是同一时刻对同一刚体和同一转轴而言,。,其次，在定轴转动中，由于力矩和角加速度包括角速度在内，它们的方向均沿转轴，通常用代数量表示,。,28,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,例,3.4,如图,3.13,所示，质量,m,1,=16 kg,的定滑轮,A,，其半径为,r=15cm,，可以绕其固定水平轴转动，忽略一切摩擦,。,一条轻的柔绳绕在定滑轮上，其另一端系一个质量,m,2,=8.0 kg,的物体,B,，求,:,(1),物体,B,由静止开始下降,1.0 s,后的距离；,(2),绳子的张力,。,29,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,图,3.13,例,3.4,图,30,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,例,3.5,一根长为,l,，质量为,m,的均匀细杆，可绕通过其一端且与杆垂直的光滑水平轴转动，如图,3.14,所示，将杆由水平位置静止释放，求它下摆到角度为 时,的角加速度和角速度,。,图,3.14,例,3.5,图,31,YOUR SITE HERE,3.2,刚体的定轴转动定律,32,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,角动量定理,3.3.1,1.,角动量,33,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,图,3.15,质点的角动量,图,3.16,角动量的方向确定,34,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,如果质点以恒定速度,v,做直线运动时，对空间某一给定点也可能有角动量,。,如图,3.18,所示，当选取参考点,O,时，质点对,O,点的角动量大小如下,。,这说明质点在匀速直线运动过程中对某一定点的角动量是恒定的，其方向始终垂直纸面向内,。,35,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,图,3.17,质点做圆周运动的角动量,图,3.18,匀速直线运动的质点对参考点,O,的角动量,36,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,2,）刚体对定轴的角动量,刚体是一个质点系，刚体对定轴的角动量就是所有质点对轴角动量的矢量和,。,如图,3.19,所示，设刚体绕定轴,Oz,轴以角速度转动，刚体上每一个质元都以相同的角速度绕,Oz,轴在各自的转动平面内做圆周运动,。,37,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,图,3.19,刚体的角动量,38,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,2.,力矩,对于一个静止的质点来说，当它受到外力的作用，将开始运动；但对于一个能够转动的物体而言，当它受到外力作用时，可能转动也可能不转动，这取决于此力是否产生力矩。外力对物体产生力矩，物体就会转动起来，反之，如果外力对物体不产生力矩，物体就不会转动。因此，力矩反映了力对物体的转动效果。,39,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,图,3.20,力对参考点,O,的力矩,40,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,3.,角动量定理,以上定义了角动量和力矩这两个物理量，现在就来导出它们之间的定量关系，从而说明力矩的作用效果。设质量为,m,的质点，在合力,F,的作用下，某一时刻的动量为,P=mv,该质点相对于某参考点,O,的位置矢量为,r,，那么此时质点相对于参考点,O,的角动量。,41,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,2,）刚体对定轴的角动量定理,当刚体绕固定轴做定轴转动时，刚体对轴的转动惯量不随时间变化,。,所以，由刚体定轴转动的转动定律可得,42,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,角动量守恒定律,3.3.2,1.,质点的角动量守恒定律,43,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,例,3.6,质量为,m,的小球系于细绳的一端，绳的另一端绑在一根竖直放置的细棒上，如图,3.21,所示,。,小球被约束在水平面内绕细棒旋转，某时刻角速度为,1,，细绳的长度为,r,1,.,当旋转了若干圈后，由于细绳缠绕在细棒上，绳长变为,r,2,，求此时小球绕细棒旋转的角速度,2,。,44,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,图,3.21,例,3.6,图,45,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,2.,刚体定轴转动的角动量守恒定律,46,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,式,(3-17),表明，如果刚体所受的合外力矩等于零，则刚体的角动量保持不变，这一结论称为刚体的角动量守恒定律。,必须指出，上面在推导角动量守恒定律的过程中，虽然受到了刚体、定轴等条件的限制，但是它的适用范围远远地超过了这些限制。,47,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,图,3.22,运用角动量守恒的跳水运动员,48,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,以上结论还可通过站在转台上、双手握哑铃的人的表演给予定性证明，如图,3.23,所示，若忽略转台轴间的摩擦力矩和空气阻力矩等，则人和转台组成的系统对转轴的角动量守恒,.,开始时，先使人和转台一起转动，当人将握哑铃的手逐渐收回时，对转轴的转动惯量减小，角速度变大；当人伸平双臂时，转动惯量增大，转动的角速度变小。,49,YOUR SITE HERE,3.3,刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律,图,3.23,角动量守恒,50,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,刚体的转动动能,3.4.1,刚体定轴转动时，其每个质元都绕转轴做圆周运动，都具有一定的动能,.,那么，所有质元的动能之和就是刚体的转动动能,。,设刚体以角速度绕定轴转动,其中每一个质元都在各自的转动平面内以角速度做圆周运动,若第,i,个质元的质量为,m,i,它到转轴的距离为,r,i,其速度的大小,v,i,=r,i,那么第,i,个质元的动能是,51,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,52,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,刚体的重力势能,3.4.2,如果刚体受到保守力的作用，也可以引入势能的概念。例如，在重力场中刚体就具有一定的重力势能,.,一个质量为,m,的刚体，它的重力势,能应当是组成刚体的所有质元的重力势能之和。若取地面坐标系来计算势能，如图,3.24,所示,53,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,图3.24,刚体的重力势能,54,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,力矩做的功,3.4.3,在质点力学中，当质点在合力作用下沿力的方向发生位移时，力就对质点做了功，并且功可由作用力与质点沿力的方向移动的位移的乘积来表示。与之相似，当刚体在外力矩作用下转动时，力矩也对刚体做了功，做功的结果是使刚体的角速度发生变化。,55,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,图,3.25,力矩所做的功,56,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,定轴转动的动能定理,3.4.4,当外力矩对刚体做功时，力矩的空间累积效应就是刚体的转动动能会发生变化,。,下面讨论力矩做的功与刚体的转动动能之间的变化关系,。,设刚体做定轴转动，在合外力作用下绕定轴转过角位移,d,57,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,58,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,定轴转动的机械能守恒定律,3.4.5,1.,刚体定轴转动的功能原理,如果刚体在定轴转动中除受到外力矩外，还受到保守力矩的作用，而在刚体的定轴转动中，涉及的势能主要是重力势能,。,所以，保守力只考虑重力，当系统取地球和刚体时，式,(3-22),可写为,59,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,60,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,2.,刚体定轴转动的机械能守恒定律,61,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,图,3.26,例,3.7,图,62,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,例,3.8,质量,m,，长度,l,的匀质细杆，可绕垂直于棒的一端的水平轴,O,无摩擦地转动,。,开始时，细杆静止于铅直位置，如图,3.27,所示,。,今有一质量为,m,的子弹沿水平方向飞来，射入细杆的下端，并与杆一起摆到最大角度处,。,求子弹射入细杆前的速度,。,不计轴与细杆之间的摩擦,。,63,YOUR SITE HERE,3.4,刚体定轴转动的动能定理,图,3.27,例,3.8,图,64,YOUR SITE HERE,Thank You!,65,