辽宁省沈阳市辽宁实验中学2023-2024学年高一上学期12月阶段测试数学试题.docx

辽宁省沈阳市辽宁实验中学2023-2024学年高一上学期12月阶段测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B．
C． D．
2．已知函数是幂函数，且时，单调递增，则的值为（    ）
A．1 B．
C． D．或1
3．若是方程的两个实数根，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：）（    ）
A．5小时后 B．7小时后
C．9小时后 D．11小时后
5．已知，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
6．设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点（    ）
A． B． C． D．
7．函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（    ）
A．66 B．70 C．124 D．144
8．已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下面命题正确的是（    ）
A．设，则“且”是“”的必要不充分条件
B．设，则“”是“”的必要不充分条件
C．命题“”的否定是“”；
D．“”是假命题，则
10．甲乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图，下列说法正确的是（    ）

A．甲组数据的中位数是86
B．乙组数据的众数是77
C．甲组数据方差比乙组数据方差大
D．乙组数据的分位数是81
11．已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，当时，，且方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．的单调减区间为和
C．若方程有5个不同的实根，则
D．的取值范围是
12．已知，下列说法正确的有（    ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是

三、填空题
13．已知总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第5个个体编号为 ．
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481

14．关于的不等式的解集为 .
15．已知正实数满足方程，则的最小值为 ．
16．已知函数，若，使恒成立，则实数的取值范围为 ．

四、解答题
17．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
18．某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．

(1)根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；
(2)已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差．
19．已知
(1)求，并指出其在定义域内的单调性，无需写出证明过程；
(2)已知为的反函数，解不等式．

20．已知为偶函数，
(1)求的值；
(2)指出并证明在的单调性．
21．汽车行驶过程中的油耗可以分为动力类油耗和非动力类油耗．汽车匀速行驶过程中，可以将汽车受到的阻力视作速度的函数，因此可以认为单位时间内的动力类油耗与成正比．非动力类油耗是指汽车内部的空调、指示灯、控制器件等电子设备在使用过程中带来的油耗增加，单位时间内的非动力类油耗可以看作是一个常数．某款家用汽车的实测单位时间油耗随速度变化的情况如下表所示．
速度（公里小时）
40
80
120
单位时间油耗（升小时）
4.00
6.40
10.40
(1)若认为匀速行驶过程中汽车所受阻力与速度的指数函数成正比，请建立汽车单位时间油耗随速度变化的数学模型，并根据实测数据确定模型中的参数．
(2)若认为匀速行驶过程中汽车所受阻力与速度的平方成正比，建立汽车每100公里油耗随速度变化的数学模型，根据实测数据确定模型中的参数，并据此估算汽车的每100公里油耗最低值，为驾驶员节能出行给出合理化建议．
22．已知，
(1)求的反函数；
(2)已知，若，使得，求的最大值．

试卷第5页，共5页

参考答案：
1．D 2．C 3．B 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A
9．BD 10．ABCD 11．ABD 12．BCD
13．01 14．或 15．/ 16．
17．【详解】（1），
，
；
（2），
.
18．【详解】（1）依题意，，得，
各组的频率依次为，
平均数为分，
中位数为分．
（2）分数在区间内的人数为，
分数在区间内的人数为，
所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分，
方差为.
19．【详解】（1）取，则，，，
即，定义域为，
设，，则，函数单调递增，在上单调递增，
故在上单调递增．
（2）的值域为的定义域，在上单调递增，
故时，的取值范围为，故的解集为，
，可得，解集为．
20．【详解】（1）为偶函数，即，
，故，，；
（2），其在单调递增，
下面给出证明：
，，
其中，，
故，则，
故，即，在单调递增．
21．【详解】（1）取，则汽车单位时间油耗可设为，根据实测数据可知，
，解得，
；
（2）取汽车单位时间油耗为，
根据实测数据可知，，
解得，
，
汽车每100公里油耗随速度变化的函数为，
当且仅当时取等号，即当车速为80（公里小时）时，汽车每百公里油耗为8升，最为省油．
因此建议司机驾驶车辆尽量以80公里匀速行驶，最为节能．
22．【详解】（1），
则其在上单调递增，其值域为．
在中互换得，整理得，
，即反函数，定义域为．
（2）依题意，
其中，解得，即的定义域为，
则在上单调递增，其中．
，
，
．
，
当且仅当，即时取得，此时成立，
的最大值为．

答案第3页，共3页