近世代数主要知识点优秀PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,近世代数基础,补考复习练习,王尚文,近世代数基础,基本概念 群论 环和域,1,第一章 基本概念,集合,映射,代数运算,结合律,交换律,分配律,一一映射,同态,同构、自同构,等价关系与集合分类,2,第二章 群论,群的定义,单位元、逆元、消去律,有限群的另一定义,群的同态,变换群,置换群,循环群,子群,子群的陪集,不变子群、商群,同态与不变子群,3,第三章 环和域,加群、环的定义,交换律、单位元、零因子、整环,除环、域,无零因子环的特征,子环、环的同态,多项式环,理想,剩余类环、同态与理想,最大理想,4,集合的定义,若干个固定事物的全体叫做一个集合 简称集,元组成一个集合的事物叫做这个集合的元素 有时简称元,一个没有元素的集合叫做空集合,集合的积 令,A1 A2,，,An,是,n,个集合，有一切从,A1 A2,，,An,里顺序取出的元素组（,a1,，,a2,，,a3,，,an,）（,ai,Ai,）所做成的集合叫做集合 的积,子集,若集合,b,的每一个元素都属于集合,a,，我们说，,b,是,a,的子集,交集 集合,a,和集合,b,的所有共同元所组成的集合就叫做,a,和,b,的交集,并集 由至少属于集合,a,和,b,之一的一切元素组成的集合就叫做,a,和,b,的并集,5,映射,映射的定义 假如通过一个法则,，对于任何一个,A1,A2,An,的元都能得到一个唯一的,D,的元,d,，那么这个法则叫做集合,A1,A2,An,到集合,D,的一个映射 像 逆象，,映射的相同 效果相同就行,6,代数运算,定义一个,AB,到,D,的映射叫做一个,AB,到,D,的代数运算,代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用,。,来表示,二元运算 假如,。,是一个,AA,到,A,的代数运算，我们说集合,A,是闭的 二元运算,7,分配律,第一分配律,b,（,a+b,）,=,（,b,a)+,(b,a,）,第二分配律 （,a1+a2,）,b=,（,a1b,）,+,（,a2b,）,8,同态,同态映射 一个,A,到,的映射,l,，叫做一个代数运算,和,来说，,A,到,的同态映射，假如，在,之下不管,a,和,b,是,A,的哪两个元，只要,aa,，,b,b,就有,a,b a,b,假如运算,1,和,1,来说，有一个,A,到,A,的满射的同态映射存在，同态满射,同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射,自同构,9,等价关系与等价类,集合的等价关系 假如满足以下规律,反射律；,a,a,，不管,a,是,A,的哪个元。,，,对称律,:a,b,b,a ,，推移律：,a,b,，,b,c=a,c,同余关系,10,群的定义,群的第一定义,一个不空集合,G,对于乘法的代数运算来说做成一个群，假如,G,对于这个乘法来说是闭的,结合律成立：,a,（,bc,）,=,（,ab,）,c,对于,G,的任意的三个元,a,，,b,，,c,都对；,对于,G,的任意两个元,a,，,b,来说，方程,ax=b,和,ya=b,都在,G,里有解,群的第二定义,G,对乘法是闭的,结合律成立：,a,（,bc,）,=(a,b)c,对于,G,里的任意元都对,G,里至少存在一个左单位元,e,，能让,ea=a,对,G,中的任意,a,都成立,对于,G,的每个元,a,，在,G,里至少存在一个左逆元,a,能让,a,a=e,11,单位元、逆元、消去律,单位元 一个群的唯一的能使,ea=ae=a,的元,e,叫做群的单位元,逆元 一个群的每一个元,a,来说，在群里存在一个而且只存在一个元,a,，能使,a,a=aa,=e,消去律 若,ax=ax,，那么,x=x,若,ya=y,a,，那么,y=y,12,群的同态,定理 假定,G,与,G,对于它们的乘法来说同 态，那么,G,也是一个群,注意 假如,G,和,G,同态，那么不一定是群,定理,2,假定,G,和,G,是两个群。在,G,到,G,的一个同态映射下，,G,的单位元,e,的象是,G,的单位元，,G,的元,a,的逆元,a,的象是,a,的象的逆元,在一个同构映射下，两个单位元互相对应，相互对应的元的逆元相互对应。,13,变换群,定理,1,假定,G,是集合,A,的若干个变换所做成的集合，并且,G,包含恒等变换,，若是对乘法（,：,a,a,，,：,a,a,那么,a,（,a,),）来说做成一个群，那么,G,只包含,A,的一一变换。,变换群 一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个群叫做,A,的一个变换群,定理,2,一个集合的所有一一变换做成一个变换群,定理,3,任何一个群都同一个变换群同构,证明，假定,G,是一个群，,G,的元是,a,，,b,，,c,我们在,G,里任意取出一个元,x,来，那么,x,：,ggx=g,x,是集合的一个变换。因为给了,G,的任意元,g,，我们能够得到一个唯一的,G,的元,g,x,。这样由,G,的每个元,x,，可以得到,G,的一个变换,x,。我们把所有这样的来的,G,的变换放在一起，做成一个集合,G,=a,，,b,，,c,那么,x,x,是,G,到,G,的满射，但消去律,xy=gxgy,告诉我们若,xy,，那么,x,y,，所以,xx,是一一映射。在进一步看，是同构映射 所以任何群和一个变换群同构,14,置换群,一个有限集合的一一变换叫做置换,一个有限集合的若干个置换群做成的一个群叫做置换群。,定义 一个包含,n,个元的集合的全体置换做成的群叫做对称群,s,n,定理,1 n,次对称群,sn,的阶是,n,！,定义,sn,的一个把,a,i,1,变到,a,i2,而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个,k-,循环置换,定理,2,每一个,n个元的置换,都可以写成若干个互相没有共同数字的循环置换的乘积。,定理,3,每个有限群都与一个置换群同构,15,循环群,定义 若一个群,G,的每一个元都是,G,的某个固定元,a,的乘方，我们就把,G,叫做循环群，我们也可以说，,G,是由元,a,生成的，并且用符号,G=,（,a,）来表示。,a,叫做,G,的一个生成元,定理 假定,G,是一个由元,a,所生成的循环群。那么,G,的构造完全可以由,a,的阶来决定,a,的阶若是无限，那么,G,与整数加群同构,a,的阶若是一个有限整数,n,，那么,G,与,n,的剩余类加群同构,16,子群,定义 一个群的一个子集,H,叫做,G,的一个子群，假如,H,对于,G,的乘法来说做成一个群,做成子群的必要条件,;,a,，,bH=abHaH=a,H,定理 做成子群的充分必要条件,a,，,bH=ab,H,一个群的不空有限子集,H,作成,G,的一个子群的充分必要条件是：,a,，,babH,17,子群的陪集,18,子群的陪集续,指数 一个群的子群的右陪集的个数叫做,H,在,G,里的指数,假定,H,是一个有限群,G,的子群，那么,H,的阶,n,和它在,G,里的指数,j,都能整除,G,的阶,N,并且,N=nj,一个有限群的任一元,a,的阶,n,都能整除,G,的阶,19,不变子群、商群,定义 一个群,G,是一个子群,N,叫做一个不变子群，假如对于,G,的每个元,a,来说，都有,Na=aN,一个不变子群的一个左,(,右,),陪集叫做,N,的一个陪集,一个群,G,的一个子群是一个不变子群的充要条件是：,aNa,=N,对于任意元,a,都成立,充要条件,aG,，,nN=ana,N,商群 一个不变子群,N,的陪集所做成的群叫做一个商群,G/N,有限群时,G,的阶,/N,的阶,=G/N,的阶,20,同态、不变子群,一个群,G,同他的每一个商群,G/N,同态,同态映射的核：假定,&,是一个群,G,到另一个群,G,的一个同态映射。,G,的单位元,e,在,&,之下的所有逆象所做成的,G,的子集就叫做同态映射的核。,定理 假定,G,与,G,是两个群，并且,G,与,G,同态，那么这个同态映射的核,N,是,G,的一个不变子群，且,G/NG,21,加群、环的定义,加群 一个交换群叫做一个加群,环 一个集合叫做一个环,1 R,是加群 对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群,2 R,对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的,3,这个乘法适合结合律：,a,（,bc,）,=,（,ab,）,c,不管,a,，,b,，,c,是,R,的哪三个元,两个分配律都成立,a,（,b+c,）,=ab+ac,（,b+c,）,a=ba+ca,22,交换律、单位元、零因子、整环,交换环 一个环 假如,ab=ba,不管,a b,是环的哪两个元,单位元,ea=ae=a,一个环未必有单位元,零因子 若环里,a0,，,b0,但,ab=0,那么,a,是左零因子,b,右零因子,整环 一个环叫做整环 如果,1.,乘法适合交换律：,ab=ba,.R,有单位元,1,：,1a=a1=a,R,没有零因子,ab=0=a=0,或,b=0,23,除环、域,除环,1,，,R,至少包含一个而不等于零的元,2,，,R,有单位元,3,，,R,的每一个不等于零的元有一个逆元,域 一个交换除环叫做一个域,在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的,一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征,整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数,24,子环、环的同态,一个非空子集作成子环的充要条件是，,a,，,bS=a-bS abS,一个除环的子集作成子除环的充要条件是,1,，包含一个不等于零的元,2,，,a,，,bS=a-bS a,，,bS b0=ab,S,25,多项式环,26,理想,一个环的非空子集 叫做理想子环 理想,ra,既有单位元又是交换环 生成理想 主理想,ra+na,是交换环时,27,