辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题.docx

辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．以上都不正确
2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（    ）
A．抽签法 B．随机数法
C．分层随机抽样法 D．其他方法
3．“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．若，则（    ）
A． B．
C． D．
6．若正数满足，则的最大值为（    ）
A．6 B．9 C． D．
7．某班50名学生骑自行车，骑电动车到校所需时间统计如下：
到校方式
人数
平均用时（分钟）
方差
骑自行车
20
30
36
骑电动车
30
20
16
则这50名学生到校时间的方差为（    ）
A．48 B．46 C．28 D．24
8．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ）
A． B． C． D．
10．下列说法错误的是（    ）
A．函数与函数表示同一个函数
B．若是一次函数，且，则
C．函数的图象与y轴最多有一个交点
D．函数在上是单调递减函数
11．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（    ）
A．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
D．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
12．已知定义域为的奇函数满足，且在上单调递减，，则（    ）
A．函数的图象关于直线对称
B．
C．
D．设，和图象的所有交点的横坐标之和为

三、填空题
13．已知幂函数的图像关于轴对称，则 .
14．若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 .
15．已知互不相等的4个正整数从小到大排序为.若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为 .
16．孪生素数是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，则这两个数为孪生素数的概率为 .

四、解答题
17．（1）已知，求的值；
（2）计算：.
18．已知关于的不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）解关于的不等式.
19．已知定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)解不等式：.
20．2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示：

(1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数；
(2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率.
21．已知是偶函数.
(1)求的值；
(2)证明：在上单调递增.
22．冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为.
(1)比较与的大小；
(2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值.

试卷第3页，共4页

参考答案：
1．C 2．C 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．A
9．BD 10．ABD 11．BD 12．ABD
13．1 14． 15． 16．
17．【详解】（1）因为，可得，
则，可得，
又由，
所以.
（2）由
.
18．【详解】（1）由题意知不等式对应的方程的两个实数根为和，且，由根与系数的关系，得
解得.
（2）由知不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为.
19．【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，且，
所以，即，
解得.
（2）当时，，
设，则，则，
故
（3）由是偶函数，等价于，即，
得，得，解得或，
故的解集是.
20．【详解】（1）由题意，
得：，
设今年该中学高考数学成绩的中位数为，
则，解得.
故该中学今年高考数学成绩的中位数约为.
（2）由题意可知分数在的频率为，
同理分数在的频率为，
所以分数在的抽取人数为：，记为，
分数在的抽取人数为：，记为，
从这5名学生中随机抽取2人，该试验的样本空间为：
，
所以基本事件的总数为：.
设事件“抽取的2名学生中恰有1名成绩不低于130分”，
则，
事件包含的基本事件数为：.
由古典概型概率的计算公式得：.
故这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为.
21．【详解】（1）易知的定义域为，对，都有.
因为是偶函数，
所以

，
所以.
（2）因为，所以.
设，则，
其中，
因为，所以，，，
所以，
所以，，，
又，所以，，
所以在上单调递增.
22．【详解】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元，
由题意得，
，
，
所以.
（2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元，
设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元，
2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元），
2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元），
所以.
解法一：
，设，
则，两边平方得，
由得，所以，
当时取等号.
所以，.
所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元.
解法二：
，
当且仅当，即时取等号，
所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元.

答案第3页，共4页