高三数学培优补差辅导专题讲座数列单元易错题分析与练习.doc

高三数学培优补差辅导专题讲座数列单元易错题分析与练习
1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？
2、解决等差〔等比〕数列计算问题通常的方法有哪两种？
① 基本量方法：抓住及方程思想；
②利用等差〔等比〕数列性质〕.
[问题]：在等差数列中，，其前，的最小值；
3、解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗？
4、在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗？〔时，应有〕
5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？〔①猜证法；②转化为等差〔比〕数列问题〕
[问题]：已知:
6、你知道存在的条件吗？〔,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？
7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?〔倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法〕
*8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗？
1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：〔1〕验证命题对于第一个自然数n＝n0 〔k≥n0〕时成立；〔2〕假设n=k时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，〔3〕得出结论.
2、.〔1〕、〔2〕两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可.第二步证明时要一凑假设，二凑结论.
例题选讲
1、不能正确地运用通项与前n项和之间的关系解题：
例1、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：〔1〕Sn＝5n2＋3n；〔2〕Sn＝－2；
【错解】由公式an=sn－sn－1得：〔1〕an=10n－2; 〔2〕
【分析】应该先求出a1，再利用公式an=sn－sn－1求解.
【正解】〔1〕an=10n－2; 〔2〕
2、忽视等比数列的前n项和公式的使用条件：
例2、求和：〔a－1〕＋〔a2－2〕＋〔a3－3〕＋…＋〔an－n〕 .
【错解】S=〔a＋〔a2＋a3＋…＋an〕 －〔1＋2＋3＋…＋n〕=.
【分析】利用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值不能为1.
【正解】S=〔a＋〔a2＋a3＋…＋an〕 －〔1＋2＋3＋…＋n〕
当a=1时，S =；当时，S=
3、 忽视公比的符号
例3、已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比．
【错解】四个数成等比数列，可设其分别为则有，解得或，故原数列的公比为或
【分析】按上述设法，等比数列的公比是，是正数，四项中各项一定同号，而原题中无此条件，所以增加了限制条件.
【正解】设四个数分别为则，
由时，可得
当时，可得
变式、等比数列中，若，，则的值
〔A〕是3或－3 〔B〕 是3 〔C〕 是－3 〔D〕不存在

【错解】 是等比数列， ，，成等比，＝9，
选A
【分析】，，是中的奇数项，这三项要同号.错解中忽视这一点.
【正解】C
4、 〔见手写P13－25 13〕
5、 〔见手写P14－25 14〕
6、缺乏整体求解的意识
例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求
【错解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为
则依题意有 ，三个方程，四个未知数，觉得无法求解.
【分析】 在数列问题中，方程思想是常见的思想，使用时，经常使用整体代换的思想.错解中依题意只能列出3个方程，而方程所涉及的未知数有4个，没有将作为一个整体，不能解决问题.事实上，本题求，而没有要求其他的量，只要巧用等差中项的性质，，求出即可.知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解.
【正解】设该数列有项且首项为，末项为，公差为则依题意有
，可得 ，代入〔3〕有 ，
从而有， 又所求项恰为该数列的中间项，
例7　〔1〕设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.
错误解法 ，

.
错误分析 在错解中，由，
时，应有.
在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形.
正确解法 若，则有但，
即得与题设矛盾，故.
又依题意 Þ
,即因为，所以所以解得 Þ
说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第〔21〕题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分.
例题7　已知等比数列{an}的前n项和为Sn.
〔Ⅰ〕若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证明am，am＋2，am＋1成等差数列；
〔Ⅱ〕写出〔Ⅰ〕的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.
证 〔Ⅰ〕 ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．
由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2〔Sm＋am＋1＋am＋2〕＝Sm＋〔Sm＋am＋1〕，
∴am＋2＝－am＋1，即数列{an}的公比q＝－.
∴am＋1＝－am，am＋2＝am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差数列.
〔Ⅱ〕 〔Ⅰ〕的逆命题是：若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列.
设数列{an}的公比为q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．
由题设，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.
当q＝1时，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差数列.逆命题为假.
例题8　已知数列{an}满足a1=1a2=－13，
〔Ⅰ〕设的通项公式；
〔Ⅱ〕求n为何值时，最小〔不需要求的最小值〕
解：〔I〕

即数列{bn}的通项公式为
〔Ⅱ〕若an最小，则
注意n是正整数，解得8≤n≤9
∴当n=8或n=9时，an的值相等并最小
例题9　已知函数f〔x〕=x3+ax2+bx+c关于点〔1,1〕成中心对称，且f '〔1〕=0．
　 〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的表达式；
　 〔Ⅱ〕设数列{an}满足条件：a1∈〔1,2〕，an+1=f 〔an〕
求证：〔a1－ a2〕·〔a3－1〕+〔a2－ a3〕·〔a4－1〕+…+〔an－ an+1〕·〔an+2－1〕＜1

解：〔Ⅰ〕由f〔x〕=x3+ax2+bx+c关于点〔1,1〕成中心对称，所以
x3+ax2+bx+c+〔2－x〕3+a〔2－x〕2+b〔2－x〕+c=2
对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
对由f '〔1〕=0，得b=3，c=0，
故所求的表达式为：f〔x〕= x3－3x2+3x．
〔Ⅱ〕 an+1=f 〔an〕= an 3－3 an 2+3 an 〔1〕
令bn=an－1，02〕·〔a3－1〕+〔a2－a3〕·〔a4－1〕+…+〔an－an+1〕·〔an+2－1〕
=＜=b1-bn+1＜b1＜1.
例题10、平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上．
〔1〕试用与n来表示；
〔2〕设，且12＜a≤15，求数列中的最小值的项．
解：〔1〕点都在斜率为6的同一条直线上，
，即，
于是数列是等差数列，故．
，，又与共线，

．
当n＝1时，上式也成立．
所以an．
〔2〕把代入上式，
得
12＜a≤15，，
当n=4时，取最小值， 最小值为a4=18－2a．
基础练习题
1、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1〔n≥2〕，则an = ________.2n－1〔认清项数〕
2、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，
则 b2 〔a2－a1〕 = A〔符号〕
〔A〕 －8 〔B〕 8 〔C〕 － 〔D〕

3、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？
当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列；
当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列.
〔忽视公比q = －1〕
4、已知等差数列{an}的首项a1=120，d=－4，记Sn= a1＋a2＋…＋an，若Sn≤an〔n＞1〕，则n最小值为……………………………………………………………〔　　B　　〕
　　〔A〕60 　　〔B〕62 　　　〔C〕63　　　　　 〔D〕70
5、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于〔C 〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
6、若数列中，，且对任意的正整数、都有，则
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 〔 C〕
7、已知数列的前项和为非零常数〕，则数列为〔 〕
〔A〕等差数列 〔B〕等比数列
〔C〕既不是等差数列，又不是等比数列 〔D〕既是等差数列又是等比数列
8、设数列{an}是等比数列，，则a4与a10的等比中项为 〔 〕
A． 　　　　B．　　　 C． 　　　　D．
9、设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.〔答：〕.
10、设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.〔答：〕.
11、等差数列的前项和为，公差. 若存在正整数，使得，则当〔〕时，有〔填“>”、“<”、“=”〕．
12、设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，则 ，，…， 中最大的是 B
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
13、已知数列为等差数列，则“”是“”的〔A〕
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
易错原因：不注意为常数列特殊情况.
14、“”是实数成等比数列的 〔D〕
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
易错原因：对等比数列的概念理解不全面.
15、等差数列中，若，则的值为 〔B〕
A. B. C. D.
易错原因：找不到简捷的解法，用联立方程组求解时发生运算错误.
16、等差数列中，为其前项的和，则 〔B〕
A.都小于，都大于
B.都小于，都大于
C. 都小于，都大于
D. 都小于，都小于
易错原因：已知条件不会灵活运用.
17、在等差数列中，若，则的值是 〔C〕
A. B. C. D.不能确定
易错原因：找不到与的关系.
18、若为等比数列，，若公比为整数，则〔C〕
A. B. C. D.
易错原因：①未考虑为整数；②运算发生错误.
19、数列中，，则为 〔C〕
A. B. C. D.
易错原因：①对取特殊值排除有些选项的意识不强；②构造新数列有困难.
20、数列满足，且，
则首项等于 〔D〕
A. B. C. D.
易错原因：①不能熟练地运用比的性质；②对连等式如何变换缺少办法.
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*〔或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝〕的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.如
〔1〕已知，则在数列的最大项为__〔答：〕；
〔2〕数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___〔答：〕；
〔3〕已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围〔答：〕；
〔4〕一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 〔〕〔答：A〕

A B C D

2.等差数列的有关概念：
〔1〕等差数列的判断方法：定义法或.如
设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列.
〔2〕等差数列的通项：或.如
〔1〕等差数列中，，，则通项　　　　〔答：〕；
〔2〕首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______〔答：〕
〔3〕等差数列的前和：，.如
〔1〕数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿〔答：，〕；
〔2〕已知数列的前n项和，求数列的前项和〔答：〕.
〔4〕等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且.
提醒：〔1〕等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.
〔2〕为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
…〔公差为〕；偶数个数成等差，可设为…，,…〔公差为2〕

3.等差数列的性质：
〔1〕当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.
〔2〕若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列.
〔3〕当时,则有，特别地，当时，则有.如〔1〕等差数列中，，则＝____〔答：27〕；
〔2〕在等差数列中，，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0　　B、都小于0，都大于0　　C、都小于0，都大于0　　D、都小于0，都大于0　〔答：B〕
〔4〕 若、是等差数列，则、 〔、是非零常数〕、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 .〔答：225〕
〔5〕在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，〔这里即〕；.如
〔1〕在等差数列中，S11＝22，则＝______〔答：2〕；
〔2〕项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数〔答：5；31〕.
〔6〕若等差数列、的前和分别为、，且，则
.如设与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________〔答：〕
〔7〕“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组确定出前多少项为非负〔或非正〕；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.上述两种方法是运用了哪种数学思想？〔函数思想〕，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如
〔1〕等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值.〔答：前13项和最大，最大值为169〕；
〔2〕若是等差数列，首项，
，则使前n项和成立的最大正整数n是 〔答：4006〕
〔8〕如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.

4.等比数列的有关概念：
〔1〕等比数列的判断方法：定义法，其中或
.如
〔1〕一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____〔答：〕；
〔2〕数列中，=4+1 〔〕且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列.
〔2〕等比数列的通项：或.如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比. 〔答：，或2〕
〔3〕等比数列的前和：当时，；当时，
.如〔1〕等比数列中，＝2，S99=77，求〔答：44〕；〔2〕的值为__________〔答：2046〕；
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解.
〔4〕等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个.如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______〔答：A＞B〕
提醒：〔1〕等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；
〔2〕为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，…〔公比为〕；但偶数个数成等比时，不能设为……，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为.如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数.〔答：15，,9，3,1或0,4，8,16〕

5.等比数列的性质：
〔1〕当时，则有，特别地，当时，则有.如
〔1〕在等比数列中，，公比q是整数，则=___〔答：512〕；
〔2〕各项均为正数的等比数列中，若，则 〔答：10〕.
〔2〕 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列.当，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如
〔1〕已知且，设数列满足，且，则　　　　　. 〔答：〕；
〔2〕在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______〔答：40〕
〔3〕若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.
〔4〕 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列.如若是等比数列，且，则＝ 〔答：－1〕
〔5〕 .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____〔答：－2〕
〔6〕 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.
〔7〕如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.如设数列的前项和为〔〕， 关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 〔答：②③〕

6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.如已知数列试写出其一个通项公式：__________〔答：〕
⑵已知〔即〕求，用作差法：.如
已知的前项和满足，求〔答：〕；
②数列满足，求〔答：〕
⑶已知求，用作商法：.如数列中，对所有的都有，则______〔答：〕
⑷若求用累加法：
.如已知数列满足，，则=________〔答：〕
⑸已知求，用累乘法：.如已知数列中，，前项和，若，求〔答：〕
⑹已知递推关系求，用构造法〔构造等差、等比数列〕.特别地，
〔1〕形如、〔为常数〕的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求.如
①已知，求〔答：〕；
②已知，求〔答：〕；
〔2〕形如的递推数列都可以用倒数法求通项.如
①已知，求〔答：〕；
②已知数列满足=1，，求〔答：〕
注意：〔1〕用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？〔，当时，〕；〔2〕一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解.如数列满足，求〔答： 〕

7.数列求和的常用方法：
〔1〕公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.如
〔1〕等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____〔答：〕；
〔2〕计算机是将信息转换成二进制数进行处理的.二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_______〔答：〕
〔2〕分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：〔答：〕
〔3〕倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和〔这也是等差数列前和公式的推导方法〕. 如
①求证：；
②已知，则＝___〔答：〕
〔4〕错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法〔这也是等比数列前和公式的推导方法〕. 如
〔1〕设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.〔答：①，；②〕；
〔2〕设函数，数列满足：
，①求证：数列是等比数列；②令
，求函数在点处的导数，并比较与的大小.〔答：①略；②，当时，＝；当时，<；当时，>〕
〔5〕裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①；
②；
③，；
④；
⑤；
⑥.
如〔1〕求和： 〔答：〕；
〔2〕在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____〔答：99〕；
〔6〕通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.如
①求数列1×4，2×5，3×6，…，，…前项和= 　〔答：〕；
②求和： 〔答：〕

8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题
〔1〕这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
〔2〕利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄〔单利〕本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：
〔等差数列问题〕；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款〔复利〕模型：若贷款〔向银行借款〕元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期〔如一年〕后为第一次还款日，如此下去，分期还清.如果每期利率为〔按复利〕，那么每期等额还款元应满足：〔等比数列问题〕.

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