10.山西省2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题.docx

山西省2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．集合，则（      ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数的模为（    ）
A．2 B． C． D．
3．下列说法中，正确的是（    ）
A．数列可表示为集合
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列可记为
4．若函数，则（    ）
A．0 B． C． D．
5．若，且，则（    ）
A． B． C． D．
6．已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ）
A． B． C．2 D．3
7．已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．2
8．已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ）
A． B．
C． D．
10．2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）如下图所示：

则下列说法正确的是（    ）
A．从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数（PMI）的极差为
B．2023年7月份制造业采购经理指数（PMI）为，比上月上升0.3个百分点
C．从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第71百分位数为
D．从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数约为
11．已知正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上，则下列说法正确的是（    ）
A．直线与平面所成角的余弦值为
B．平面截球所得的截面面积为
C．球的体积为
D．球心到平面的距离为
12．已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ）
A．当为双曲线上一点时，的面积为4
B．当点坐标为时，
C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为
D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为

三、填空题
13．设单位向量的夹角的余弦值为，则 .
14．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 .
15．某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、芮三人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是 .
16．若存在实数使得，则的值为 .

四、解答题
17．已知函数，且为极值点.
(1)求实数的值；
(2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值.
18．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)设是边上一点，为角平分线且，求的值．
19．已知数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
20．如图，在直四棱柱中，，与相交于点，，为线段上一点，且.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
21．已知函数.
(1)证明：；
(2)设，求证：对任意的，都有成立.
22．已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．D
2．B
3．C
4．A
5．B
6．D
7．C
8．A
9．AD
10．BCD
11．ACD
12．ABD
13．/
14．
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
过点作垂直准线交于点，则，
所以，当且仅当、、三点共线时取等号，
即平行于轴时取最小值，此时，则，即，
所以.
故答案为：

15．
【解析】设事件为甲拿到白色鲜花，
根据题意有红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆，
甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为，
所以，则甲没有拿到白色鲜花的概率．
故答案为：．
16．
【解析】因为，所以，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，可得，
所以，即，
当且仅当，即时等号成立，
又，所以，
故，此时的值为.
故答案为：.
17．(1)
(2)答案见解析

【解析】（1），
因为为函数的极值点，
所以，解得，
经检验符合题意，所以；
（2）由（1）得，，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以为极大值点，极大值为，
为极小值点，极小值为.
18．(1)
(2)
【解析】（1）解：由正弦定理得，
即，
利用余弦定理可知，
因为，所以；
（2）在中，，
所以，
即，
因为为角平分线，所以，所以，
由余弦定理，得，
则，
因此．
19．(1)v
(2)
【解析】（1）因为，
当时，，
两式相减，得，则，
当时，，则，满足上式，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得，
所以.
20．(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为，所以，所以，
又为线段上一点，且，
所以，在中，
又平面，平面，
所以平面.
（2）在直四棱柱中，平面，又，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，，
所以平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角的大小为，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为．

21．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【解析】（1）设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
于是有，即.
（2）要证明成立，
即证明成立，
即证明成立，
也就是证明成立，
因为，所以原问题就是证明成立，
由，设，
即证明，也就是证明成立，
设，
所以当时，函数单调递增，即有，
从而成立.
22．(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，．
将代入，整理得，
解得或，则，
可得．
将代入可得，解得或，
则，所以．
直线的斜率为，
因此直线方程为，
化简得，于是直线经过定点．

答案第7页，共7页