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江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量则（    ）
A． B． C． D．
2．A同学准备五一假期从淮安到南京旅游，目前有两种方案可供选择，淮安东站到南京南站有8列高铁可供选择，淮安汽车站到南京汽车站有6辆大巴可供选择，请问该生有多少种方法去南京（   ）
A．14种 B．48种 C．196种 D．2304种
3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于（　　）
A． B． C． D．或
4．可以表示为（    ）
A． B． C． D．
5．的展开式中的系数为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（　　）
A．360种 B．120种 C．60种 D．30种
7．平行六面体 中，，，， ，则（    ）
A． B． C． D．
8．已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的是（　　）
A．各项系数和为2187
B．第4项与第5项的系数相等
C．二项式系数最大为35
D．的项的系数为21
10．下列说法正确的是（   ）
A．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
B．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是35
C．能被100整除
D．已知，则，
11．在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（    ）
A．与共面
B．与夹角为
C．平面与平面夹角的正弦值为
D．若正方体棱长为2，则到直线的距离

三、填空题
12．已知向量，，则向量与的夹角为
13．已知随机事件A.B满足，则
14．某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示）
（1）有 种不同的安排方法；
（2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法．

四、解答题
15．求值（用数字表示）
(1)
(2)
(3)
16．已知点
(1)表示出，并求
(2)证明：与四点共面
17．4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：（用数字表示）

(1)4人均来之不同学校有多少种安排；
(2)4人中有男有女有多少种安排；
(3)若4人已经选出请分别解答下列两个问题
①4名同学不相邻；
②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧.
18．已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求

(1)与所成角的余弦值；
(2)与平面所成角的正弦值；
(3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由.
19．有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球.
(1)从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率；
(2)从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件
①求
②求

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．D
2．A
3．C
4．D
5．B
6．A
7．B
8．A
9．AC
10．ACD
11．ACD
12．
14． 540 100
15．(1)64
(2)15
(3)或
【详解】（1）
；
（2）；
（3）依题意可得，又，解得或，
当时，；
当时，.
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）,所以，故，
（2）设，
解的，
，则共面
又因为为公共点，所以这四个点共面
17．(1)240
(2)465
(3)①144；②432
【详解】（1）根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，有种安排方法；
（2）根据题意，在12人中选出4人，有种排法，其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种,
则4人中有男有女有种，
（3）根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，则有种安排方法；
②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况即可，有种排法.
18．(1)
(2)
(3)存在，或
【详解】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直，
且平面平面，所以平面，
因为平面，所以，

又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系
则
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为;
（2）平面BCD的法向量，
所以，
则与平面所成角的正弦值为；
（3）假设存在，设，
设平面CDP的法向量，
，取，则，，
则，

所以或
则点P存在
所以或.
19．(1)
(2)①，，；②
【详解】（1）；
（2）①，

，
，
；
②，
.

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