曲线拟合专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

插值与曲线拟合,第一节:插值,插值目的,已知三角函数表,x,9,0,12,9,0,18,9,0,24,sin,x,0.1599,0.1616,0.1633,查,9,0,20,求函数近似表示式及近似值,第1页,第1页,一、拉格朗日型插值,1、线性插值,已知数据表,x,x,0,x,1,f,(,x,),y,0,y,1,x,0,，,x,1,称为插值节点，线性插值多项式（,线,性插值函数,）为,插值函数要满足：,L,1,(,x,0,)=,y,0,;,L,1,(,x,1,)=,y,1,第2页,第2页,其中,线性插值基函数,满足:,f,(,x,),L,1,(,x,),第3页,第3页,例1、已知数据表,解：,基函数为,x,1,2,f,(,x,),0.95,0.82,写出,f,(,x,),线性插值函数,并求,f,(1.5),近似值。,线性插值函数为,且,f,(1.5),L,1,(1.5)=0.885。,第4页,第4页,二次插值多项式（,插值函数,）为,二次插值基函数,2、二次插值,已知数据表,x,x,0,x,1,x,2,f,(,x,),y,0,y,1,y,2,满足,二次插值函数仍要满足：,L,2,(,x,i,)=,y,i,i,=0,1,2,第5页,第5页,于是，易得：,n,次插值多项式（,插值函数,）为,3、,n,次插值,已知,y,=,f,(,x,)在,n,+,1 个节点,x,0,x,1,x,n,处函,数,y,0,y,1,y,n,。,第6页,第6页,其中：,n,次插值基函数,满足,第7页,第7页,1、差商：,二、牛顿型插值,称为函数,f,(,x,)关,于点,x,0,，,x,1,差商。,称为函数,f,(,x,)关,于点,x,0,，,x,1,，,x,2,二阶差商。,n,阶差商：,n,-,1,阶差商差商,第8页,第8页,各阶差商计算,x,i,f,(,x,i,),一阶差商,二阶差商,三阶差商,x,0,f,(,x,0,),f,x,0,x,1,x,1,f,(,x,1,),f,x,0,x,1,x,2,f,x,1,x,2,f,x,0,x,1,x,2,x,3,x,2,f,(,x,2,),f,x,1,x,2x,3,f,x,2,x,3,x,3,f,(,x,3,),差商表,第9页,第9页,2、牛顿型插值多项式,牛顿型插值多项式为,已知,y,=,f,(,x,)在,n,+,1 个节点,x,0,x,1,x,n,处函,数,f,(,x,0,),f,(,x,1,),f,(,x,n,),。则,第10页,第10页,第二节:曲线拟合,一、最小二乘法,已知,f,(,x,)一组数据(,x,j,y,j,)(,j,=1,2,n,),要求,结构一个函数,用,来迫近,f,(,x,)。不要求,通过所有数据点,(,x,j,y,j,),数据普通有观测误差,因此,曲线通过所有点，会使曲线保留所有观测误差。,求,？,第11页,第11页,设,称,为残差。记,拟定,原则,使,Q,取得最小值。,求,？,曲线拟合最小二乘法,第12页,第12页,二、拟合函数,给定,f,(,x,)数据(,x,j,y,j,)(,j,=1,2,n,),用,来拟合函数,f,(,x,),其中,为已知,线性无关函数，求系数,使,第13页,第13页,在该点处取得最小值,称,为拟合函数,或经验公式。,为,求拟合函数,由于点,最小点,则,应满足:,第14页,第14页,即,亦即,引入记号:对于,h,(,x,)与,g,(,x,),记,称为,h,与,g,内积,第15页,第15页,且,则(*)可写成:,(*),通过求解方程(*),求出,。,第16页,第16页,三、曲线拟合环节1、拟定拟合函数形式,（1）作出散点图（或进行机理分析）；,（2）拟定出拟合函数形式。,2、依据(*)式,求出拟合函数(即求出,a,0,a,1,a,m,）,3、检查（修正,重新拟合）,第17页,第17页,四、多项式拟合,当取,时,即,此时,多项式拟合,第18页,第18页,因此,(*)为,注：当,m,=1 时,直线拟合;,当,m,=2 时,抛物拟合。,（*）,第19页,第19页,直线拟合：拟合函数,a,0,a,1,满足:,抛物拟合：拟合函数,a,0,a,1,a,2,满足:,第20页,第20页,例1、已知,解：数据点描绘,令,j,1,2,3,4,x,j,2,4,6,8,y,j,2,11,28,40,则,解之得,故,第21页,第21页,例2、已知,解：数据点描绘,令,则,解之得,故,x,j,1,3,4,5,6,7,8,9,10,y,j,10,5,4,2,1,1,2,3,4,第22页,第22页,五、其它形式拟合,ln,p,=ln,A,+,M,x,例3、用形如,p,(,x,)=,A,e,M x,函数拟合下列数据,记：,y,=ln,p,a,0,=ln,A,a,1,=,M,则有,x,j,1,2,3,4,p,j,7,11,17,27,解：由,p,(,x,)=,A,e,M x,得,且,x,j,1,2,3,4,y,j,=,ln,p,j,1.945,2.398,2.833,3.296,第23页,第23页,于是,由,解得：,a,0,=1.496,a,1,=0.4488。于是,因此,p,(,x,)=4.464 e,0.4488,x,第24页,第24页,例4、已知,解：数据点描绘,t,j,1,2,3,4,5,6,7,8,9,y,j,4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10,11,12,13,14,15,16,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60,第25页,第25页,(1)令,记,t,j,1,2,3,4,X,j,1.00,0.50,0.33,0.25,y,j,4.00,6.40,8.00,8.80Y,j,0.250,0.156,0.125,0.114,则,。,解得：,a,=0.0847,b,=0.1319。即,第26页,第26页,第27页,第27页,(2)令,记,t,j,1,2,3,4,X,j,1.00,0.50,0.33,0.25,y,j,4.00,6.40,8.00,8.80,Y,j,1.386,1.856,2.079,2.175,则,则,解得：,A,=2.4297,B,=-1.0706。即,于是,第28页,第28页,第29页,第29页,则,y,=,a,0,+,a,1,x,例5、用形如,W,=,C,t,函数拟合下列数据,解得：,a,0,=ln,C=,1.468,a,1,=,=,-,0.1038,则有,t,j,1,2,4,8,16,32,64,W,j,4.22,4.02,3.85,3.59,3.44,3.02,2.59,解:ln,W,=ln,C,+,ln,t,记,y,=ln,W,a,0,=ln,C,a,1,=,x=,ln,t,第30页,第30页,则,例6、已知,x,x,1,x,2,x,n,y,y,1,y,2,y,n,解:,试用,来拟合以上数据,第31页,第31页,于是,从中解出：,a,0,a,1,a,2,。,第32页,第32页,