江西省上饶市2023-2024学年高一上学期期末教学质量测试数学试卷.docx

江西省上饶市2023-2024学年高一上学期期末教学质量测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．命题“，”的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
3．函数的零点所在的区间是（    ）
A． B． C． D．
4．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（    ）
A． B． C． D．
5．已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
7．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（    ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
8．若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（ ）
A．极差为7 B．众数为4
C．平均数为6 D．第60百分位数为6.5
10．下列式子中，使不等式成立的充分不必要条件可以是（    ）
A． B．
C． D．
11．北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功.某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人.则下列结论正确的有（    ）
A．样本容量为30
B．120名社团成员中男生有72人
C．高二与高三年级的社团成员共有80人
D．高一年级的社团成员中女生最多有48人
12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet.1805-1859）是解析数论的创始人之一.以他的名字命名的函数“狄利克雷函数改变了数学家们对“函数是连续的”的认识.已知狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.则下列关于“狄利克雷函数”的命题中，属于真命题的有（    ）
A．方程的解为
B．对任意，都存在，
C．对任意，恒成立
D．存在三个点，，，使得为等边三角形

三、填空题
13．函数（且）图象恒过的定点坐标为
14．若函数是上的偶函数，则的值为 .
15．据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从2名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为
16．定义：如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点.已知在上存在均值点，则实数的取值范围是 .

四、解答题
17．已知集合，，.
(1)求，；
(2)若，求的取值范围.
18．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)求不等式的解集.
19．某校在上饶市期末数学测试中为统计学生的考试情况，从学校的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

(1)求第八组的频率，并完成频率分布直方图；
(2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）和中位数（保留小数点后面一位）
20．甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
(2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
21．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?
22．已知，.
(1)求函数在区间上的最小值.
(2)对于任意，都有成立，求实数的取值范围.

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．C
2．A
3．B
4．C
5．D
6．C
7．C
8．B
9．ABC
11．ABC
12．ABD
13．
14．
15．
16．
17．(1)，或
(2)

【分析】（1）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，集合，，
所以，或，
所以或.
（2）由于，若，
则.
18．(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）由题意知道是函数的两个零点，由此即可求解.
（2）首先因式分解二次式，进一步分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意若不等式的解集为，所以，
所以，解得.
（2）由题意，
当时不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.
19．(1)，频率直方图见解析
(2)，

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，求得频率，补全频率分布直方图，可得答案；
（2）先根据平均数的计算公式求平均数，然后利用中位数的定义列方程求解即可.
【详解】（1）因为各组的频率和等于1，故第八组的频率为：，
则第八组对应矩形的高为，补全频率分布直方图如图所示：

（2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为：
（分）；
因为，，
所以中位数在内，
设中位数为x，则，解得；所以估计中位数是分.
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；
（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.
【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，则 .
（2）设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”，
““博学队”猜对三个数学名词”，所以，
，则，
由事件的独立性与互斥性，得

，
故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为.
21．(1)
(2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）

【分析】（1）由已知条件，根据销售收入和成本计算利润；
（2）由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值.
【详解】（1）由题意可得，
所以.
（2）当时，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.
22．(1)2
(2)

【分析】（1）由指数函数值域以及基本不等式即可求解.
（2）由题意将原问题转换为恒成立，首先由初步得出的一个范围，进一步利用对数函数单调性，得到对于任意恒成立，由此即可进一步求解.
【详解】（1）由题意当时，，
所以，等号成立当且仅当，即，
所以函数在区间上的最小值2.
（2）对于任意，都有成立，
则只需，由（1）可知，
所以只需恒成立，
首先有，即，
由得，所以，
进一步可以化为，
所以恒成立，即，
即对于任意恒成立，
因为，
所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：对于第（2）问中双变量求解参数取值范围问题，由于双变量是针对不同函数而言，因此可以对不同函数分别求最值进行单独处理，不需要得出之间的关系式.

答案第5页，共5页