江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题.docx

江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的定义域和值域都为，则（    ）
A． B．
C． D．不存在
4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．设正项等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（    ）
A． B． C． D．
6．已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
7．若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
8．已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（    ）
A．14 B．15 C．16 D．17

二、多选题
9．已知正实数满足，则下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．
10．设函数，则（    ）
A．是的极小值点
B．
C．不等式的解集为
D．当时，
11．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ）
A．是偶函数 B．关于直线对称
C． D．

三、填空题
12．若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ．
13．若曲线在处的切线，也是的切线，则 .
14．随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
①是上的增函数；
②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；
④，输入会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是 .

四、解答题
15．已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求 .
16．已知集合，集合．
(1)当，求；
(2)已知“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围．
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足.
①求数列的前n项和；
②若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
19．若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.
(1)若，判断是否为上的“3类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C
2．A
3．B
4．B
5．A
6．C
7．B
8．B
9．BD
10．BD
11．BC
12．
13．2.
14．①③④
15．(1)
(2)

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由题意 (1)

由(1)(2)可得
所以
（2），，
，故为等差数列，
.
16．(1)或
(2)

【分析】（1）先根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解；
（2）由题意可得是的真子集，再由分类讨论即可得出答案.
【详解】（1），
当，，
故或，
所以或；
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
当时，，
所以，解得，
综上所述，.
17．(1)答案见详解
(2)

【分析】（1）求导，分类讨论的符号，结合二次不等式求的单调性；
（2）构建，原题意等价于对任意的恒成立，求导，结合，可得，并代入检验即可.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
对于，则有：
若时，则，可得，
所以在内单调递增；
若时，则有：
当，即时，则，可得，
所以在内单调递增；
当，即时，令，
解得，，且，
令，解得或；令，解得；
所以在内单调递减，在，内单调递增；
综上所述：
当时，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在内单调递增.
（2）构建，
原题意等价于对任意的恒成立，
则，
且，则，解得，
下证充分性，
若，令，则，
可知在内单调递增，则，
即对任意的恒成立，可知在内单调递增，
可得，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
18．(1)
(2)①；②

【分析】（1）利用数列的递推关系求的通项公式；
（2）①利用错位相减求和即可；②设，根据数列的单调性，分n为偶数、为奇数讨论可得答案.
【详解】（1）因为①，
当时，，当时，②，
得，即；因为符合，所以；
（2）①，由（1）知，所以，，
所以，两式相减得，
，
所以；
②，由①得，
设，则数列是递增数列.
当n为偶数时，恒成立，所以；
当n为奇数时，恒成立，所以即.
综上，的取值范围是.
19．(1)是上的“3类函数”，理由见详解.
(2)
(3)证明过程见详解.

【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可；
（2）由已知条件转化为对于任意，都有，，只需且，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
（3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可.
【详解】（1）对于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3类函数”.
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故任意，都有，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
所以，，故在单调递减，
，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
且，，所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，
故.
（3）因为为上的“2类函数”，所以，
不妨设，
当时，；
当时，因为，

，
综上所述，，，.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

答案第5页，共6页