6.山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题.docx

山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
2．（    ）
A． B． C． D．
3．命题“”的否定是（    ）
A． B．
C． D．
4．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（    ）

A． B． C． D．
5．已知函数则的图象大致为（    ）
A．   B．  
C．   D．  
6．已知，则（    ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ）

A． B．
C． D．
8．已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知函数，则（    ）
A．为奇函数
B．为增函数
C．的值域为
D．对，方程有两个根
11．如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）

A．
B．
C．点的坐标为
D．点的坐标为
12．通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（    ）
A．族为集合上的一个拓扑
B．族为集合上的一个拓扑
C．族为集合上的一个拓扑
D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑

三、填空题
13．已知为第二象限角，若，则的值为 .
14．定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 .
15．已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .
16．已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是 .

四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
18．已知函数的最大值为3，最小值为1.
(1)求和的值；
(2)把的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间.
19．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解不等式.
20．如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.

(1)设，求的取值范围及；
(2)求面积的最小值.
21．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明：某种红茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用可以产生最佳口感，现在室温下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据：
时间
0
1
2
3
4
5
水温
95.00
88.00
81.70
76.05
70.93
66.30
设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③.
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间.
参考数据：.
22．已知函数.
(1)若为单调函数，求的取值范围；
(2)设函数，记的最大值为.
（i）当时，求的最小值；
（ii）证明：对.

试卷第5页，共6页

参考答案：
1．B
2．C
3．A
4．C
5．C
6．B
7．D
8．A
9．BC
10．ACD
11．ABC
12．ABD
13．/
14．1
15．0
16．
17．(1)，
(2)

【解析】（1）解可得，
故可知，
当时，，
所以，；
（2）因为是的充分不必要条件，
所以⫋，则，
解得.
18．(1)
(2)

【解析】（1）因为，由题意可得，解得.
（2）由（1）得，所以，
由，得，
所以的单调递减区间为.
19．(1)1
(2)
【解析】（1）设的定义域为，
因为为偶函数，所以，都有，
即对都成立，
等价于对都成立，
整理得都成立，
所以，解得.
所以的值为1.
（2）由题意，
移项得，
所以，
所以，
整理得，即，
解得，
所以不等式的解集为.
20．(1)
(2)

【解析】（1）因为为等腰直角三角形，为线段的中点，
所以.
因为点在线段上运动，所以，
因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.

21．(1)应选择模型②，理由见解析，
(2)

【解析】（1）选择②作为函数模型.
对于模型①，当时，函数无意义，故而排除；
对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除；
对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求；
故应选择模型②.
将前的数据带入，得，解得，
所以所求函数解析式为.
（2）由（1）中模型可得，即，所以，
即
所以刚泡好的红茶放置能达到最佳饮用口感.
22．(1)或
(2)（i）2;（ii）证明见解析
【解析】（1）由，可得的对称轴，
要使为单调函数，则或，
解得或.
（2）（i）当时，，
则
当时，，
当且仅当时，等号成立；
当时，；
所以的最小值为2.
（ii）下面根据对称轴对进行讨论：
当时，，
①若，显然，
②若，则.
当时，，则，
①若，显然，
②若，则.
当时，，
则.
①若，显然
②若，记，则，
当时，，则，所以；
当时，，则，所以；
当时，易知恒成立，
下面再讨论与的大小关系：
当时，，

当时，，
，
综上所述，.

答案第5页，共5页