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高考数学二轮复习〔理数〕专题圆锥曲线
专题13 圆锥曲线
1．已知双曲线－＝1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为〔3，4〕，则此双曲线的方程为〔　　〕
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　【解析】
2．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的〔　　〕
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
【答案】A　
【解析】由题设知F1〔－3，0〕，F2〔3，0〕，如图，

∵线段PF1的中点M在y轴上，∴可设P〔3，b〕，
把P〔3，b〕代入椭圆＋＝1，得b2＝.∴|PF1|＝＝，|PF2|＝＝.
∴＝＝7.故选A.
3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝〔　　〕
A．2 B． 4 C．6 D．8
【答案】B　【解析】由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
⇒cos 60°＝⇒|PF1|·|PF2|＝4.
4．设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在此双曲线上，且PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率等于〔　　〕
A. B. C. D.
【答案】B　

5．已知抛物线C的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|＝〔　　〕
A. B. C. D．2
【答案】B　
【解析】由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝3，∴c＝＝1，故椭圆的右焦点F2为〔1，0〕，即抛物线C的焦点为〔1，0〕，∴＝1，∴p＝2，∴2p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x，联立解得或∵P为第一象限的点，∴P，
∴|PF2|＝1＋＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝4－＝，故选B.
6．已知双曲线－＝1〔a>0，b>0〕的左顶点与抛物线y2＝2px〔p>0〕的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为〔－2，－1〕，则双曲线的焦距为〔　　〕
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B　

7．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是〔　　〕
A．4 B．3 C．4 D．8
【答案】C　
【解析】∵y2＝4x，∴F〔1，0〕，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝〔x－1〕，与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝〔舍〕，故A〔3，2〕，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.故选C.
8．已知直线y＝k〔x＋1〕〔k>0〕与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若＝2，则k＝〔　　〕
A. B. C. D.
【答案】B　

9．设椭圆的方程为＋＝1〔a>b>0〕，右焦点为F〔c，0〕〔c>0〕，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1，x2，则P〔x1，x2〕〔　　〕
A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2外
C．必在圆x2＋y2＝1外 D．必在圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2形成的圆环之间
【答案】D　
【解析】椭圆的方程为＋＝1〔a>b>0〕，右焦点为F〔c，0〕〔c>0〕，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1和x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，x＋x＝〔x1＋x2〕2－2x1·x2＝＋>＝1＋e2，
因为01，
又＋<＝2，所以1故选D.
10．已知椭圆＋＝1〔a>b>0〕的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝〔a＋c〕x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率等于〔　　〕
A. B. C. D.
【答案】D　

11．过曲线C1：－＝1〔a＞0，b＞0〕的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，直线F1M交曲线C3：y2＝2px〔p＞0〕于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为〔　　〕
A. B.－1 C.＋1 D.
【答案】D　
【解析】12．已知F1，F2分别是双曲线－＝1〔a>0，b>0〕的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是〔　　〕
A．〔1，〕 B．〔，〕 C．〔，2〕 D．〔2，＋∞〕
【答案】D　
【解析】如图所示，

过点F2〔c，0〕且与渐近线y＝x平行的直线为y＝〔x－c〕，与另一条渐近线y＝－x联立得解得即点M.
∴|OM|＝＝.∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，
∴|OM|>c，即>c得>2.
∴双曲线离心率e＝＝>2.故双曲线离心率的取值范围是〔2，＋∞〕．故选D.
13．已知双曲线－＝1〔a＞0，b＞0〕的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．
【答案】　
【解析】　方法二：双曲线－＝1〔a＞0，b＞0〕的渐近线方程为±＝0，焦点F到渐近线的距离d＝＝b.设线段PF的中点M〔x0，y0〕，则其到两条渐近线的距离分别为b，，距离之积为，又距离之积为·＝，则＝，
∴＝，e＝.
14．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2〔a＞0〕的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．
【答案】　x＝－2
【解析】
15．设椭圆中心在坐标原点，A〔2，0〕，B〔0，1〕是它的两个顶点，直线y＝kx〔k＞0〕与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，则k的值为________．
【答案】　或
【解析】　依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx〔k＞0〕．如图，

设D〔x0，kx0〕，E〔x1，kx1〕，F〔x2，kx2〕，其中x1＜x2，则x1，x2满足方程〔1＋4k2〕x2＝4，故x2＝－x1＝.由＝6知x0－x1＝6〔x2－x0〕得x0＝〔6x2＋x1〕＝x2＝.由D在直线AB上知，x0＋2kx0＝2，x0＝，所以＝，化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.
16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝〔λ－1〕〔λ∈R〕，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
【答案】　15

17．已知抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点为F〔1，0〕，抛物线E：x2＝2py的焦点为M.
〔1〕若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
〔2〕若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积．
【解析】：〔1〕由题意得抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点为F〔1，0〕，抛物线E：x2＝2py的焦点为M，所以p＝2，M〔0，1〕，
①当直线l的斜率不存在时，x＝0，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋〔2k－4〕x＋1＝0，当k＝0时，x＝，满足题意，直线l的方程为y＝1；当k≠0时，Δ＝〔2k－4〕2－4k2＝0，所以k＝1，方程为y＝x＋1，综上可得，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
〔2〕结合〔1〕知抛物线C的方程为y2＝4x，直线MF的方程为y＝－x＋1，
联立得y2＋4y－4＝0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝4，
所以S△OAB＝|OF||y1－y2|＝2.
18．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点相同，又椭圆C上有一点M〔2，1〕，直线l平行于OM且与椭圆C交于A，B两点，连接MA，MB.

〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕当MA，MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．

x2＋2mx＋2m2－4＝0，∴Δ＝〔2m〕2－4〔2m2－4〕＝4〔4－m2〕＞0，
∴m的取值范围是{m|－2＜m＜2，且m≠0}，设MA，MB的斜率分别为k1，k2，
∴k1＋k2＝0，则A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则k1＝，k2＝，x1x2＝2m2－4，x1＋x2＝－2m，∴k1＋k2＝＋＝
＝
＝＝＝0，
故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形时，∴直线l在y轴上的截距m的取值范围是{m|－2＜m＜2，且m≠0}．
19．已知椭圆C：＋＝1〔a>b>0〕的两个焦点分别为F1〔－1，0〕，F2〔1，0〕，且椭圆C经过点P.
〔1〕求椭圆C的离心率；
〔2〕设过点A〔0，2〕的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为〔x1，kx1＋2〕，〔x2，kx2＋2〕，则|AM2＝〔1＋k2〕x，|AN|2＝〔1＋k2〕x.又|AQ|2＝x2＋〔y－2〕2＝ 〔1＋k2〕x2.
由＝＋，得＝〕＋〕，
即＝〕＋〕＝x〕.①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得〔2k2＋1〕x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝〔8k〕2－4×〔2k2＋1〕×6>0，得k2>.

其中x∈，y∈.
20．如图，已知M〔x0，y0〕是椭圆C：＋＝1上的任一点，从原点O向圆M：〔x－x0〕2＋〔y－y0〕2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.

〔1〕若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
〔2〕试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

＝〕,1＋2k〕＋〕,1＋2k〕＝〕,1＋2k〕＋＝,1＋2k〕＝9.

21．已知动点P到定点F〔1，0〕和到直线x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点〔与A，B不重合〕．
〔1〕求曲线E的方程；
〔2〕当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．
【解析】：〔1〕设点P〔x，y〕，由题意可得，＝，
整理可得＋y2＝1.∴曲线E的方程是＋y2＝1.
22．如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A〔1，2〕作抛物线C的弦AP，AQ.

〔1〕若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标；
〔2〕假设直线PQ过点T〔5，－2〕，请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数，若不存在，请说明理由．
【解析】：〔1〕设直线PQ的方程为x＝my＋n，点P，Q的坐标分别为〔x1，y1〕，〔x2，y2〕．
由得y2－4my－4n＝0.由Δ>0，得m2＋n>0，
y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4n.∵AP⊥AQ，∴·＝0，
∴〔x1－1〕〔x2－1〕＋〔y1－2〕〔y2－2〕＝0.
又x1＝,4〕，x2＝,4〕，∴〔y1－2〕〔y2－2〕〔y1＋2〕〔y2＋2〕＋16]＝0，
∴〔y1－2〕〔y2－2〕＝0或〔y1＋2〕〔y2＋2〕＋16＝0.∴n＝－2m＋1或n＝2m＋5.
∵Δ>0恒成立，∴n＝2m＋5.
∴直线PQ的方程为x－5＝m〔y＋2〕，∴直线PQ过定点〔5，－2〕．

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